Abstände im Raum

In der Entwicklungsumgebung eines 3D-Videospiels befinden sich zwei Objekte in den Punkten $A(2|-3|1)$ und $B(6|1|1)$, wobei die Einheiten Meter sind. Berechnen Sie den Abstand der beiden Objekte, um eine Kollision zu programmieren, falls dieser kleiner als 5 Meter ist.

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte der Abszissenachse ($OX$-Achse), deren Abstand zum Punkt $P(3|2|2)$ genau $\sqrt{8}$ Einheiten beträgt. Erklären Sie, warum Sie geometrisch nur eine Lösung erhalten.

Eine Mobilfunk-Sendeantenne befindet sich im Punkt $P(1, 2, -3)$. Das Signal wird optimal von einem ebenen Reflektorpanel mit der Gleichung $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$ aufgefangen. Bestimmen Sie die minimale Strecke, die die Welle von der Antenne bis zum Panel zurücklegen muss.

Ein Laser-Tiefensensor befindet sich im Punkt $S(5|-7|4)$. Der Laser zeigt direkt auf die Seitenwand, die durch die Koordinatenebene $XZ$ dargestellt wird. Welchen Abstand hat der Sensor von dieser Wand?

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte der Geraden $r \equiv x = y = z$, die von der Ebene $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$ den Abstand $2\sqrt{3}$ Einheiten haben.

Ein Laserstrahl geht vom Punkt $A(1|1|1)$ in Richtung des Vektors $\vec{v} = (1, 0, 2)$ aus. Es soll ein ebener Spiegel parallel zur Ebene $XY$ so aufgestellt werden, dass der Abstand des Punktes $A$ vom Spiegel 5 Einheiten beträgt.

1. a) Bestimmen Sie die beiden möglichen Gleichungen der Ebenen, in denen der Spiegel liegen kann.
2. b) Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs von jeder dieser Ebenen.

Bei der Planung eines Ausstellungsraums wurden Boden und Decke als zwei parallele Ebenen mit den Gleichungen $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ und $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$ modelliert. Bestimmen Sie die Höhe des Raumes.

Für einen Industrieroboter wurde eine Metallschiene installiert, die der Geraden

folgt. Der Fabrikboden sei die Ebene $\pi: x - 2z + 5 = 0$. Zeigen Sie zunächst, dass die Schiene parallel zum Boden verläuft, und berechnen Sie anschließend den Sicherheitsabstand der Schiene zum Boden.

In einer Abiturklausur soll der Abstand der beiden parallelen Ebenen $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ und $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$ berechnet werden. Lukas schreibt in seiner Klausur folgende Lösung auf:

„Da die Ebenen parallel sind, subtrahiere ich direkt die konstanten Glieder und teile durch den Betrag des Normalenvektors von $\pi_1$:

1. Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Lukas macht, wenn er die Formel direkt mit den gegebenen Koeffizienten anwendet.

2. Erklären Sie geometrisch, warum die vereinfachte Formel mit der Differenz der konstanten Glieder nur dann gültig ist, wenn die Gleichungen genau denselben Normalenvektor haben (oder wie man sicher vorgeht, indem man einen Punkt einer der Ebenen wählt).

3. Korrigieren Sie die Rechnung und bestimmen Sie den tatsächlichen exakten Abstand zwischen $\pi_1$ und $\pi_2$.

Bei einer archäologischen Ausgrabung wurde festgestellt, dass der ursprüngliche Boden eines Raumes in der Ebene $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$ liegt. Ein Sensorteam bewegt sich auf einer Metallschiene, die durch die Gerade $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 4\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$ dargestellt wird.

1. a) Zeigen Sie, dass die Schiene parallel zum Boden des Raumes verläuft.
2. b) Berechnen Sie den konstanten Abstand der Sensoren vom Boden.

Berechnen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass der Abstand der parallelen Ebenen $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ und $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ gleich 3 Einheiten ist. Erklären Sie, warum es zwei mögliche Werte für $k$ gibt.

