Begrenztes Wachstum
Sie legen Ihr Smartphone mit 5 % Akku ans Ladegerät. Zu Beginn geht es schnell, später immer langsamer, und die letzten Prozente dauern ewig. Der Akku kann nie mehr als 100 % haben, und je näher er an dieser Grenze ist, desto kleiner wird der Zuwachs pro Minute. Wie beschreibt man so einen Vorgang mit einer Funktion? Und wann sind 90 % erreicht? Genau das klärt diese Seite.
Das Modell: Wachstum auf eine Schranke zu
Beim unbegrenzten exponentiellen Wachstum $f(t) = a\cdot e^{kt}$ wächst der Bestand immer schneller und über jede Grenze hinaus. In der Realität gibt es aber oft eine Grenze: die Kapazität eines Stausees, die Raumtemperatur beim Abkühlen, die maximale Ladung eines Akkus.
Dann nähert sich der Bestand einer Schranke $S$ an, ohne sie zu erreichen. Der Abstand $S - f(t)$ zur Schranke schrumpft dabei exponentiell. Das liefert die Funktion in der folgenden Box.
Warum $\lim\limits_{t\to\infty} f(t) = S$? Für $k > 0$ gilt $e^{-kt} \to 0$. Der Term $(S - f_0)\,e^{-kt}$ verschwindet also, und es bleibt $S$.
Probieren Sie die Parameter aus. Was passiert mit der Kurve, wenn Sie $k$ vergrößern? Was, wenn Sie $f_0$ verkleinern?
Ein Bestand wächst begrenzt nach $B(t) = 100 - 80\,e^{-0{,}2t}$. Bestimmen Sie $B(0)$, $B(5)$ und die Sättigungsgrenze.
Ein Bestand wächst begrenzt nach $B(t) = 100 - 80\,e^{-0{,}2t}$. Bestimmen Sie $B(0)$, $B(5)$ und die Sättigungsgrenze.
Ein Getränk der Temperatur $5\,°\text{C}$ steht in einem Raum mit $21\,°\text{C}$. Die Temperatur folgt $T(t) = 21 - 16\,e^{-0{,}05t}$ ($t$ in Minuten). Berechnen Sie…
Ein Getränk der Temperatur $5\,°\text{C}$ steht in einem Raum mit $21\,°\text{C}$. Die Temperatur folgt $T(t) = 21 - 16\,e^{-0{,}05t}$ ($t$ in Minuten). Berechnen Sie die Temperatur nach $10$ Minuten.
Änderungsrate und Differenzialgleichung
Ableiten liefert den Zusammenhang, der das begrenzte Wachstum charakterisiert. Mit der Kettenregel gilt für $f(t) = S - (S - f_0)\,e^{-kt}$:
$$f'(t) = (S - f_0)\cdot k\cdot e^{-kt}$$Andererseits ist $S - f(t) = (S - f_0)\,e^{-kt}$. Also gilt:
Zum Vergleich: Beim unbegrenzten Wachstum gilt $f'(t) = k\cdot f(t)$, die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Beim begrenzten Wachstum gilt $f'(t) = k\cdot(S - f(t))$, sie ist proportional zum Restabstand.
Umgekehrt beschreibt jede Gleichung $f'(t) = k\,(S - f(t))$ mit dem Anfangswert $f(0) = f_0$ ein begrenztes Wachstum mit genau der Funktion von oben.
Daraus folgen Eigenschaften, die Sie an der Ableitung begründen können:
-
Streng monoton wachsend (für $f0 < S$): $f'(t) = k\,(S - f_0)\,e^{-kt} > 0$.
-
Konkav: $f''(t) = -k^2\,(S - f0)\,e^{-kt} < 0$. Der Zuwachs wird also kleiner.
-
Größte Änderungsrate bei $t = 0$: $f'$ ist streng monoton fallend, also ist $f'(0) = k\,(S - f_0)$ der größte Wert. Es gibt keine Wendestelle.
Bei begrenztem Wachstum gilt $f'(t) = 0{,}3\,(50 - f(t))$ mit $f(0) = 10$. Geben Sie die Schranke $S$, die Wachstumskonstante $k$ und die Funktionsgleichung $f(t)$ an.
Bei begrenztem Wachstum gilt $f'(t) = 0{,}3\,(50 - f(t))$ mit $f(0) = 10$. Geben Sie die Schranke $S$, die Wachstumskonstante $k$ und die Funktionsgleichung $f(t)$ an.
