Zähltechniken

Um die Sicherheit einer Mobil-App zu verbessern, beschließt ein Entwickler, Zugangscodes zu erstellen, die aus einem Großbuchstaben (unter Berücksichtigung der 26 Buchstaben des Standardalphabets) gefolgt von drei Ziffern (von 0 bis 9) bestehen.

• Wie viele verschiedene Codes können erstellt werden, wenn sich die Ziffern wiederholen dürfen?

• Wie viele verschiedene Codes gäbe es, wenn die drei Ziffern untereinander verschieden sein müssen?

• Wenn zufällig ein Code mit wiederholbaren Ziffern erzeugt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Buchstabe ein „Z“ ist?

Das übliche Kfz-Zulassungssystem der spanischen Verkehrsbehörde (DGT) weist jedem Auto einen Code aus 4 Ziffern (von 0000 bis 9999) gefolgt von einem Block aus 3 Konsonanten des spanischen Alphabets zu. Dabei wurden die 5 Vokale (A, E, I, O, U) ausgeschlossen, um Akronyme und anstößige Wörter zu vermeiden, sowie die Buchstaben Ñ und Q wegen möglicher optischer Verwechslungen. Somit steht eine Menge von 20 zulässigen Konsonanten zur Verfügung.

1. a) Modellieren Sie die Vergabe der Kennzeichen und berechnen Sie, wie viele verschiedene Fahrzeuge insgesamt zugelassen werden können. Begründen Sie die in jedem Block des Kennzeichens angewandten Zähltechniken.
2. b) Eine Verkehrskamera erfasst das Kennzeichen eines Verkehrssünders, aber das Bild ist teilweise unscharf: Der Beamte stellt fest, dass der Zahlenblock ein vierstelliges Palindrom mit verschiedener erster und zweiter Ziffer ist (zum Beispiel 7337) und dass die drei Buchstaben untereinander verschieden sind und in streng aufsteigender alphabetischer Reihenfolge stehen (zum Beispiel CFX). Wie viele Kennzeichen des theoretischen Bestands erfüllen dieses Muster?
3. c) Wenn ein Fahrzeug zufällig unter allen möglichen des Systems ausgewählt wird, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sein Kennzeichen weder eine wiederholte Ziffer noch einen wiederholten Konsonanten enthält. Geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und mit vier Nachkommastellen an.

Ein IT-Sicherheitsunternehmen erzeugt Zugangsschlüssel durch Permutation der Buchstaben des Wortes BLOCKCHAIN. Einer dieser Schlüssel wird zufällig ausgewählt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Schlüssel mit einem Vokal beginnt und endet.
2. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle Vokale im Schlüssel nebeneinanderstehen.
3. c) Wenn bekannt ist, dass der Schlüssel mit B beginnt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Buchstabe ein L ist?

Ein Ingenieurkurs muss ein Komitee aus 3 Vertretern wählen. Wenn der Kurs 20 Studierende hat, berechnen Sie:

• Auf wie viele Arten kann das Komitee gewählt werden, wenn die drei Ämter (Sprecher, stellvertretender Sprecher und Schriftführer) verschieden sind?

• Auf wie viele Arten kann es gewählt werden, wenn die drei Vertreter denselben Rang haben und die Reihenfolge keine Rolle spielt?

• Wenn es 12 Männer und 8 Frauen gibt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Komitee (ohne unterschiedliche Ämter) nur aus Frauen besteht? (Stellen Sie den Bruch mithilfe von Binomialkoeffizienten auf.)

Um die Sicherheit einer E-Sports-Plattform zu verbessern, müssen Nutzer ein Passwort mit 6 Zeichen erstellen. Die ersten beiden müssen Großbuchstaben des spanischen Alphabets (27 Buchstaben) sein und die übrigen vier müssen Ziffern von $0$ bis $9$ sein.

Berechnen Sie, wie viele verschiedene Passwörter erzeugt werden können, wenn

1. a) Wiederholungen von Buchstaben und Ziffern erlaubt sind.
2. b) kein Buchstabe wiederholt werden darf, Ziffern aber schon.
3. c) die Buchstaben verschieden sein müssen und die Ziffern eine streng monoton steigende Folge bilden müssen (zum Beispiel: $1258$, aber weder $1225$ noch $4321$).

