Konfidenzintervalle

Ein Analyst für soziale Netzwerke möchte die tägliche Zeit untersuchen, die Jugendliche in Deutschland im Alter von 15 bis 18 Jahren auf TikTok verbringen. Dazu wählt er zufällig 400 Nutzerinnen und Nutzer dieser Altersgruppe im ganzen Land aus und erfasst ihre Nutzungszeiten.

Geben Sie die folgenden Elemente der statistischen Untersuchung eindeutig an:

1. a) Die untersuchte Grundgesamtheit.

1. b) Die ausgewählte Stichprobe.

1. c) Den Stichprobenumfang.

1. d) Die Kenngröße, die berechnet würde, um die Information der Stichprobe zusammenzufassen.

Es ist bekannt, dass die Wartezeit in der Schlange einer beliebten Attraktion eines Freizeitparks normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von $\mu = 45$ Minuten und einer Standardabweichung von $\sigma = 12$ Minuten.

Wir wählen eine Zufallsstichprobe von $n = 36$ Besuchern, die die Attraktion besucht haben:

1. Welcher Verteilung folgt der Stichprobenmittelwert $\bar{X}$? Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung (Standardfehler) an.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die mittlere Wartezeit dieser Stichprobe größer als $48$ Minuten ist.

An einem Gymnasium wird vermutet, dass $15\%$ der Schülerinnen und Schüler Linkshänder sind. Zur Überprüfung wird eine Zufallsstichprobe von $n = 100$ Schülern ausgewählt.

1. Welcher Verteilung folgt der Stichprobenanteil $\hat{p}$ der Linkshänder? Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung an.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Linkshänder in der ausgewählten Stichprobe kleiner als $18\%$ ist.

In der schließenden Statistik ist der kritische Wert $z_{\alpha/2}$ entscheidend für die Breite eines Konfidenzintervalls. Es ist der Wert der Standardnormalverteilung $N(0, 1)$, rechts von dem die Fläche $\alpha/2$ liegt, wobei $1-\alpha$ das Konfidenzniveau ist (in der Abbildung ist die mittlere Fläche $1-\alpha$ und jeder Rand hat die Fläche $\alpha/2$).

Bestimmen Sie mithilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ die kritischen Werte $z_{\alpha/2}$ zu den folgenden Konfidenzniveaus:

1. a) Ein Konfidenzniveau von $90\,\%$.

1. b) Ein Konfidenzniveau von $95\,\%$.

1. c) Ein Konfidenzniveau von $99\,\%$.

Für eine Studie zu digitalen Lesegewohnheiten bei Jugendlichen soll ein Konfidenzintervall konstruiert werden. Berechnen Sie mit Begründung die kritischen Werte $z_{\alpha/2}$ zu den folgenden Konfidenzniveaus:

1. a) $94 \%$
2. b) $98 \%$

Veranschaulichen Sie grafisch die Lage des kritischen Werts in einer Standardnormalverteilung für den Fall $94 \%$.

Man möchte den Anteil der Haushalte einer Stadt schätzen, die Bioabfälle zum Recycling trennen. Dazu wird eine Zufallsstichprobe von $n = 400$ Haushalten befragt, von denen $160$ angeben, die Abfälle zu trennen.

Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für den Anteil der Haushalte in der ganzen Stadt, die Bioabfälle trennen, zum Konfidenzniveau $90\%$.

In einer Umfrage unter $400$ Schülern einer Schule zur Nutzung von Streaming-Plattformen gaben $260$ an, lieber Serien als Filme zu schauen.

1. a) Bestimmen Sie die Punktschätzung für den Anteil der Schüler, die Serien bevorzugen.

1. b) Bestimmen Sie ein $97\,\%$-Konfidenzintervall für den wahren Anteil der Schüler dieser Schule, die Serien bevorzugen.

Eine „Eco-friendly“-Modemarke behauptet, dass $30\,\%$ ihrer Kunden jünger als $20$ Jahre sind. Zur Überprüfung wird eine Zufallsstichprobe von $500$ Kunden gezogen, und es zeigt sich, dass $135$ von ihnen weniger als $20$ Jahre alt sind.

1. a) Konstruieren Sie anhand der Stichprobendaten ein $99\,\%$-Konfidenzintervall für den Anteil der Kunden unter $20$ Jahren.