Ein Tank wird mit konstantem Zufluss $z = 12$ l/min gefüllt und verliert Wasser proportional zum Füllstand: $y'(t) = 12 - 0{,}04\,y(t)$, $y(0) = 50$. a) Zeigen Sie, dass…
Ein Tank wird mit konstantem Zufluss $z = 12$ l/min gefüllt und verliert Wasser proportional zum Füllstand: $y'(t) = 12 - 0{,}04\,y(t)$, $y(0) = 50$.
- a) Zeigen Sie, dass $y(t) = 300 - 250\,e^{-0{,}04t}$ die Differenzialgleichung löst.
- b) Bestimmen Sie den Grenzwert und erläutern Sie ihn.
- c) Bestimmen Sie, wann der Tank $90\,\%$ des Grenzwerts erreicht.
Gegeben ist $f(t) = S - (S - f_0)\,e^{-kt}$ mit $0 < f_0 < S$ und $k > 0$. a) Zeigen Sie: $f'(t) = k\,(S - f(t))$. b) Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend und…
Gegeben ist $f(t) = S - (S - f_0)\,e^{-kt}$ mit $0 < f_0 < S$ und $k > 0$.
- a) Zeigen Sie: $f'(t) = k\,(S - f(t))$.
- b) Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend und konkav ist.
- c) Zeigen Sie, dass die Zeit, bis die Restdifferenz $S - f(t)$ auf die Hälfte $\frac{S-f_0}{2}$ ihres Anfangswerts gesunken ist, unabhängig von $f_0$ ist.
Parameter bestimmen und Zeitpunkte berechnen
Meist sind $S$ und $f_0$ aus dem Text ablesbar. Die Konstante $k$ bestimmen Sie aus einem zweiten Messwert. Danach können Sie Zeitpunkte berechnen. Dazu isolieren Sie den Term $e^{-kt}$ und logarithmieren mit $\ln$.
Ein Kaffee (Anfangstemperatur $90\,°\text{C}$) kühlt in einem Büro in Köln mit $20\,°\text{C}$ nach $T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}$ ab. Nach $10$ Minuten hat er…
Ein Kaffee (Anfangstemperatur $90\,°\text{C}$) kühlt in einem Büro in Köln mit $20\,°\text{C}$ nach $T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}$ ab. Nach $10$ Minuten hat er $60\,°\text{C}$.
- a) Bestimmen Sie $k$.
- b) Berechnen Sie, wann der Kaffee $40\,°\text{C}$ erreicht.
- c) Bestimmen Sie die momentane Abkühlungsrate nach $10$ Minuten.
Ein Stausee in Sachsen mit Kapazität $S = 500$ (Mio. m³) hat zu Beginn $120$ Mio. m³. Der Füllstand wächst begrenzt, nach $4$ Monaten sind $300$ Mio. m³ erreicht. a)…
Ein Stausee in Sachsen mit Kapazität $S = 500$ (Mio. m³) hat zu Beginn $120$ Mio. m³. Der Füllstand wächst begrenzt, nach $4$ Monaten sind $300$ Mio. m³ erreicht.
- a) Stellen Sie die Funktion $V(t)$ auf.
- b) Berechnen Sie, wann $450$ Mio. m³ erreicht sind.
- c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der größten Zuflussrate und deren Wert.
Modellgüte und Mittelwerte
Ein Modell ist nur so gut wie seine Annahmen. Beim begrenzten Wachstum gilt: Die Änderungsrate ist proportional zum Restabstand, und die Schranke $S$ bleibt konstant. Sie beurteilen ein Modell, indem Sie fragen, ob diese Annahmen im Sachkontext passen.
-
Passt: Abkühlung von Kaffee (Newtonsches Abkühlungsgesetz), Aufladen eines Akkus (grob), Sättigung beim Lernen.
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Grenzen: Die Raumtemperatur kann sich ändern, ein Stausee hat Verdunstung und Abfluss, Lernen hat Plateaus und Rückschritte. Das Modell gilt dann nur in einem Zeitfenster.
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Messwerte als Test: Weichen gemessene Werte systematisch von der Kurve ab, ist das Modell ungeeignet oder die Schranke falsch.
