Analysis ohne Hilfsmittel
In Teil A des Zentralabiturs gibt es weder WTR noch CAS. Gefragt sind sichere Ableitungen, schnelle Nullstellen und klare Begründungen. Eine typische Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass $f_a$ genau eine Extremstelle besitzt. Die wichtigsten Werkzeuge dafür stellt dieser Abschnitt Schritt für Schritt vor.
Ableiten: Summe, Produkt, Verkettung
Entscheiden Sie zuerst, wie der Term „von außen“ aufgebaut ist: Summe, Produkt oder Verkettung. Danach wenden Sie die passende Regel an.
Warum die Kettenregel? Ändert sich $x$ um ein wenig, ändert sich die innere Funktion $v$ um das $v'(x)$-Fache, und die äußere Funktion reagiert darauf mit ihrer eigenen Steigung $u'$. Die Faktoren multiplizieren sich.
Beim Ausklammern entsteht eine faktorisierte Form. Sie zeigt die Nullstellen von $f'$ sofort, denn $e^{kx}$ ist nie null.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot e^{2x}$, $x\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie $f'(x)$. b) Bestimmen Sie die Nullstelle von $f'$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot e^{2x}$, $x\in\mathbb{R}$.
- a) Bestimmen Sie $f'(x)$.
- b) Bestimmen Sie die Nullstelle von $f'$.
Sinus, Logarithmus und Eigenschaften von Funktionen
Für Funktionen der Form $f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d$ lesen Sie die Eigenschaften direkt ab:
| Größe | Wert |
|---|---|
| Amplitude | $\lvert a\rvert$ |
| Periode | $\frac{2\pi}{\lvert b\rvert}$ |
| Mittellage | $d$ |
| Wertebereich | $[d-\lvert a\rvert;\ d+\lvert a\rvert]$ |
Die Ableitung ist $f'(x)=a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x+c)$. Winkel werden im Bogenmaß gemessen.
Für den natürlichen Logarithmus gilt: $\ln x$ ist nur für $x>0$ definiert, hat die Nullstelle $x=1$ und ist streng monoton wachsend. Bei $\ln(g(x))$ muss das Argument positiv sein: $g(x)>0$. Die Ableitung ist $\frac{g'(x)}{g(x)}$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=3\cdot\sin(2x)+1$, $x\in\mathbb{R}$. a) Geben Sie die Amplitude und die Periode von $f$ an. b) Geben Sie den Wertebereich von $f$…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=3\cdot\sin(2x)+1$, $x\in\mathbb{R}$.
- a) Geben Sie die Amplitude und die Periode von $f$ an.
- b) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.
- c) Berechnen Sie $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln(2x-6)$ im maximalen Definitionsbereich. a) Geben Sie den Definitionsbereich von $f$ an. b) Bestimmen Sie die Nullstelle von…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln(2x-6)$ im maximalen Definitionsbereich.
- a) Geben Sie den Definitionsbereich von $f$ an.
- b) Bestimmen Sie die Nullstelle von $f$.
- c) Bestimmen Sie $f'(x)$ und vereinfachen Sie den Term.
Funktionenscharen und Extremstellen
Bei einer Funktionenschar $f_a$ ist $a$ ein Parameter. Sie behandeln $a$ beim Ableiten wie eine Zahl. Der Ablauf bei Extremstellen:
-
$f_a'(x)$ bilden und faktorisieren.
-
$f_a'(x)=0$ lösen.
-
Art der Extremstelle prüfen, entweder mit $f_a''$ oder mit dem Vorzeichenwechsel von $f_a'$.
Bei $f_k(x)=x^2e^{-kx}$ klammern Sie ebenso aus: $f_k'(x)=2xe^{-kx}+x^2(-k)e^{-kx}=x(2-kx)\,e^{-kx}$. Die Nullstellen sind $x=0$ und $x=\frac2k$. Für $k>0$ gilt: $f_k'$ wechselt bei $0$ von $-$ nach $+$ (Tiefpunkt) und bei $\frac2k$ von $+$ nach $-$ (Hochpunkt). Soll der Hochpunkt bei $x=4$ liegen, folgt $\frac2k=4$, also $k=\frac12$.
Für $a>0$ ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(x-a)\cdot e^{x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben. a) Bestimmen Sie $f_a'(x)$ und $f_a''(x)$. b) Zeigen Sie, dass $f_a$…
Für $a>0$ ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(x-a)\cdot e^{x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben.
- a) Bestimmen Sie $f_a'(x)$ und $f_a''(x)$.
- b) Zeigen Sie, dass $f_a$ genau eine lokale Extremstelle besitzt, und entscheiden Sie, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.
- c) Der Graph von $f_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\,|\,-3)$. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$.
Für $k>0$ ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=x^2\cdot e^{-k\cdot x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben. a) Zeigen Sie, dass…
Für $k>0$ ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=x^2\cdot e^{-k\cdot x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben.