1. b) Kann man angesichts des Ergebnisses die Behauptung der Marke bei einem Konfidenzniveau von $99\,\%$ als mit den erhaltenen Daten vereinbar ansehen? Erklären Sie, warum.

Ein Paketdienst untersucht das Gewicht der Pakete, die er in einer Stadt zustellt. Es wird angenommen, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $\sigma = 0,8$ kg. Es wird eine Zufallsstichprobe von $n = 64$ Paketen gezogen, und man erhält einen Stichprobenmittelwert von $\bar{x} = 4,2$ kg.

Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für das mittlere Gewicht aller vom Unternehmen zugestellten Pakete zum Konfidenzniveau $95\%$.

Ein E-Sport-Team möchte wissen, wie viel Zeit seine Spieler im Mittel täglich mit Training verbringen. Bekannt ist, dass die Spielzeit normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $45$ Minuten. Es wurde eine Zufallsstichprobe von $36$ Spielern der Bundesliga gezogen, mit einem Mittelwert von $210$ Minuten pro Tag.

1. a) Bestimmen Sie das $95 \%$-Konfidenzintervall für die mittlere tägliche Trainingszeit aller Spieler der Liga.
2. b) Wie groß ist der bei dieser Schätzung höchstens gemachte Fehler?

Der Preis der Eintrittskarten für ein Sommer-Musikfestival ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von $12$ Euro. Es wurde eine Zufallsstichprobe von Preisen gezogen und das folgende Konfidenzintervall für den Erwartungswert erhalten: $(72,15; 77,85)$.

1. a) Wie hoch war der mittlere Preis der ausgewählten Stichprobe?
2. b) Wenn das für dieses Intervall verwendete Konfidenzniveau $95 \%$ betrug, wie groß war der Umfang der untersuchten Stichprobe?

Ein Hersteller von LED-Lampen möchte die mittlere Lebensdauer seiner Produkte schätzen. Aus früheren Untersuchungen ist bekannt, dass die Standardabweichung der Lebensdauer $\sigma = 500$ Stunden beträgt.

Wenn die Qualitätskontrolle eine Schätzung zum Konfidenzniveau $95\%$ durchführen möchte, welchen Mindestumfang der Stichprobe $n$ muss sie wählen, damit der maximale Fehler kleiner als $100$ Stunden ist?

Der Anteil der Bürger, die bereit wären, den öffentlichen Nahverkehr zu nutzen, wenn er kostenlos wäre, soll geschätzt werden. In einer früheren Studie ist der erwartete Anteil unbekannt, daher wird der Fall maximaler Varianz angenommen ($p = q = 0,5$).

Bestimmen Sie den erforderlichen Mindeststichprobenumfang, um diesen Anteil mit einem maximalen Fehler von $4 \%$ und einem Konfidenzniveau von $95,44 \%$ (entsprechend einem kritischen Wert $z_{\alpha/2} = 2$) zu schätzen.

Ein Mobilfunkunternehmen möchte den Anteil der Jugendlichen schätzen, die nachts den „Dunkelmodus“ auf ihren Geräten nutzen. In einer ersten Stichprobe von $100$ Nutzern bestätigten $60\%$, ihn zu nutzen.

1. a) Berechnen Sie das $98\%$-Konfidenzintervall für den Anteil der Nutzer dieses Modus in der Grundgesamtheit.

1. b) Angenommen, es liegt keinerlei Vorinformation über den Anteil vor (Situation größter Unsicherheit). Bestimmen Sie den erforderlichen Stichprobenumfang, damit der maximal zulässige Fehler $0,02$ bei einem Konfidenzniveau von $95\%$ beträgt.

1. c) Wenn der in der ersten Stichprobe erhaltene Anteil ($0,6$) für die Berechnung des Stichprobenumfangs unter denselben Bedingungen wie in Teilaufgabe b) verwendet wird (Fehler $0,02$ und Konfidenzniveau $95\%$), wie viele Nutzer müssten dann weniger befragt werden als im Fall größter Unsicherheit?

