Biquadratische Gleichungen · Mathematik (Leistungskurs) Q2 Leistungskurs

Die Substitution $z = x^2$

Eine biquadratische Gleichung hat die Form

$$a x^4 + b x^2 + c = 0 \quad (a \neq 0).$$

Es kommen nur die Potenzen $x^4$, $x^2$ und eine Konstante vor. Wegen $x^4 = (x^2)^2$ ersetzt du $x^2$ durch eine neue Variable $z$. Dann entsteht eine quadratische Gleichung.

Beachte: Für $x^2 = z$ gilt:

Bei $z > 0$ gibt es zwei Lösungen $x = \pm\sqrt{z}$.
Bei $z = 0$ gibt es genau eine Lösung $x = 0$.
Bei $z < 0$ gibt es keine reelle Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.

So beantwortest du auch die Frage vom Anfang: Das Profil liegt bei $x = -2$, $-1$, $1$ und $2$ auf der Höhe $0$. Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Üben★☆☆

Lösen Sie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ mittels Substitution $z = x^2$.

Lösen

Sonderfälle ohne pq-Formel

Manchmal geht es schneller, ganz ohne Substitution und pq-Formel.

Fall 1: kein $x^2$-Term. Bei $x^4 - 16 = 0$ gilt $x^4 = 16$. Ziehe die vierte Wurzel: $x = \pm 2$. Oder zerlege mit der dritten binomischen Formel:

$$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0.$$

Der Faktor $x^2 + 4$ wird nie null. Aus $x^2 = 4$ folgt $x = \pm 2$.

Fall 2: kein konstanter Term. Bei $x^4 + 3x^2 = 0$ klammerst du $x^2$ aus:

$$x^2\,(x^2 + 3) = 0.$$

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Aus $x^2 = 0$ folgt $x = 0$. Der Faktor $x^2 + 3$ ist immer positiv. Also $\mathbb{L} = \{0\}$.

Üben★☆☆

Lösen Sie $x^4 - 16 = 0$ in $\mathbb{R}$.

Lösen

Üben★☆☆

Lösen Sie $x^4 + 3x^2 = 0$ in $\mathbb{R}$.

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Wie viele Lösungen gibt es?

Ob die Gleichung null, zwei, drei oder vier Lösungen hat, hängt von den Lösungen $z$ ab. Betrachte $x^4 - 4x^2 + c = 0$ mit der Substitution $z^2 - 4z + c = 0$. Die Lösungen sind

$$z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - c}.$$

Lage von $c$	Lösungen $z$	Lösungen $x$
$0 < c < 4$	zwei positive	vier
$c = 0$	$z = 0$ und $z = 4$	drei: $0$, $\pm 2$
$c < 0$	eine positive, eine negative	zwei
$c = 4$	$z = 2$ (doppelt)	zwei: $\pm\sqrt{2}$
$c > 4$	keine (Diskriminante negativ)	keine

Die Anzahl der Lösungen hängt also von zwei Fragen ab: Hat die quadratische Gleichung Lösungen? Und sind diese positiv, null oder negativ?

Üben★★☆

Lösen Sie in $\mathbb{R}$: a) $2x^4 - 7x^2 + 3 = 0$ b) $x^4 + x^2 + 1 = 0$ c) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

Lösen Sie in $\mathbb{R}$:

a) $2x^4 - 7x^2 + 3 = 0$
b) $x^4 + x^2 + 1 = 0$
c) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

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Üben★★★

Bestimmen Sie $c$ so, dass $x^4 - 4x^2 + c = 0$ a) genau vier, b) genau drei, c) genau zwei, d) keine reelle Lösungen besitzt. Begründen Sie jeweils.

Bestimmen Sie $c$ so, dass $x^4 - 4x^2 + c = 0$

a) genau vier,
b) genau drei,
c) genau zwei,
d) keine

reelle Lösungen besitzt. Begründen Sie jeweils.

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Anwendung: Funktionsuntersuchung

Eine Funktion $f(x) = a x^4 + b x^2 + c$ enthält nur gerade Exponenten. Dann gilt $f(-x) = f(x)$. Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Für den Nachweis setzt du $-x$ ein und zeigst, dass wieder $f(x)$ herauskommt.

Gleichungen wie $f(x) = k$ löst du genauso. Aus $x^4 - 8x^2 + 16 = 9$ wird $x^4 - 8x^2 + 7 = 0$ und damit $z^2 - 8z + 7 = 0$. Die Anzahl der Schnittpunkte mit der Geraden $y = k$ ist die Anzahl der Lösungen.

Fläche zwischen Graph und $x$-Achse. Die Fläche zwischen zwei Nullstellen berechnest du mit dem Integral. Liegt der Graph unterhalb der $x$-Achse, ist das Integral negativ. Dann nimmst du den Betrag.

Üben★★☆

Gegeben ist $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$. a) Berechnen Sie die Nullstellen. b) Berechnen Sie die Extremstellen. c) Weisen Sie die Achsensymmetrie nach.