In einer Gruppe von 15 Schülerinnen und Schülern der Q2, die Mathematik II belegen, befinden sich drei unzertrennliche Freunde: Lea, Matteo und Sofia. Die Fachschaft wählt zufällig ein Team von 4 Schülern aus, um die Schule beim Mathematikwettbewerb der örtlichen Universität zu vertreten.

1. a) Machen Sie vor jeder Rechnung eine qualitative, intuitive Schätzung: Glauben Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der drei Freunde im Vierer-Team zusammentreffen, über $50\,\%$ liegt, etwa bei $15\,\%-20\,\%$ liegt oder ein sehr unwahrscheinliches Ereignis (unter $5\,\%$) ist? Begründen Sie kurz die Intuition, auf der Sie beruhen.
2. b) Modellieren Sie das Problem mit kombinatorischen Methoden und berechnen Sie den exakten Wert dieser Wahrscheinlichkeit als vollständig gekürzten Bruch und in Prozent.
3. c) Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit Ihrer anfänglichen Schätzung und erläutern Sie, warum die menschliche Intuition bei Gruppenzufällen in solchen Auslosungen häufig versagt.

Eine Urne enthält 12 Glaskugeln für ein Optikexperiment: 5 sind blau, 4 sind rot und 3 sind gelb. Wenn wir zufällig eine Kugel ziehen, berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit der Laplace-Regel:

• Die Kugel ist rot oder gelb.

• Die Kugel ist nicht blau.

• Die Kugel ist weiß.

An einem Gymnasium besteht der Schülerrat der Q2 aus 10 Schülerinnen und Schülern: 6 Mädchen und 4 Jungen. Zur Bildung eines Konfliktkomitees soll per Los eine Gruppe von 3 Delegierten gewählt werden.

Marcos möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Komitee aus genau 2 Mädchen und 1 Jungen besteht, und argumentiert wie folgt:

„Für das erste Mädchen gibt es 6 Möglichkeiten, für das zweite 5 Möglichkeiten und für den Jungen 4 Möglichkeiten. Also sind die günstigen Fälle $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Da die möglichen Fälle, 3 Personen aus den 10 in Reihenfolge auszuwählen, $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$.“

1. a) Benennen Sie genau den begrifflichen Fehler von Marcos bei der Berechnung der günstigen Fälle und erklären Sie, warum sein Ansatz die Berechnung der Ergebnismenge verfälscht.
2. b) Lösen Sie die Aufgabe korrekt mithilfe von Kombinationen $\binom{n}{r}$ nach der Laplace-Regel und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem von Marcos.

In einem Robotiklabor wurden in einer Kiste 8 einwandfreie Näherungssensoren und 2 defekte Sensoren vermischt. Ein Schüler entnimmt nacheinander zwei Sensoren ohne Zurücklegen (ohne den ersten in die Kiste zurückzulegen).

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

• beide Sensoren einwandfrei funktionieren.

• der erste defekt und der zweite in gutem Zustand ist.

Ein Telekommunikationsingenieur schätzt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Datenpaket bei einer drahtlosen Übertragung unter Störungsbedingungen verloren geht, $0,15$ beträgt. Es wird unabhängig voneinander ein Schwall von $10$ Paketen gesendet.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $3$ Pakete verloren gehen?
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $2$ Pakete verloren gehen.
3. c) Wie groß sind der Erwartungswert der Anzahl verlorener Pakete und die Standardabweichung?

Bei einem technischen IT-Sicherheitsaudit werden 18 Datenserver einer Bank untersucht. Es wurde festgestellt, dass 4 davon eine kritische, nicht behobene Sicherheitslücke aufweisen, während die übrigen 14 völlig sicher sind. Das Auditteam wählt zufällig eine Stichprobe von 5 Servern für einen Penetrationstest aus. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$: „In der gezogenen Stichprobe befinden sich mindestens zwei verwundbare Server.“

1. a) Entwickeln Sie die Berechnung von $P(A)$ auf zwei verschiedenen analytischen Wegen:

• Weg 1 (direktes Zählen): Zerlegen Sie die günstigen Fälle nach der genauen Anzahl der gefundenen verwundbaren Server.

• Weg 2 (Übergang zum Gegenereignis): Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $A^c$.