Hugo erstellt für das Fach Wirtschaft eine Arbeit über die monatlichen Ausgaben für den öffentlichen Nahverkehr bei den Studierenden seines Campus. Er weiß, dass die Variable normalverteilt ist mit Standardabweichung $\sigma = 15\text{ €}$. Aus einer Zufallsstichprobe von $100$ Studierenden und bei einem Konfidenzniveau von $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) berechnet er die Fehlerspanne und erhält $E = 1,96 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}} = 2,94\text{ €}$. Anschließend behauptet Hugo in seinen Schlussfolgerungen: „Um die Fehlerspanne auf die Hälfte zu reduzieren ($1,47\text{ €}$) und dabei das gleiche Konfidenzniveau von $95\%$ beizubehalten, genügt es, den Aufwand zu verdoppeln und $200$ Studierende zu befragen.“ a) Erkennen Sie den Fehler in Hugos Behauptung und erklären Sie begründet, warum eine Verdopplung des Stichprobenumfangs den Fehler nicht halbiert. b) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie bestimmen, wie viele Studierende er tatsächlich befragen muss, damit die Fehlerspanne $1,47\text{ €}$ beträgt.

Zwei Schulen, A und B, messen die mittlere Zeit, die ihre Schüler der Abiturstufe pro Woche mit Mathematiklernen verbringen. Bei beiden ist bekannt, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit $1,5$ Stunden beträgt.

An jeder Schule wird eine Stichprobe von $100$ Schülern gezogen. An Schule A hat das erhaltene Konfidenzintervall für den Erwartungswert eine Länge von $0,588$ Stunden. An Schule B ist das erhaltene Konfidenzintervall für den Erwartungswert $(6,2; 7,2)$.

1. a) Bestimmen Sie das an Schule A verwendete Konfidenzniveau.
2. b) Bestimmen Sie das an Schule B verwendete Konfidenzniveau.
3. c) Welche der beiden Schulen hat eine genauere Schätzung vorgenommen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein bekannter Content-Creator analysiert die Verweildauer seiner Follower bei seinen E-Sport-Livestreams. Bekannt ist, dass die Verbindungsdauer normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $12$ Minuten. Nach der Auswertung einer Zufallsstichprobe von $144$ Nutzern wurde für den Erwartungswert der Grundgesamtheit das Konfidenzintervall $(32,35; 36,25)$ erhalten.

1. a) Bestimmen Sie den Wert des Stichprobenmittelwerts und das Konfidenzniveau, mit dem dieses Intervall konstruiert wurde.

1. b) Wenn der Streamer die Länge dieses Intervalls bei gleichem Konfidenzniveau auf ein Viertel verringern möchte, wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein?

1. c) Erklären Sie ohne weitere Rechnung, was mit der Genauigkeit der Schätzung geschähe, wenn wir den Stichprobenumfang erhöhen, aber zugleich mit einem höheren Konfidenzniveau als in Teilaufgabe a) arbeiten wollten.

Zwei Forscher, Clara und Mateo, untersuchen unabhängig voneinander den zweimonatlichen Stromverbrauch (in kWh) der Haushalte einer Region, der normalverteilt ist mit bekannter Standardabweichung $\sigma = 60\text{ kWh}$. Beide verwenden genau dieselbe Zufallsstichprobe von $n$ Haushalten. Clara konstruiert ein Konfidenzintervall zum Niveau $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) und erhält eine Gesamtlänge von $23,52\text{ kWh}$. Mateo beschließt, das Intervall mit derselben Stichprobe neu zu berechnen, erhöht aber das Konfidenzniveau auf $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$), und behauptet: „Wenn wir auf $99\%$ Konfidenz erhöhen, gewinnt unsere Studie an Zuverlässigkeit und Genauigkeit, also wird die Länge des Intervalls kleiner sein als die von Clara.“ a) Benennen Sie Mateos Fehler zum Zusammenhang zwischen Konfidenzniveau und Intervalllänge und widerlegen Sie ihn mit mathematischen Argumenten. b) Stellen Sie das umgekehrte Problem auf: Berechnen Sie aus der Länge von Claras Intervall ($23,52\text{ kWh}$) den Stichprobenumfang $n$, den beide verwendet haben. c) Wenn Mateo sein Konfidenzniveau von $99\%$ beibehalten, aber die Länge seines Intervalls bis auf die $23,52\text{ kWh}$ von Clara verringern will, berechnen Sie, wie viele Haushalte er zusätzlich zu den bereits befragten erfassen muss.