Lineare Approximation

Die Tangente als lineare Näherung

Zoomt man weit genug an einen Graphen heran, sieht er aus wie eine Gerade, und zwar wie seine Tangente. Diese Gerade kann man leicht ausrechnen. Deshalb ersetzt man $f$ in der Nähe einer Stelle $x_0$ durch sie.

Der Grund: $f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente, und die Tangente läuft durch $P(x_0\,|\,f(x_0))$. Das ist genau die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. Gehen Sie von $x_0$ um $h = x - x_0$ nach rechts, dann steigt die Tangente um $f'(x_0)\cdot h$.

Erst die Funktion, dann die Tangente. Ein Beispiel zeigt das Vorgehen.

Ein zweites Beispiel mit Wurzel: Gesucht ist $\sqrt{4{,}1}$. Mit $f(x) = \sqrt{x}$ und $x_0 = 4$ gilt $f(4) = 2$ und $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, also $f'(4) = \frac14$. Damit ist $t(x) = 2 + \frac14(x - 4)$ und $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac14 \cdot 0{,}1 = 2{,}025$.

Probieren Sie in der interaktiven Grafik die Tangente von $x^3$ bei $x_0 = 2$ aus. Je weiter Sie von $x = 2$ weggehen, desto größer wird der Abstand.

Wie gut ist die Näherung?

Der absolute Fehler ist $|f(x) - t(x)|$, also der senkrechte Abstand zwischen Graph und Tangente. Er ist klein nahe bei $x_0$ und wächst mit dem Abstand $|x - x_0|$.

Ob die Näherung zu groß oder zu klein ist, sagt die Krümmung, also $f''$:

Das passt zu den Beispielen. Für $x^3$ bei $x_0 = 2$ ist $f''(2) = 12 > 0$, und die Näherung $9{,}2$ liegt unter dem exakten Wert $9{,}261$. Für $\sqrt{x}$ ist $f''(x) = -\frac14 x^{-3/2} < 0$, und $2{,}025$ liegt über dem exakten Wert $2{,}02485\ldots$

Eine Begründung für alle $x$ gelingt, wenn $f''$ auf dem ganzen Intervall ein festes Vorzeichen hat. Dann liegt der ganze Graph auf einer Seite der Tangente.

Änderungen und Messunsicherheiten abschätzen

Oft kennt man nicht den Wert selbst, sondern fragt, wie sehr sich $f$ ändert, wenn sich $x$ ein wenig ändert. Aus der linearen Näherung folgt mit $\Delta x = x - x_0$:

Die Ableitung wirkt wie ein Verstärkungsfaktor: Eine kleine Änderung von $x$ wird mit $f'(x_0)$ multipliziert. Dasselbe Prinzip steckt in jeder Messunsicherheit. Ist $x$ nur auf $\pm\Delta x$ genau bekannt, dann ist $f(x)$ nur auf etwa $\pm |f'(x_0)|\cdot \Delta x$ genau bekannt.

Das gilt allgemein. Für $V = c\cdot r^n$ ist $V' = n\,c\,r^{n-1}$, und damit

Beim Pendel $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ist $n = \tfrac12$. Dort ändert sich $T$ also nur halb so stark (relativ) wie $L$.

Das Newton-Verfahren

Die lineare Näherung hilft auch, Nullstellen zu finden, wenn man die Gleichung $f(x) = 0$ nicht auflösen kann. Man startet bei einem Schätzwert $x_0$ und ersetzt $f$ durch die Tangente. Deren Nullstelle ist meist näher an der echten Nullstelle.

Herleitung: Die Tangente bei $x_n$ ist $t(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Aus $t(x) = 0$ folgt $x - x_n = -\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, falls $f'(x_n) \neq 0$ ist.

Warum das Verfahren so schnell konvergiert, sieht man an der Krümmung. Ist $f$ konvex mit $f'>0$ (wie $x^2 - 3$ für $x>0$), dann liegt der Graph über jeder Tangente. Die Nullstelle der Tangente liegt deshalb rechts von der echten Nullstelle, aber links von $x_n$. Die Folge fällt also monoton und bleibt über der Nullstelle.

Zurück zum Anfang: Mit $x_0 = 4$ ist $\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}025$. Wegen $f'' < 0$ ist dieser Wert etwas zu groß (exakt $2{,}02485\ldots$). Das lässt sich ohne Taschenrechner angeben und begründen.

Auf einen Blick