Prüfen Sie, dass beide Verfahren auf denselben vollständig gekürzten Bruch führen.

1. b) Wenn sich die Größe der Menge auf 30 Server und die Stichprobe auf 10 Server erhöhte, analysieren Sie, welche der beiden Methoden einen echten praktischen Vorteil gegenüber Rechenfehlern bietet, und begründen Sie dies anhand der kombinatorischen Struktur der Zerlegungen.
2. c) Ein Mitarbeiter des Teams schlägt vor, die günstigen Fälle des Ereignisses $A$ wie folgt zu berechnen: „Wir wählen zuerst 2 verwundbare Server aus den 4 vorhandenen auf $\binom{4}{2}$ Arten aus; danach wählen wir die restlichen 3 Server aus den 16 übrigen der Menge auf $\binom{16}{3}$ Arten aus. Folglich gibt es $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$ günstige Fälle.“ Zeigen Sie analytisch, warum diese Überlegung falsch ist, und geben Sie an, ob sie die tatsächliche Anzahl der Fälle über- oder unterschätzt.

Zur Bildung eines Prüfungsausschusses für Lehramtsprüfungen in einem Bundesland lost die Verwaltung streng zufällig 5 Mitglieder aus einer geschlossenen Liste von 30 qualifizierten Bewerbern aus, bestehend aus 18 Frauen und 12 Männern. Die Vorschriften des öffentlichen Dienstes verlangen den Grundsatz der ausgewogenen Besetzung: Der Ausschuss darf nicht mehr als $60\,\%$ Mitglieder desselben Geschlechts haben (d. h., der Ausschuss muss mindestens 2 Frauen und mindestens 2 Männer enthalten).

1. a) Modellieren Sie die Auswahl des Gremiums mithilfe von Kombinationen und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Gremium die Vorschrift zur ausgewogenen Besetzung unmittelbar erfüllt.
2. b) Angenommen, auf der Liste der 30 Personen stehen zwei bestimmte Lehrkräfte (ein Mann und eine Frau), die im ersten Grad miteinander verwandt sind, sodass das Gesetz untersagt, dass beide im selben Gremium sitzen. Wenn die Behörde durch eine Vorauslosung ausschließt, dass beide zusammen im Gremium sind, und die Ergebnismenge somit nur auf Gremien einschränkt, in denen die beiden Verwandten nicht zusammen auftreten, bestimmen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium die Parität erfüllt, gegenüber Teilaufgabe a) steigt oder sinkt. Begründen Sie Ihre Schlussfolgerung quantitativ.
3. c) Als Alternative wird vorgeschlagen, das Losverfahren zu ändern: Statt einer einzigen Auslosung von 5 Personen aus den 30 Kandidaten werden zwei getrennte Lostöpfe (einer für Frauen, einer für Männer) verwendet, und es werden zufällig 3 Frauen und 2 Männer mit der Wahrscheinlichkeit $0,5$ oder 2 Frauen und 3 Männer mit der Wahrscheinlichkeit $0,5$ gelost. Begründen Sie mathematisch, ob dieser neue Mechanismus die individuelle Wahrscheinlichkeit jeder Lehrkraft, ausgewählt zu werden, gegenüber der ursprünglichen Gleichverteilung beibehält oder verändert.

In der Leistungsstudie eines neuen Grafikprozessors werden die Ereignisse $A$: „Der Prozessor übertrifft $100$ FPS auf Ultra“ und $B$: „Der Prozessor hält eine Temperatur unter $70^\circ$C“ definiert. Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Bestimmen Sie mit Begründung:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten.
2. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass nur das Ereignis $A$ eintritt.
3. c) Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Softwareentwicklungsunternehmen nutzt drei Server, um seine API zu hosten: Server $S_1$ verarbeitet $45\%$ des Datenverkehrs, $S_2$ verarbeitet $35\%$ und $S_3$ den Rest. Aufgrund der Last fällt Server $S_1$ (Fehler 500) bei $2\%$ der Anfragen aus, $S_2$ bei $3\%$ und $S_3$ bei $5\%$.

1. a) Wenn ein Nutzer eine Anfrage stellt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Server einen Fehler zurückgibt?
2. b) Wenn eine Anfrage fehlgeschlagen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie von Server $S_3$ verarbeitet wurde?

