Die Binomialverteilung

Entscheiden Sie begründet, welche der folgenden Zufallsgrößen binomialverteilt sind:

1. Aus einem Skatblatt werden nacheinander $4$ Karten ohne Zurücklegen gezogen und die Anzahl der Asse gezählt.

2. Ein fairer Würfel wird $10$-mal geworfen und gezählt, wie oft eine gerade Zahl fällt.

3. $20$ Personen einer Stadt werden nach ihrer Lieblingsfarbe aus einer Liste von $5$ Farben gefragt.

Eine neue Messenger-App hat festgestellt, dass $30\,\%$ der gesendeten Nachrichten mindestens ein Emoji enthalten. Ein Schüler sendet eine Serie von $n = 6$ voneinander unabhängigen Nachrichten an eine Gruppe. Geben Sie die Parameter der Binomialverteilung an, der die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Nachrichten mit Emojis“ folgt, und schreiben Sie den Term ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = k)$ auf.

In einem Ego-Shooter trifft ein Spieler bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ das Ziel. Er gibt eine Serie von $n = 4$ voneinander unabhängigen Schüssen ab. Berechnen Sie mit der Formel der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass er genau $3$-mal trifft.

Gegeben ist eine diskrete Zufallsgröße, die einer $X \sim B(n=5, p=0,4)$-Verteilung folgt. Vervollständigen Sie die folgende Tabelle ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die angegebenen Werte:

Bei einer Qualitätskontrolle in einem Mikrochip-Werk in Düsseldorf ist bekannt, dass ein Teil mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0,1$ defekt ist. Es wird eine zufällige Stichprobe von $n = 5$ unabhängigen Mikrochips entnommen. Leon möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in der Stichprobe genau ein Mikrochip defekt ist, und schreibt in seiner Klausur:

Bei der Korrektur zieht ihm seine Lehrkraft Punkte ab. Leon argumentiert: „Es gibt nur einen Treffer, also muss nichts vertauscht werden; das direkte Produkt unabhängiger Wahrscheinlichkeiten liefert bereits das genaue Ergebnis.“

1. a) Erklären Sie in eigenen Worten, worin Leons begrifflicher Fehler besteht und warum sein Term nur einer bestimmten geordneten Reihenfolge entspricht und nicht der binomialverteilten Zufallsgröße $X$.
2. b) Korrigieren Sie das Vorgehen, indem Sie den tatsächlichen Wert von $P(X = 1)$ berechnen, und bestimmen Sie den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ der Anzahl defekter Mikrochips in der Stichprobe.

Es ist bekannt, dass $15\,\%$ der Abonnenten eines Streaming-Kanals ihr Abo kündigen, bevor der erste Monat vorbei ist. Wir wählen zufällig $100$ neue Abonnenten aus. Berechnen Sie die erwartete Anzahl an Kündigungen (Erwartungswert) und die Standardabweichung dieser Verteilung.

Ein E-Mail-Server verwendet einen fortschrittlichen Sicherheitsfilter, der $92\%$ der Phishing-Nachrichten korrekt erkennt. Wenn an einem Vormittag $12$ schädliche E-Mails im Posteingang eines Unternehmens eintreffen:

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Filter mindestens $11$ dieser E-Mails erkennt.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Filter versagt und mehr als eine schädliche E-Mail durchlässt.
3. c) Wie viele E-Mails erkennt der Filter erwartungsgemäß im Mittel? Berechnen Sie auch die Standardabweichung der Verteilung.

Ein Unternehmen, das Bauteile für Drohnen herstellt, führt eine strenge Qualitätskontrolle durch. Man hat beobachtet, dass die Anzahl defekter Sensoren in Losen von 20 Stück binomialverteilt ist. Die Standardabweichung dieser Verteilung beträgt genau $1,2$ Sensoren:

1. a) Berechnen Sie die möglichen Werte der Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein Sensor defekt ist.

