Ergänzungen Q2: Funktionsscharen, Integralrechnung und Wachstum · Integralrechnung
ln als Stammfunktion und Hauptsatz
Ein Regenrückhaltebecken in Essen wird so befüllt, dass die Zuflussrate zur Zeit $t$ (in Minuten) $f(t) = \frac{1}{t}$ m³/min beträgt. Wie viel Wasser fließt zwischen $t = 1$ und $t = \mathrm{e}$ zu? Bisher kennen Sie für $\frac{1}{x}$ keine Stammfunktion: Die Potenzregel $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ versagt für $n = -1$, weil durch $0$ geteilt würde. Am Ende dieser Seite beantworten Sie die Frage. Außerdem klären Sie, warum Integrieren und Ableiten Umkehrungen voneinander sind.
ln x als Stammfunktion von 1/x
Sie wissen: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ für $x > 0$. Das folgt aus $\mathrm{e}^{\ln x} = x$ und der Kettenregel: Ableiten beider Seiten ergibt $\mathrm{e}^{\ln x} \cdot (\ln x)' = 1$, also $x \cdot (\ln x)' = 1$.
Man liest diese Aussage rückwärts und erhält die fehlende Stammfunktion.
Der Faktor vor $\frac{1}{x}$ bleibt beim Integrieren erhalten: $\int \frac{k}{x}\,dx = k \cdot \ln x + C$.
Berechnen Sie $\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx$ und $\int_{1/e}^{1} \frac{1}{x}\,dx$ und erläutern Sie den Zusammenhang mit der Eigenschaft $\ln(1/a) = -\ln a$.
Berechnen Sie $\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx$ und $\int_{1/e}^{1} \frac{1}{x}\,dx$ und erläutern Sie den Zusammenhang mit der Eigenschaft $\ln(1/a) = -\ln a$.
Die Summenregel gilt wie gewohnt: Man integriert jeden Summanden einzeln. Bei einer Stammfunktion mit Bedingung $F(x_0) = y_0$ legt man zuerst die allgemeine Stammfunktion fest und bestimmt dann die Konstante $C$.
Üben★★☆Nicht begonnen
Gegeben ist $f(x) = \frac{2}{x} + x$ für $x > 0$. a) Bestimmen Sie die Stammfunktion $F$ mit $F(1) = 3$. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der…
Gegeben ist $f(x) = \frac{2}{x} + x$ für $x > 0$.
a) Bestimmen Sie die Stammfunktion $F$ mit $F(1) = 3$.
b) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse über $[1;4]$.
Bisher haben Sie bestimmte Integrale mit Stammfunktionen berechnet. Warum das funktioniert, zeigt der Hauptsatz. Er beginnt mit einer Funktion, deren obere Grenze variabel ist.
Beispiel: Für $f(t) = 2t + 1$ ist $F(x) = \int_0^x (2t+1)\,dt = \left[t^2 + t\right]_0^x = x^2 + x$. Die Ableitung ist $F'(x) = 2x + 1 = f(x)$. Das ist kein Zufall.
Der Streifen hat die Breite $h$ und ungefähr die Höhe $f(x)$, wenn $h$ klein ist und $f$ stetig. Sein Flächeninhalt ist also $\approx f(x)\cdot h$, und der Quotient liegt nahe bei $f(x)$. Für $h \to 0$ wird daraus genau $f(x)$.
Begründung des 2. Teils. $F$ und $G$ sind Stammfunktionen von $f$, unterscheiden sich also nur um eine Konstante: $G(x) = F(x) + C$. Damit ist $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = F(b) - 0 = \int_a^b f(t)\,dt$.
Obere Grenze als Funktion von x
Steht als obere Grenze ein Term $u(x)$, ist $H(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt = F(u(x))$ eine Verkettung. Mit der Kettenregel folgt
$$H'(x) = f(u(x))\cdot u'(x).$$
Üben★☆☆Nicht begonnen
Gegeben ist $F(x) = \int_0^{x} (2t+1)\,dt$. Bestimmen Sie $F(x)$ und $F'(x)$.