- a) Zeigen Sie, dass $f_k'(x)=x\cdot(2-k\cdot x)\cdot e^{-k\cdot x}$ gilt.
- b) Bestimmen Sie die Extremstellen von $f_k$ und entscheiden Sie mithilfe des Vorzeichens von $f_k'$, um welche Art von Extremstellen es sich handelt.
- c) Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den der Hochpunkt von $f_k$ die $x$-Koordinate $4$ hat.
Umkehrfunktion und Wertebereich
Eine streng monotone Funktion ist umkehrbar. Der Graph von $f^{-1}$ entsteht durch Spiegelung an der Geraden $y=x$. Dabei tauschen Definitions- und Wertebereich ihre Rollen: $\mathbb{D}_{f^{-1}}=\mathbb{W}_f$.
Entsprechend sind $x^2$ (für $x\ge0$) und $\sqrt x$ Umkehrfunktionen voneinander.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot e^{x-1}+3$, $x\in\mathbb{R}$. a) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an. b) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot e^{x-1}+3$, $x\in\mathbb{R}$.
- a) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.
- b) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und geben Sie deren Definitionsbereich an.
- c) Berechnen Sie $f^{-1}(5)$.
Änderungsrate und lineare Approximation
Die Ableitung $f'(t_0)$ ist die momentane Änderungsrate. Sie ist die Steigung der Tangente. Nahe $t_0$ gilt die lineare Approximation:
$$f(t_0+h)\approx f(t_0)+f'(t_0)\cdot h$$Die Temperatur einer Tasse Tee (in °C) wird nach $t$ Minuten durch $T(t)=20+60\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$ beschrieben ($t\ge 0$). a) Berechnen Sie die Anfangstemperatur. b)…
Die Temperatur einer Tasse Tee (in °C) wird nach $t$ Minuten durch $T(t)=20+60\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$ beschrieben ($t\ge 0$).
- a) Berechnen Sie die Anfangstemperatur.
- b) Bestimmen Sie $T'(0)$ und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- c) Bestimmen Sie mithilfe der linearen Approximation an der Stelle $t=0$ einen Näherungswert für die Temperatur nach einer Minute.
- d) Zeigen Sie, dass $T'(t)=-0{,}1\cdot\big(T(t)-20\big)$ gilt.
Verkettung abstrakt, Tangenten und ln
Manchmal sind keine Funktionsterme gegeben, sondern nur Werte in einer Tabelle. Dann setzen Sie die Regeln direkt ein:
-
$h(x)=f(g(x))\Rightarrow h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$
-
$k(x)=f(x)\cdot g(x)\Rightarrow k'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
Die Tangente an $f$ im Punkt $P(u\,|\,f(u))$ lautet allgemein $y=f'(u)\,(x-u)+f(u)$.
Tangente an $\ln x$ in $P(u\,|\,\ln u)$: $y=\frac1u(x-u)+\ln u=\frac xu-1+\ln u$. Läuft sie durch den Ursprung, muss $0=-1+\ln u$ gelten, also $\ln u=1$ und $u=e$. Es gibt genau eine solche Tangente, der Berührpunkt ist $P(e\,|\,1)$, und die Tangente ist $y=\frac xe$.
Die Funktionen $f$ und $g$ sind differenzierbar. Für ausgewählte Stellen sind folgende Werte bekannt: | $x$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $g(x)$ | $g'(x)$ | |---|---|---|---|---|…
Die Funktionen $f$ und $g$ sind differenzierbar. Für ausgewählte Stellen sind folgende Werte bekannt:
| $x$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $g(x)$ | $g'(x)$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| 2 | 5 | −4 | 7 | 1 |
Die Funktionen $h$ und $k$ sind definiert durch $h(x)=f(g(x))$ und $k(x)=f(x)\cdot g(x)$.
- a) Berechnen Sie $h'(1)$.
- b) Berechnen Sie $k'(1)$.
- c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ an der Stelle $x=1$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln x$, $x>0$. a) Begründen Sie mithilfe der Gleichung $e^{\ln x}=x$ und der Kettenregel, dass $f'(x)=\frac{1}{x}$ gilt. b)…
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln x$, $x>0$.
- a) Begründen Sie mithilfe der Gleichung $e^{\ln x}=x$ und der Kettenregel, dass $f'(x)=\frac{1}{x}$ gilt.
- b) Bestimmen Sie für $u>0$ eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(u\,|\,\ln u)$.
- c) Zeigen Sie, dass es genau eine Tangente an den Graphen von $f$ gibt, die durch den Koordinatenursprung verläuft, und bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts.
Zurück zum Anfang: Der Werkzeugkasten aus Produkt- und Kettenregel, Ausklammern und der Beachtung von $e^{kx}>0$ führt Sie auch ohne Hilfsmittel in wenigen Zeilen zur Extremstelle von $f_a$.