Der Haken eines Baukrans hängt in der Position $Q(4, -3, 12)$. Die Techniker müssen den Abstand des Hakens von der Höhenachse ($OZ$-Achse) kennen. Berechnen Sie diesen Abstand, um den freien Schwenkraum des Krans bezüglich der vertikalen Bezugsachse zu überprüfen.

Betrachten Sie den Punkt $A(1, 5, -2)$ und die Gerade $r$, die durch ihre Parametergleichungen gegeben ist:

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $A$ von der Geraden $r$ mithilfe der Formel mit dem Kreuzprodukt.

Gegeben sind der Punkt $P(4|3|7)$ und die senkrechte Gerade $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, die parallel zur $Z$-Achse verläuft.

1. Schätzen und begründen: Analysieren Sie vor Anwendung einer Formel die Lage von $P$ und der Geraden $r$. Begründen Sie, warum die Höhe ($z$-Koordinate) von $P$ keinen Einfluss auf den kürzesten Abstand zur senkrechten Geraden $r$ haben darf, und leiten Sie allein aus den in die $z = 0$-Ebene projizierten Koordinaten $x$ und $y$ den exakten Wert dieses Abstands ab.

2. Überprüfen: Schreiben Sie die Gerade $r$ in Parameter- bzw. Punktform, wählen Sie einen Punkt $A \in r$ und ihren Richtungsvektor $\vec{v}$ und berechnen Sie den Abstand formal mit der dreidimensionalen Kreuzproduktformel: $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Prüfen Sie, ob das Ergebnis mit Ihrer vorherigen Überlegung übereinstimmt, und begründen Sie, welche geometrische Größe der Vektor $\vec{AP} \times \vec{v}$ in diesem Zusammenhang darstellt.

Eine Forschungsrakete folgt einer geradlinigen Bahn, die durch die Gerade $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$ gegeben ist. Die Rakete soll ein Signal an die Bodenstation im Punkt $P(5|-1|4)$ senden. Berechnen Sie den minimalen Abstand, in dem die Rakete während ihres Flugs an der Bodenstation vorbeifliegt.

Betrachten Sie den Würfel mit der Kantenlänge 4 Einheiten, dessen eine Ecke im Ursprung $(0|0|0)$ liegt und dessen Kanten auf den positiven Koordinatenachsen liegen. Berechnen Sie den Abstand der Ecke $V(4|4|4)$ von der Flächendiagonale des Würfels, die die Punkte $(4|0|0)$ und $(0|4|0)$ verbindet.

Ein Logistikunternehmen setzt Drohnen für den Paketversand ein. Eine Drohne fliegt vom Punkt $A(1|0|2)$ geradlinig zum Punkt $B(5|4|10)$. Im Zentrum des Einsatzgebiets steht eine Sendeantenne im Punkt $P(3|5|1)$.

Berechnen Sie:

1. Den genauen Punkt der Flugbahn der Drohne, der den minimalen Abstand zur Antenne hat.

2. Hat das Signal der Antenne eine Reichweite von $5$ Einheiten, bestimmen Sie, in welchem Abschnitt ihres Flugs (Werte des Parameters $\lambda$) die Drohne Empfang hat.

Gegeben sind der Punkt $P(2|-1|3)$ und die Gerade $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Eine Aufgabe verlangt nacheinander zwei Teilaufgaben:

(a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $r$.

(b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der zu $P$ bezüglich $r$ symmetrisch liegt.

Zwei Schüler diskutieren über die Lösungsstrategie:

• Lea schlägt vor, (a) mit der Formel über das Kreuzprodukt $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ zu lösen und anschließend (b) über die Bestimmung der orthogonalen Projektion $M$ von $P$ auf $r$ zu lösen.

• Karl behauptet, dass die Verwendung der Kreuzproduktformel in dieser Aufgabe methodisch ungünstig ist und überflüssige Rechnungen erzeugt; effizienter sei es, direkt die orthogonale Projektion $M$ zu bestimmen.

Aufgaben:

1. Bewerten Sie beide Positionen kritisch: Erklären Sie, warum Leas Methode den Rechenaufwand verdoppelt, und zeigen Sie, wie die vorherige Bestimmung der orthogonalen Projektion $M$ die Teilaufgaben (a) und (b) unmittelbar beantwortet.