1. b) Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sensor in Ordnung ist, größer ist als die, dass er defekt ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Los von 20 Stück genau 2 Sensoren defekt sind.

1. c) Ein Techniker prüft die Sensoren einzeln nacheinander. Wie groß ist für den im vorigen Teil bestimmten Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass der erste defekte Sensor genau bei der vierten Prüfung auftritt?

In einem sozialen Fotonetzwerk wurde geschätzt, dass ein Follower einen Beitrag eines bestimmten Influencers mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0,25$ mit „Like“ bewertet. Der Influencer veröffentlicht eine Story, die $8$ Follower unabhängig voneinander ansehen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens ein „Like“ erhält.

Hinweis: Nutzen Sie das Gegenereignis.

In einem beliebten Strategiespiel liegt die Wahrscheinlichkeit, dass eine „Beutekiste“ einen legendären Skin enthält, bei $15\%$. Ein Spieler öffnet nacheinander ein Paket von $8$ Kisten. Angenommen, der Inhalt jeder Kiste ist unabhängig von den anderen:

1. a) Geben Sie die Parameter der Binomialverteilung an, der die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der erhaltenen legendären Skins“ folgt.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler genau $2$ legendäre Skins erhält.

1. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler im gesamten Paket keinen einzigen legendären Skin erhält?

Eine Basketballspielerin der Universitätsliga hat eine Freiwurfquote von $80\%$. In einem entscheidenden Spiel bekommt sie $10$ Freiwürfe zugesprochen. Nehmen Sie an, dass die Würfe unabhängig sind und die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem gleich ist.

1. a) Definieren Sie die Zufallsgröße und ihre Verteilung.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau $8$ der $10$ Würfe trifft.

1. c) Muss sie mindestens $9$ der $10$ Würfe treffen, um das Spiel zu gewinnen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Team dank ihrer Freiwürfe gewinnt?

Eine Lieferdienst-App garantiert die Lieferung in weniger als 30 Minuten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zusteller diese Garantie einhält, beträgt $p=0,9$. Ein Zusteller führt an einem Tag 20 Lieferungen durch.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der rechtzeitigen Lieferungen größer als 17 ist, wenn man weiß, dass mindestens 16 rechtzeitig geliefert wurden.

1. b) Betragen die Kosten für das Unternehmen je verspäteter Lieferung $5$ Euro und der Gewinn je rechtzeitiger Lieferung $2$ Euro, berechnen Sie den Erwartungswert des Gesamtgewinns des Zustellers nach den 20 Lieferungen.

1. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtgewinn positiv ist.

In einer Studie zur nachhaltigen Mobilität in einer deutschen Stadt wurde beobachtet, dass $25\%$ der Jugendlichen zwischen $16$ und $18$ Jahren den E-Scooter für den Weg zur Schule nutzen. Es wird eine Zufallsstichprobe von $6$ Schülerinnen und Schülern dieser Altersgruppe gezogen.

1. a) Erstellen Sie die Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Schülerinnen und Schüler, die einen E-Scooter nutzen“.
2. b) Wie lautet die wahrscheinlichste Anzahl an Erfolgen (der Modalwert der Verteilung)?
3. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Hälfte der ausgewählten Schülerinnen und Schüler oder mehr dieses Verkehrsmittel nutzt.

Sie können dies auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Gemäß Studien zum Umweltverhalten in Deutschland trennen $80\,\%$ der Haushalte einer Gemeinde regelmäßig Kunststoffverpackungen zum Recycling ($p = 0,8$). Es wird unabhängig voneinander eine Zufallsstichprobe von $n = 10$ Haushalten ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ sei die Anzahl der Haushalte der Stichprobe, die Kunststoff trennen.