Ein elektronisches Gerät besteht aus zwei kritischen Bauteilen, $C_1$ und $C_2$, die parallel geschaltet sind (das Gerät funktioniert, wenn mindestens eines der beiden funktioniert). Die Wahrscheinlichkeit, dass $C_1$ innerhalb eines Jahres ausfällt, beträgt $0,15$, und die, dass $C_2$ ausfällt, beträgt $0,20$. Die Ausfälle sind jedoch nicht unabhängig: Wenn $C_1$ ausfällt, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass auch $C_2$ ausfällt, auf $0,60$.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät vor Ablauf eines Jahres ausfällt.
2. b) Sind die Ereignisse „$C_1$ fällt aus“ und „$C_2$ fällt aus“ abhängig? Begründen Sie Ihre Antwort mit Rechnungen.
3. c) Wenn das Gerät ausgefallen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil $C_1$ ausgefallen ist?

Die Kompilierzeit eines komplexen Ingenieurprojekts ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $120$ Sekunden und einer Standardabweichung von $15$ Sekunden.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Projekt in weniger als $100$ Sekunden kompiliert wird.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kompilierzeit zwischen $110$ und $140$ Sekunden liegt.
3. c) Welche Kompilierzeit wird nur von den $5\%$ der langsamsten Vorgänge überschritten?

In einer technischen Zertifizierungsprüfung sind die Punktzahlen normalverteilt mit $\mu = 70$ und $\sigma = 12$. Die Einrichtung beschließt, eine „Auszeichnung für Exzellenz“ an die Teilnehmenden zu vergeben, deren Ergebnis im Perzentil $90$ liegt.

1. a) Wie lautet die Mindestnote für diese Auszeichnung?
2. b) Wenn $250$ Teilnehmende antreten, wie viele werden voraussichtlich die Auszeichnung erhalten?
3. c) Wenn wir zwei Teilnehmende zufällig auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die Auszeichnung haben?

Ein soziales Netzwerk stellt fest, dass $10\%$ der erstellten Konten „Bots“ sind. Wenn sich in einer Stunde $400$ neue Konten registrieren:

1. a) Erklären Sie, warum die Anzahl der Bots durch eine Normalverteilung angenähert werden kann.
2. b) Berechnen Sie mit der Normalapproximation unter Verwendung der Stetigkeitskorrektur die Wahrscheinlichkeit, dass es zwischen $35$ und $50$ Bots gibt (beide einschließlich).
3. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bots größer als $45$ ist.

Ein Laser-Zielsystem für die Augenchirurgie hat einen Abweichungsfehler $X$, gemessen in Mikrometern, der einer Dichtefunktion folgt, gegeben durch:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{für } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{im Rest} \end{cases}$$

1. a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten $k$, sodass $f(x)$ eine zulässige Dichtefunktion ist.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung größer als 1 Mikrometer ist.
3. c) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Abweichung. Welche Bedeutung hat dieser Wert im Kontext der Chirurgie?

Die Antwortzeit eines Industriesensors folgt einer Normalverteilung $N(\mu, \sigma)$. Bekannt ist, dass $15,87\%$ der Antworten länger als $82$ Millisekunden dauern und dass nur $2,28\%$ der Antworten schneller als $58$ Millisekunden sind.

1. a) Berechnen Sie die Parameter $\mu$ und $\sigma$ der Antwortzeit.
2. b) Wenn der Hersteller garantiert, dass der Sensor in weniger als $85$ ms antwortet, welcher Prozentsatz der Sensoren erfüllt die Garantie nicht?

In einer Ingenieurklausur mit 100 Studierenden sind die erreichten Punktzahlen (Skala von 0 bis 10 Punkten) normalverteilt mit dem Mittelwert $6,2$ und der Standardabweichung $1,5$. Der Dozent legt fest, dass die $10\%$ der Studierenden mit den höchsten Punktzahlen die Bewertung „Sehr gut“ erhalten, während diejenigen, deren Punktzahl mehr als eine Standardabweichung unter dem Mittelwert liegt, durchfallen.

1. a) Wie hoch ist die Mindestpunktzahl für ein „Sehr gut“?
2. b) Wie viele Studierende werden voraussichtlich durchfallen?
3. c) Wenn wir drei Studierende zufällig auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von ihnen eine Punktzahl über 7 hat?