2. Bestimmen Sie nach Karls Methode (mithilfe eines allgemeinen Punktes der Geraden oder einer zu $r$ senkrechten Hilfsebene durch $P$) die Koordinaten der orthogonalen Projektion $M$, leiten Sie daraus den exakten Abstand $d(P, r)$ ab und berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts $P'$.

Es werden die Tragwerke eines Pavillons geplant. Zwei der Hauptträger werden durch die Geraden $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ und $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$ modelliert. Bestimmen Sie den minimalen Abstand der beiden Träger, um zu prüfen, ob zwischen ihnen ein Sicherheitsverbinder eingebaut werden muss.

Die Flugsicherung (DFS) überwacht in ihrer Kontrollzentrale die Flugbahnen zweier Verkehrsflugzeuge im Luftraum. In einem kartesischen Koordinatensystem mit Entfernungen in Kilometern werden die geradlinigen Flugbahnen beider Flüge beschrieben durch:

1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Flugbahnen weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben (d. h. dass sie windschief zueinander liegen).

2. Das Flugsicherheitsprotokoll verlangt eine Vorwarnung, wenn der theoretische Mindestabstand zwischen den geradlinigen Flugbahnen kleiner als $8\text{ km}$ ist. Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden mithilfe von Spatprodukt und Kreuzprodukt und entscheiden Sie, ob die Kontrollzentrale die Warnung ausgeben muss.

3. Begründen Sie im Hinblick auf die tatsächliche Bewegung der Flugzeuge, warum ein Abstand der Flugbahnen von weniger als $8\text{ km}$ nicht zwingend ein unmittelbares Kollisionsrisiko bedeutet, und geben Sie an, welche zusätzliche kinematische Größe betrachtet werden müsste, um zu wissen, ob beide Flugzeuge in der Nähe des Punktes größter Annäherung zusammentreffen.

Zwei Kommunikationssatelliten folgen linearen Bahnen im Raum (gemessen in Hundert Kilometern), die durch die Geraden $r$ und $s$ dargestellt werden:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ und $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Aufgaben:

1. Bestimmen Sie die Werte des Parameters $k$ so, dass der minimale Abstand zwischen den beiden Bahnen genau $\sqrt{6}$ Einheiten (600 km) beträgt.

2. Berechnen Sie für jeden im vorherigen Teil erhaltenen Wert von $k$ die Punkte jeder Bahn, an denen dieser minimale Abstand erreicht wird (Punkte des gemeinsamen Lots).

Ein Architekt entwirft eine avantgardistische Konstruktion aus zwei gespannten Seilen. In einem kartesischen Koordinatensystem stimmt das erste Seil mit der Geraden $r$ überein, die durch $A(1|1|1)$ und $B(2|3|0)$ verläuft. Das zweite Seil folgt der Richtung des Vektors $\vec{u} = (1, 0, 1)$ und verläuft durch den Punkt $C(0|2|2)$.

Berechnen Sie:

1. Den minimalen Abstand zwischen den beiden Seilen.

2. Die Gleichung der Geraden, die eine Metallverstrebung darstellt, die beide Seile auf dem kürzestmöglichen Weg verbindet (gemeinsames Lot).

Bestimmen Sie den geometrischen Ort der Punkte des Raumes, die von den Punkten $A(1|-2|3)$ und $B(3|0|1)$ gleich weit entfernt sind. Welches geometrische Gebilde stellt er dar? Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von diesem geometrischen Ort.

Es soll ein unterirdischer Lüftungsstollen geplant werden, dessen Mittelachse der Geraden

folgt. Zu seinem Schutz sollen zwei ebene Schutzwände errichtet werden, die parallel zur Ebenenschar mit dem Normalenvektor $\vec{n} = (2, 1, -2)$ liegen.

1. Begründen Sie, warum es sinnlos wäre, nach Ebenen der Schar mit konstantem, von null verschiedenem Abstand zur Geraden zu suchen, wenn die Gerade $r$ nicht parallel zu den Ebenen dieser Schar wäre. Zeigen Sie rechnerisch, dass $r$ in diesem Fall tatsächlich parallel zu diesen Ebenen ist.