1. a) Berechnen Sie den Erwartungswert $\mu = n \cdot p$. Beantworten Sie vor der Anwendung der Binomialformel begründet: Glauben Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, genau diesen Erwartungswert $P(X = 8)$ zu erhalten, sehr hoch sein wird (zum Beispiel größer als $50\,\%$)? Begründen Sie Ihre Vorhersage unter Berücksichtigung, dass die Zufallsgröße auch andere, nahe liegende Werte annehmen kann.
2. b) Berechnen Sie $P(X = 8)$ mithilfe der Binomialverteilung exakt und vergleichen Sie das numerische Ergebnis mit Ihrer vorherigen Abschätzung.
3. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die große Mehrheit der Stichprobe (mindestens $9$ Haushalte) den Abfall trennt, und überlegen Sie, ob das Ergebnis zu dem passt, was bei einer so hohen individuellen Erfolgswahrscheinlichkeit zu erwarten ist.

Ein Unternehmen zur Herstellung elektronischer Bauteile weiß, dass ein Kondensator mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\%$ defekt ist. Die Kondensatoren werden für den Vertrieb in Kartons verpackt.

1. a) Enthält ein Karton $20$ Kondensatoren, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau ein defektes Bauteil zu finden?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Karton mit $20$ Stück mindestens zwei defekt sind?
3. c) Wie viele Kondensatoren müsste ein Karton mindestens enthalten, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen defekten zu finden, größer als $0,9$ ist?

Eine Multiple-Choice-Klausur besteht aus $15$ Fragen mit je $4$ möglichen Antworten, von denen nur eine richtig ist. Ein Schüler, der nichts gelernt hat, beantwortet alle Fragen zufällig.

1. a) Welcher Verteilung folgt die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der richtigen Antworten“? Geben Sie ihre Parameter an.

1. b) Muss man zum Bestehen der Klausur mindestens $8$ Fragen richtig beantworten, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler besteht?

1. c) Berechnen Sie den Erwartungswert und erklären Sie seine Bedeutung im Kontext der Aufgabe.

Aus den historischen Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes (DWD) geht hervor, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Herbsttag in Münster regnet, $p = 0,6$ beträgt. Eine Touristengruppe verbringt ein verlängertes Wochenende von $n = 4$ Tagen in dieser Stadt.

1. a) Modellieren Sie die Situation, indem Sie die zugehörige Zufallsgröße festlegen, und beurteilen Sie kritisch, ob in der Wirklichkeit des Wetters die beiden grundlegenden Bedingungen des Binomialmodells streng erfüllt sind: die stochastische Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Tage und die Konstanz der Wahrscheinlichkeit $p$.
2. b) Nehmen Sie an, dass das Binomialmodell $B(4;\, 0,6)$ eine zulässige Näherung ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es während des Aufenthalts höchstens an einem Tag regnet.
3. c) Die Gruppe betrachtet die Reise als wettertechnisch ungünstig, wenn es an $3$ oder mehr Tagen regnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür.

Ein Kommunikationssystem überträgt Bits ($0$ oder $1$). Aufgrund von Rauschen wird jedes Bit mit der Wahrscheinlichkeit $\epsilon = 0,02$ falsch empfangen. Zur Verbesserung der Zuverlässigkeit wird ein Wiederholungscode verwendet: Jedes Informationsbit wird 5-mal gesendet und der Empfänger entscheidet per Mehrheit über den Wert des Bits (empfängt er drei oder mehr „1“, entscheidet er, dass eine „1“ gesendet wurde).

1. a) Wird eine „1“ gesendet, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfänger fälschlich entscheidet, es sei eine „0“ gesendet worden?

1. b) Wird eine Nachricht aus 10 Informationsbits übertragen (jedes durch den Wiederholungscode mit 5 Bits geschützt), berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Nachricht fehlerfrei empfangen wird.

1. c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der korrekt empfangenen Informationsbits in der Nachricht aus 10 Bits.

Bei der Produktion von OLED-Displays beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Display einen toten Pixel hat, $p$. Die Displays werden in Kartons zu je 10 Stück verpackt. Man hat beobachtet, dass $20\%$ der Kartons kein Display mit toten Pixeln enthalten.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $p$.

