Kaffee kühlt ab, ein radioaktives Präparat zerfällt, die Wechselspannung schwingt mit 50 Hz. Wie schnell sich etwas in einem bestimmten Moment ändert, sagt die Ableitung. Damit Sie nicht jedes Mal den Differenzenquotienten bilden müssen, brauchen Sie eine feste Tabelle der Ableitungen der Grundfunktionen. Im Leistungskurs sind das $x^r$ mit rationalem Exponenten $r$, $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$, $\mathrm{e}^x$, $a^x$, $\ln x$, $\sin x$ und $\cos x$. Am Ende können Sie Ableitungen wie die der Funktion $x \cdot \mathrm{e}^{-2x}$ ohne Hilfsmittel bilden.
Potenzfunktionen, Wurzelfunktion und Kehrwertfunktion
Sie kennen bereits die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel aus der Einführungsphase.
Die Potenzregel gilt für jeden rationalen Exponenten $r \in \mathbb{Q}$: $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$ (für $x>0$, wenn $r$ nicht ganzzahlig ist). Mit $\frac{1}{x} = x^{-1}$ und $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ergibt sich:
Üben★☆☆Nicht begonnen
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden ganzrationalen Funktion: $f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden ganzrationalen Funktion:
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente im Punkt $P(x_0\,|\,f(x_0))$. Die Tangente ist zugleich die lineare Approximation von $f$ nahe $x_0$: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)$. Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich die Tangentengleichung.
Üben★★★Nicht begonnen
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = e^x \cos x$, die parallel zur Geraden $y = -e^{\pi} x + 5$ verläuft, wobei der Berührpunkt im Intervall…
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = e^x \cos x$, die parallel zur Geraden $y = -e^{\pi} x + 5$ verläuft, wobei der Berührpunkt im Intervall $[0; 2\pi]$ liegt.
Die Funktionen $f(x) = a^x$ wachsen für $a>1$ immer schneller. Es gibt genau eine Basis, bei der die Steigung des Graphen an jeder Stelle gleich dem Funktionswert ist: die eulersche Zahl $\mathrm{e} \approx 2{,}718$.
Ist der Exponent linear, $k \cdot x + b$, steht der Faktor $k$ vor der Funktion (Kettenregel für eine lineare innere Funktion).
Außerdem gilt immer $\mathrm{e}^x > 0$. Das brauchen Sie später, wenn Sie Nullstellen von Ableitungen suchen: Ein Faktor $\mathrm{e}^{\dots}$ kann nie null werden.
Für $a^x$ gilt $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$, denn $a^x = \mathrm{e}^{x \ln a}$.
Üben★★☆Nicht begonnen
Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines Industriemotors in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) nach dem Abschalten folgt dem newtonschen Abkühlungsgesetz,…
Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines Industriemotors in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) nach dem Abschalten folgt dem newtonschen Abkühlungsgesetz, gegeben durch $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Berechnen und deuten Sie den Wert von $T'(10)$, d. h. die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur nach 10 Minuten sinkt.
Emilia soll die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3^x + \ln(4x)$ berechnen und schreibt in ihrer Klausur Folgendes: $$f'(x) = x \cdot 3^{x-1} + \frac{1}{4x}$$ a) Finden Sie…
Emilia soll die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3^x + \ln(4x)$ berechnen und schreibt in ihrer Klausur Folgendes:
$$f'(x) = x \cdot 3^{x-1} + \frac{1}{4x}$$
a) Finden Sie die beiden Fehler, die Emilia gemacht hat. Erklären Sie ausführlich, warum es falsch ist, $3^x$ wie eine Potenzfunktion der Form $x^n$ zu behandeln und was sie bei der Anwendung der Kettenregel im Logarithmusterm vergessen hat.
b) Geben Sie die korrekte Rechnung Schritt für Schritt an und berechnen Sie den exakten Wert der Tangentensteigung an der Stelle $x = 1$.
Wenn Sie die Sinuskurve zeichnen und die Tangentensteigungen eintragen, entsteht die Kosinuskurve: Bei $x=0$ steigt der Sinus am stärksten (Steigung $1$), im Hochpunkt bei $x=\frac{\pi}{2}$ ist die Steigung $0$.
Ist das Argument linear, $bx+c$, kommt wie bei der e-Funktion der Faktor $b$ dazu (Kettenregel).
Üben★☆☆Nicht begonnen
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden trigonometrischen Funktion: $f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden trigonometrischen Funktion:
Die Position einer an eine gedämpfte Feder gekoppelten Masse ist durch die Funktion $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$ gegeben, wobei $x$ in Zentimetern und $t$ in Sekunden…
Die Position einer an eine gedämpfte Feder gekoppelten Masse ist durch die Funktion $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$ gegeben, wobei $x$ in Zentimetern und $t$ in Sekunden gemessen wird. Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ des Oszillators, indem Sie die Ortsfunktion ableiten.