2. Geben Sie die allgemeine Gleichung der Schar paralleler Ebenen $\pi_D \equiv 2x + y - 2z + D = 0$ an und bestimmen Sie die beiden möglichen Werte des Parameters $D$, für die der Abstand der Geraden $r$ von der zugehörigen Ebene genau $5\text{ Meter}$ beträgt.

3. Leiten Sie aus den gefundenen Werten von $D$ direkt (ohne erneute Anwendung der Abstandsformel) den Abstand der beiden Schutzwände voneinander ab und begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben ist eine Ebene $\pi$, die durch den Punkt $M(1|0|3)$ verläuft und senkrecht zur Geraden $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$ steht.

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel, die die Ebene $\pi$ berührt und ihren Mittelpunkt im Punkt $C(4|5|2)$ hat.

2. Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs zum Berührpunkt von Kugel und Ebene.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte der Geraden $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$, die von den Ebenen

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

gleich weit entfernt sind. Untersuchen Sie, ob es auf der Geraden einen Punkt gibt, dessen Abstand zu beiden Ebenen null ist, und erklären Sie seine geometrische Bedeutung.

Gegeben sind der Punkt $P(1|2|-1)$ und die Gerade $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Berechnen Sie den Spiegelpunkt von $P$ bezüglich der Geraden $r$. Er sei mit $P'$ bezeichnet.

2. Bestimmen Sie den Abstand von $P'$ zur Ebene $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Wie groß ist das Volumen des Tetraeders, das aus dem Punkt $P$, seiner Projektion auf die Gerade $r$ und den Schnittpunkten der Ebene $\pi$ mit den Achsen $OX$ und $OY$ gebildet wird?

Ein Laserstrahl geht vom Punkt $A(5|2|6)$ aus und wird an einem ebenen Spiegel reflektiert, der durch die Koordinatenebene $XY$ ($z=0$) dargestellt wird. Der reflektierte Strahl soll durch den Punkt $B(1|4|2)$ verlaufen.

Aufgaben:

1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Auftreffpunkts $C$ des Lasers auf dem Spiegel.

2. Berechnen Sie die gesamte Strecke, die der Strahl vom Punkt $A$ bis zum Punkt $B$ zurücklegt. (Hinweis: Die kürzeste Strecke erhält man mithilfe des Spiegelpunkts.)

Gegeben ist die Ebenenschar $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$ mit $a \in \mathbb{R}$:

1. Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Gerade $r$ enthalten. Bestimmen Sie die Gleichungen dieser Geraden.

2. Berechnen Sie den Abstand des Punktes $Q(2|-1|0)$ von der Geraden $r$.

3. Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den die Ebene $\pi_a$ vom Punkt $P(0|0|0)$ den Abstand $\frac{1}{\sqrt{2}}$ Einheiten hat.

Zwei sich schneidende Ebenen $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ und $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ schneiden sich im Raum in einer Geraden und teilen ihn in vier Winkelräume (Keilräume).

1. Stellen Sie mithilfe der Abstandsformel für Punkt und Ebene die geometrische Bedingung auf, die jeder Punkt $X(x, y, z)$ des Raumes erfüllen muss, um von beiden Ebenen gleichen Abstand zu haben: $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Lösen Sie die entstehende Gleichung unter Beachtung der Eigenschaften des Betrags auf und bestimmen Sie die allgemeinen Gleichungen der beiden Winkelhalbierungsebenen $\sigma_1$ und $\sigma_2$.

3. Zeigen Sie mithilfe der Normalenvektoren von $\sigma_1$ und $\sigma_2$ rechnerisch, dass die beiden Winkelhalbierungsebenen senkrecht zueinander stehen.

4. Verallgemeinern Sie das Ergebnis für beliebige sich schneidende Ebenen: Haben zwei Ebenen die Einheitsnormalenvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ (mit $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), zeigen Sie mit Eigenschaften des Skalarprodukts, dass die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ und $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$ der Winkelhalbierungsebenen stets orthogonal sind, und erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Tatsache.