Gegeben ist $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$.

a) Berechnen Sie die Nullstellen.
b) Berechnen Sie die Extremstellen.
c) Weisen Sie die Achsensymmetrie nach.

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Üben★★☆

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$. a) Berechnen Sie die Nullstellen und deren Vielfachheit. b) Bestimmen Sie die Tiefpunkte und den Hochpunkt. c)…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$.

a) Berechnen Sie die Nullstellen und deren Vielfachheit.
b) Bestimmen Sie die Tiefpunkte und den Hochpunkt.
c) Bestimmen Sie die Anzahl der Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden $y = 9$.

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Funktionsscharen und Funktionsgleichungen

Funktionsgleichung aufstellen. Ein achsensymmetrisches Polynom vierten Grades hat die Form $f(x) = a x^4 + b x^2 + c$. Sind die Nullstellen $\pm x_1$ und $\pm x_2$ bekannt, dann gilt $f(x) = a\,(x^2 - x_1^2)(x^2 - x_2^2)$. Den Faktor $a$ bestimmst du mit einem weiteren Punkt.

Funktionsscharen. Bei $f_a(x) = x^4 - a x^2$ steckt in jedem Wert von $a$ eine eigene Funktion. Die Lösungen hängen von $a$ ab, und du musst Fälle unterscheiden. Klammere aus: $f_a(x) = x^2\,(x^2 - a)$. Dann gilt:

$a > 0$: Nullstellen $x = 0$ (doppelt) und $x = \pm\sqrt{a}$.
$a \leq 0$: nur die Nullstelle $x = 0$, denn $x^2 = a$ ist unlösbar oder hat nur $x = 0$ als Lösung.

Extremstellen der Schar. Es ist $f_a'(x) = 4x^3 - 2ax = 2x\,(2x^2 - a)$. Dann gilt:

$a < 0$: nur $x = 0$ ist Nullstelle von $f_a'$, also genau eine Extremstelle (ein Tiefpunkt).
$a = 0$: Es ist $f_0(x) = x^4$ mit $f_0'(x) = 4x^3$. Bei $x = 0$ liegt ein Tiefpunkt, denn $f_0'$ wechselt dort das Vorzeichen von $-$ nach $+$. Auch hier gibt es genau eine Extremstelle.
$a > 0$: $x = 0$ und $x = \pm\sqrt{\tfrac{a}{2}}$, also drei Extremstellen: ein Hochpunkt bei $x=0$ und zwei Tiefpunkte.

Probiere es aus: Verändere $a$ und beobachte, wann sich die Anzahl der Nullstellen ändert.

Üben★★★

Gegeben ist $f_a(x) = x^4 - ax^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ (Fallunterscheidung). b) Bestimmen Sie die Anzahl der…

Gegeben ist $f_a(x) = x^4 - ax^2$ mit $a \in \mathbb{R}$.

a) Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ (Fallunterscheidung).
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Extremstellen in Abhängigkeit von $a$.
c) Bestimmen Sie $a$ so, dass die Tiefpunkte die $y$-Koordinate $-4$ haben.

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Üben★★★

Ein achsensymmetrisches Polynom vierten Grades hat Nullstellen bei $x = \pm 1$ und $x = \pm 3$ und schneidet die $y$-Achse bei $y = 9$. a) Bestimmen Sie die…

Ein achsensymmetrisches Polynom vierten Grades hat Nullstellen bei $x = \pm 1$ und $x = \pm 3$ und schneidet die $y$-Achse bei $y = 9$.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
b) Berechnen Sie die Fläche, die der Graph zwischen $x = -1$ und $x = 1$ mit der $x$-Achse einschließt.
c) Bestimmen Sie die Extremstellen exakt.

Lösen

Auf einen Blick

Biquadratische Gleichung: $a x^4 + b x^2 + c = 0$. Substituiere $z = x^2$, löse $a z^2 + b z + c = 0$ und rücksubstituiere.
Rücksubstitution: $z > 0$ liefert $x = \pm\sqrt{z}$, $z = 0$ liefert $x = 0$, und $z < 0$ liefert keine reelle Lösung.
Sonderfälle: ohne $x^2$-Term, Wurzel ziehen oder binomische Formel. Ohne Konstante, $x^2$ ausklammern, nie dividieren.
Anzahl der Lösungen: null, zwei, drei oder vier. Entscheidend sind die Anzahl und das Vorzeichen der Lösungen $z$.
Funktionen: $f(x) = a x^4 + b x^2 + c$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Nullstellen löst du mit der Substitution, Extremstellen durch Ausklammern bei $f'(x) = 0$.
Funktionsscharen: Die Anzahl der Nullstellen und Extremstellen hängt vom Parameter ab. Unterscheide die Fälle.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Lösen Sie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ mittels Substitution $z = x^2$.★☆☆ Lösen Sie $x^4 - 16 = 0$ in $\mathbb{R}$.★☆☆ Lösen Sie $x^4 + 3x^2 = 0$ in $\mathbb{R}$.