Analysis mit Hilfsmitteln

Exponentielle Modelle: Zerfall, Wachstum, Änderungsrate

Die meisten Modelle in Teil B haben eine der folgenden Formen:

Lesen Sie aus dem Term ab, was Sie ohne Rechnung sehen können:

• $f(0)$ ist der Anfangswert. Bei $c+a\cdot e^{-kt}$ ist es $c+a$.

• Für $t\to\infty$ gilt $e^{-kt}\to 0$. Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote $y=c$.

• Die Ableitung $f'(t)$ ist die momentane Änderungsrate. Ihre Einheit ist „Einheit von $f$ pro Einheit von $t$“, zum Beispiel °C pro Minute.

Zwei Standardfragen kommen fast immer vor:

• Wert zu gegebener Zeit: einsetzen.

• Zeit zu gegebenem Wert: Gleichung aufstellen, $e^{\dots}$ isolieren, mit $\ln$ lösen.

Bei Wachstum ist die Verdopplungszeit $t_V$ die Zeit mit $e^{k t_V}=2$, also $t_V=\frac{\ln 2}{k}$. Beim Zerfall ist die Halbwertszeit $t_H=\frac{\ln 2}{k}$. Sie hängt nicht vom Anfangswert ab. Das ist der Grund, warum sie ein sinnvolles Maß ist.

In Aufgaben fragt man oft: „Beurteilen Sie die Eignung des Modells“. Unbegrenztes Wachstum $e^{kt}$ wächst über alle Grenzen. In der Realität stoßen Wachstumsprozesse an Grenzen wie Nährstoffe, Platz oder Lebensraum. Das Modell passt nur für einen begrenzten Zeitraum.

Begrenztes Wachstum und Umkehrfunktion

Ein Handyakku wird nie über 100 % geladen, ein Pool nie wärmer als die Heizung einstellt. Solche Vorgänge beschreibt das begrenzte Wachstum mit einer Schranke $S$:

Dabei ist $f_0=f(0)$ der Anfangswert. Die Änderungsrate ist proportional zum Restabstand zur Schranke:

Der Grund: Die Ableitung von $S-(S-f_0)e^{-kt}$ ist $k\,(S-f_0)\,e^{-kt}$, und das ist genau $k\cdot(S-f(t))$. Je näher $f$ an $S$ kommt, desto langsamer wächst $f$. Die größte Änderungsrate gibt es deshalb bei $t=0$. Der Graph ist streng monoton wachsend und rechtsgekrümmt.

Weil $f$ streng monoton ist, existiert eine Umkehrfunktion. Sie liefert zu einem Wert die zugehörige Zeit. So bestimmen Sie sie:

1. Setzen Sie $y=f(t)$.

2. Lösen Sie nach $t$ auf.

3. Vertauschen Sie die Namen der Variablen, falls gefordert.

4. Der Wertebereich von $f$ ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion, und umgekehrt.

Die Graphen von $f$ und der Umkehrfunktion liegen spiegelbildlich zur Geraden $y=x$.

Wenn Parameter wie $a$, $b$, $c$ aus Angaben bestimmt werden sollen, übersetzen Sie jede Angabe in eine Gleichung. „Zu Beginn“ heißt $t=0$, „langfristig“ heißt $t\to\infty$. „Nach 10 Minuten 10 °C“ heißt $T(10)=10$. Danach lösen Sie das Gleichungssystem schrittweise.

Periodische Modelle

Gezeiten, Tageslängen, Wechselstrom und Riesenräder wiederholen sich regelmäßig. Das Modell ist

Die Parameter haben feste Bedeutungen:

• $d$ ist die Mittellage.

• $|a|$ ist die Amplitude. Größter Wert $d+|a|$, kleinster Wert $d-|a|$.

• $\frac{2\pi}{|b|}$ ist die Periode.

• $-\frac{c}{b}$ ist die Phasenverschiebung. Man schreibt auch $a\cdot\sin(b\,(t-s))+d$ mit der Verschiebung $s$.

Der WTR muss auf Bogenmaß (RAD) stehen. Das ist die häufigste Fehlerquelle.

Zwei Aufgabentypen tauchen immer wieder auf:

1. Extremwerte und Extremstellen. Der Sinus hat den Höchstwert 1 für Argument $\frac{\pi}{2}+2\pi n$ und den Tiefstwert $-1$ für $\frac{3\pi}{2}+2\pi n$. Der Kosinus hat den Höchstwert 1 für Argument $2\pi n$ und den Tiefstwert $-1$ für $\pi+2\pi n$.

2. Ungleichung wie $f(t)\ge c$. Lösen Sie zuerst $f(t)=c$. Dabei gibt es innerhalb einer Periode zwei Lösungen (Symmetrie). Dann entscheiden Sie mit einer Skizze, welches Intervall dazwischenliegt.

Funktionenscharen untersuchen

Eine Funktionenschar $f_k$ enthält einen Parameter $k$. Für jedes feste $k$ ergibt sich eine Funktion. Sie untersuchen alle gleichzeitig und rechnen mit $k$ wie mit einer Zahl. Das Vorgehen ist wie bei der Kurvendiskussion:

1. Ableitungen bilden (Produkt- und Kettenregel), ausklammern.

2. $f_k'(x)=0$ lösen. Weil $e^{\dots}\ne 0$ ist und bei $\ln$ nur $x>0$ zugelassen ist, bleibt oft nur ein Faktor übrig.