1. b) Wie groß ist bei einer Stichprobe von 5 Kartons die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Kartons genau ein Display mit toten Pixeln enthalten?

Ein Cloud-Datenspeicherserver verwendet für jedes gesendete Datenpaket ein System zur Integritätsprüfung. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket erfolgreich und fehlerfrei übertragen wird, ist $p$. Werden 10 Pakete unabhängig voneinander gesendet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines davon fehlerhaft ankommt, $0,65132$.

1. a) Bestimmen Sie den Wert der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ der Übertragung eines Pakets.

1. b) Wird die Sicherheit des Kanals erhöht, sodass die Fehlerwahrscheinlichkeit pro Paket auf ein Viertel des ursprünglichen Werts sinkt, wie viele Pakete müssen mindestens gesendet werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass alle fehlerfrei ankommen, kleiner als $0,5$ ist?

Die Abbildung zeigt skizzenhaft, wie beim verbesserten Kanal die Wahrscheinlichkeit, dass alle Pakete fehlerfrei ankommen, mit wachsender Paketzahl $n$ abnimmt, und vergleicht sie mit der Schwelle $0,5$. Der exakte Wert von $n$ muss durch Rechnung ermittelt werden.

In einem Mikroblogging-Netzwerk sind schätzungsweise $15\%$ der Konten „Bots“. Ein Forscher wählt zufällig eine Gruppe von Konten für seine Studie aus.

1. a) Wie groß muss die Gruppe von Konten mindestens sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\%$ mindestens ein Konto findet, das ein Bot ist?

1. b) Entscheidet sich der Forscher schließlich für eine Gruppe von 12 Konten, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gefundenen Bots weniger als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt liegt?

Bei einer nächtlichen Kampagne der Polizei auf einer deutschen Autobahn wird geschätzt, dass ein Fahrer bei einer Alkoholkontrolle mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0,04$ positiv getestet wird. Die Anhaltevorgänge gelten als unabhängige Versuche.

1. a) Stellen Sie eine Ungleichung auf und bestimmen Sie die Mindestanzahl $n$ an Fahrern, die kontrolliert werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Verstoß festzustellen, mindestens $0,95$ beträgt. Achten Sie besonders auf das algebraische Umformen beim Teilen durch Logarithmen.
2. b) Der Einsatzleiter behauptet: „Wenn wir die Anzahl der Kontrollen gegenüber dem im vorigen Teil erhaltenen Minimum verdoppeln, halbiert sich genau die Wahrscheinlichkeit, keinen positiven Fahrer zu entdecken.“ Zeigen Sie algebraisch, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, indem Sie den allgemeinen Ausdruck von $P(X = 0)$ in Abhängigkeit von $n$ untersuchen.

Ein Algorithmus der künstlichen Intelligenz klassifiziert Satellitenbilder als „Waldgebiet“ oder „Nicht-Waldgebiet“. Der Algorithmus hat die Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Bei einem Leistungstest mit 15 Bildern ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus bei allen richtig liegt, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass er bei allen 15 falsch liegt.

1. a) Begründen Sie ohne aufwendige Rechnung, welchen Wert $p$ haben muss.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus bei einer Serie von 15 Bildern mehr als 12 Fehler macht.

1. c) Der Entwickler behauptet, der Erwartungswert der Anzahl der Treffer sei 12. Wie lautet dann der neue Wert von $p$? Wie groß ist mit diesem neuen Wert die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus bei mindestens 14 Bildern richtig liegt?

Es werden 5 gezinkte Münzen geworfen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für Kopf $p$ beträgt (für alle gleich, Würfe unabhängig). Man weiß, dass die Wahrscheinlichkeit für 3 Köpfe genau das 10-Fache der Wahrscheinlichkeit für 5 Köpfe ist.

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $p$.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Anzahl an Köpfen (einschließlich null) zu erhalten.