Warum? Aus $e^{-kt} = \tfrac12$ folgt $t = \tfrac{\ln 2}{k}$. Der Faktor $S - f_0$ kürzt sich weg. Beim Zerfall nennt man das Halbwertszeit, hier ist es die „Halbierungszeit des Restabstands“.
Mittelwert. Der Mittelwert einer Funktion $f$ über $[0;T]$ ist
$$m(T) = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t.$$Dazu brauchen Sie eine Stammfunktion von $e^{-kt}$. Wegen der Kettenregel gilt $\bigl(-\tfrac{1}{k}\,e^{-kt}\bigr)' = e^{-kt}$. Also ist $-\tfrac{1}{k}\,e^{-kt}$ eine Stammfunktion von $e^{-kt}$. Für $k = 0{,}5$ ist das $-2\,e^{-0{,}5t}$. Eine Stammfunktion von $-15\,e^{-0{,}5t}$ ist daher $30\,e^{-0{,}5t}$, und von $20$ ist es $20t$.
Für $f(t) = 20 - 15\,e^{-0{,}5t}$ gilt:
$$m(T) = \frac{1}{T}\Bigl[20t + 30\,e^{-0{,}5t}\Bigr]_0^T = 20 - \frac{30\,(1 - e^{-0{,}5T})}{T}.$$Für $T\to\infty$ geht der Bruch gegen $0$, also $m(T)\to 20 = S$. Auf lange Sicht liegt der Mittelwert bei der Schranke.
Lösbarkeit von $m(T) = c$. Die Funktion $m$ ist für $T > 0$ stetig, denn sie ist ein Quotient stetiger Funktionen mit Nenner $T \neq 0$. Für $T\to 0^+$ gilt $m(T)\to f(0) = 5$, und für $T\to\infty$ gilt $m(T)\to 20$. Außerdem ist $f$ streng monoton wachsend, also liegt der Mittelwert über $[0;T]$ immer unter $f(T)$ und $m$ wächst streng monoton. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt $m$ jeden Wert zwischen $5$ und $20$ genau einmal an. Der Wert $15$ liegt in diesem Bereich, daher ist $m(T) = 15$ eindeutig lösbar. Da sich die Gleichung nicht nach $T$ auflösen lässt, bestimmst du $T$ numerisch mit WTR oder CAS/MMS.
Zurück zum Smartphone-Akku: $A(t) = 100 - 95\,e^{-0{,}05t}$ hat die Halbierungszeit $\tfrac{\ln 2}{0{,}05}\approx 13{,}9$ min. Alle $13{,}9$ Minuten halbiert sich der fehlende Rest. Deshalb gehen die ersten Prozente schnell und die letzten langsam. Für $90\,\%$ lösen wir $95\,e^{-0{,}05t} = 10$, also $t = 20\cdot\ln 9{,}5\approx 45{,}0$ min.
Eine Lernkurve einer Schülerin wird durch $L(t) = 100 - 90\,e^{-0{,}15t}$ (Wörter pro Stunde, $t$ in Wochen) beschrieben. a) Berechnen Sie, nach welcher Zeit $L(t) = 80$…
Eine Lernkurve einer Schülerin wird durch $L(t) = 100 - 90\,e^{-0{,}15t}$ (Wörter pro Stunde, $t$ in Wochen) beschrieben.
- a) Berechnen Sie, nach welcher Zeit $L(t) = 80$ gilt.
- b) Berechnen Sie die durchschnittliche Lernzuwachsrate in den ersten $4$ Wochen.
- c) Zeigen Sie, dass $L'(t) = 0{,}15\,(100 - L(t))$ gilt.
Der Mittelwert einer Größe $f(t) = 20 - 15\,e^{-0{,}5t}$ wird über $[0;T]$ betrachtet. a) Berechnen Sie den Mittelwert $m(T)$ in Abhängigkeit von $T$. b) Berechnen Sie…
Der Mittelwert einer Größe $f(t) = 20 - 15\,e^{-0{,}5t}$ wird über $[0;T]$ betrachtet.
- a) Berechnen Sie den Mittelwert $m(T)$ in Abhängigkeit von $T$.
- b) Berechnen Sie $\lim_{T\to\infty} m(T)$.
- c) Bestimmen Sie $T > 0$ numerisch (z. B. mit dem GTR) so, dass $m(T) = 15$ gilt, mit Begründung der Lösbarkeit.