3. Art des Extremums mit $f_k''$ prüfen.

4. Koordinaten in Abhängigkeit von $k$ angeben.

5. Ortskurve: Bei Extrem- oder Wendepunkten $(x_P\,|\,y_P)$ mit Parameter lösen Sie $x_P$ nach $k$ auf und setzen in $y_P$ ein. Danach enthält die Gleichung nur noch $x$ und $y$.

Bei Parameterfragen gilt:

• „Für welche $a$ gibt es keine, genau eine, genau zwei Nullstellen?“ Untersuchen Sie zuerst Verhalten und Hochpunkt. Der Hochpunkt entscheidet, ob der Graph die $x$-Achse erreicht. Liegt er darunter, gibt es keine Nullstelle. Liegt er genau darauf, gibt es eine. Liegt er darüber, gibt es zwei (bei Monotonie zu beiden Seiten).

• „Bestimmen Sie $k$ so, dass …“: Bedingung als Gleichung in $k$ ansetzen, lösen, Probe.

• Gleichungen wie $\ln x=0{,}25x$ lassen sich nicht algebraisch lösen. Dafür gibt es den Gleichungslöser des WTR oder den solve-Befehl des CAS. Notieren Sie im Heft dennoch den Ansatz (Operator „Bestimmen Sie“ verlangt den Ansatz mit Ergebnis).

Produkt aus Polynom und e-Funktion: Medikamentenmodell

Funktionen wie $c(t)=A\cdot t\cdot e^{-kt}$ beschreiben Vorgänge, die erst ansteigen und dann abklingen. Ein Beispiel ist die Konzentration eines Medikaments im Blut. Zuerst überwiegt der Faktor $t$ (Aufnahme), später der Faktor $e^{-kt}$ (Abbau).

Was Sie dazu brauchen:

• Ableitung: $c'(t)=A\,(1-kt)\,e^{-kt}$. Mit Produktregel und Ausklammern von $e^{-kt}$.

• Hochpunkt: $c'(t)=0 \Rightarrow t=\frac1k$. Die Konzentration ist dort maximal.

• Stärkste Abnahme: Die Änderungsrate ist $c'$. Ihre extremen Werte finden Sie bei den Nullstellen von $c''(t)=A\,(k^2t-2k)\,e^{-kt}$, also bei $t=\frac{2}{k}$ (Wendestelle von $c$). Dort ist $c'$ am kleinsten, also nimmt $c$ am stärksten ab.

• Verhalten für $t\to\infty$: $t\cdot e^{-kt}=\frac{t}{e^{kt}}\to 0$, weil die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz von $t$. Der Graph hat die waagerechte Asymptote $y=0$.

• „Mindestens $c_0$“: Lösen Sie $c(t)=c_0$ mit dem Gleichungslöser. Es gibt bei einem Hochpunkt über $c_0$ zwei Lösungen $t₁

• Wiederholte Einnahme: Wird dieselbe Dosis zu einem späteren Zeitpunkt $t_0$ noch einmal eingenommen, überlagern sich beide Wirkungen. Für $t\ge t_0$ gilt $c_{\text{ges}}(t)=c(t)+c(t-t_0)$. Die zweite Dosis wirkt ab ihrem Beginn so, als wäre $t-t_0$ die vergangene Zeit.

Auf einen Blick

• Exponentielle Modelle: $f(0)$ ist der Anfangswert, die Grenzwerte lesen Sie an $e^{-kt}\to0$ ab. Die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit ist $\frac{\ln 2}{k}$. $f'$ ist die Änderungsrate mit Einheit.

• Begrenztes Wachstum: $f(t)=S-(S-f_0)e^{-kt}$ mit $f'=k\,(S-f)$. Die Umkehrfunktion erhalten Sie durch Auflösen nach $t$. Vergessen Sie Definitions- und Wertebereich nicht.

• Periodische Modelle: $a\sin(bt+c)+d$ hat Amplitude $|a|$, Periode $\frac{2\pi}{|b|}$, Mittellage $d$. WTR auf Bogenmaß. Pro Periode gibt es zwei Lösungen von $f(t)=c$.

• Funktionenscharen: Parameter wie Konstanten behandeln. Extremstellen mit $f_k'=0$, Ortskurve durch Eliminieren des Parameters.

• Produkt $t\cdot e^{-kt}$: Hochpunkt bei $t=\frac1k$, stärkste Abnahme an der Wendestelle $t=\frac2k$, Grenzwert 0. Mehrfachgaben überlagern sich.

• Arbeitsweise in Teil B: Ansatz aufschreiben, mit WTR/CAS lösen, Ergebnis mit Einheit im Satz formulieren und im Sachzusammenhang deuten.

Zum Anfang: Wie kühlt der Kaffee ab? Er nähert sich exponentiell der Raumtemperatur, und die Abkühlung ist am Anfang am schnellsten. Mit Gleichung und Ableitung beantworten Sie jede Frage dazu.