Gegeben ist $F(x) = \int_0^{x} (2t+1)\,dt$. Bestimmen Sie $F(x)$ und $F'(x)$.
Gegeben ist $F(x) = \int_1^{x} \frac{1}{t}\,dt$ für $x > 0$. a) Begründen Sie mit dem Hauptsatz, dass $F'(x) = \frac{1}{x}$ gilt. b) Bestimmen Sie $F(1)$ und das…
Gegeben ist $F(x) = \int_1^{x} \frac{1}{t}\,dt$ für $x > 0$.
a) Begründen Sie mit dem Hauptsatz, dass $F'(x) = \frac{1}{x}$ gilt.
b) Bestimmen Sie $F(1)$ und das Monotonieverhalten von $F$.
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $F$ an der Stelle $x = 2$.
Gegeben ist $f$ stetig auf $[a;b]$ und $F(x) = \int_a^{x} f(t)\,dt$. a) Erläutern Sie anschaulich mit dem Differenzenquotienten $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$, warum…
Gegeben ist $f$ stetig auf $[a;b]$ und $F(x) = \int_a^{x} f(t)\,dt$.
a) Erläutern Sie anschaulich mit dem Differenzenquotienten $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$, warum $F'(x) = f(x)$ gilt.
b) Folgern Sie, dass für jede Stammfunktion $G$ von $f$ gilt: $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$.
c) Zeigen Sie, dass $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt = 2x\,e^{-x^4}$ gilt.
Integrale wie $\int \frac{\ln x}{x}\,dx$ oder $\int \ln x\,dx$ lösen Sie mit zwei Ideen.
Substitution (Kettenregel rückwärts)
Erkennen Sie im Integranden eine Funktion $g(x)$ und ihre Ableitung $g'(x)$ als Faktor, ersetzen Sie $u = g(x)$ und $du = g'(x)\,dx$. Dann ist $\int h(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int h(u)\,du$. Bei bestimmten Integralen wechseln auch die Grenzen oder man substituiert zurück.
Eine Stammfunktion von ln x
Aus der Produktregel lässt sich eine Stammfunktion von $\ln x$ finden. Probieren Sie $F(x) = x\ln x - x$:
$$F'(x) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x.$$
Daraus folgt $\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,dx = [x\ln x - x]_1^{\mathrm{e}} = (\mathrm{e} - \mathrm{e}) - (0 - 1) = 1$. Die Fläche zwischen dem Graphen von $\ln$ und der $x$-Achse über $[1;\mathrm{e}]$ hat also den Inhalt $1$. Das ist dieselbe Zahl wie bei $\frac{1}{x}$ über demselben Intervall.
Üben★★★Nicht begonnen
Gegeben ist $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ für $x > 0$. a) Bestimmen Sie durch Substitution eine Stammfunktion von $f$. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen…
Gegeben ist $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ für $x > 0$.
a) Bestimmen Sie durch Substitution eine Stammfunktion von $f$.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $x$-Achse über $[1;e^2]$.
c) Untersuchen Sie, ob $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert.
Gegeben ist $f(x) = \ln x$. a) Zeigen Sie durch Ableiten, dass $F(x) = x\ln x - x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. b) Berechnen Sie $\int_1^{e} \ln x\,dx$ und deuten Sie…
Gegeben ist $f(x) = \ln x$.
a) Zeigen Sie durch Ableiten, dass $F(x) = x\ln x - x$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
b) Berechnen Sie $\int_1^{e} \ln x\,dx$ und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
c) Die Fläche zwischen dem Graphen von $f$, der $x$-Achse und der Geraden $x = e$ rotiert um die $y$-Achse. Bestimmen Sie das Volumen mithilfe der Umkehrfunktion $x = e^{y}$.