Analytische Geometrie ohne Hilfsmittel
Eine Drohne fliegt über dem Dach eines Bürogebäudes in Düsseldorf geradlinig dahin. Wie nah kommt sie einer Antenne auf dem Dach? Im Prüfungsteil A des Zentralabiturs gibt es dafür kein CAS und keinen WTR mit Vektorfunktionen. Sie haben nur Papier, ein paar Minuten und einen klaren Plan. Auf dieser Seite sammeln Sie die Pläne für alle Abstandsaufgaben. Am Ende beantworten wir die Frage nach der Drohne.
Punkte, Strecken und Geraden
Alles Weitere baut auf zwei Werkzeugen auf: dem Betrag eines Vektors und dem Mittelpunkt einer Strecke.
Das ist der Satz des Pythagoras, zweimal angewendet: erst in der Grundebene, dann mit der Höhendifferenz.
Gegeben sind die Punkte $A(1\,|\,0\,|\,2)$, $B(4\,|\,4\,|\,2)$ und $C(7\,|\,8\,|\,2)$. a) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $A$ und $B$. b) Bestimmen Sie die…
Gegeben sind die Punkte $A(1\,|\,0\,|\,2)$, $B(4\,|\,4\,|\,2)$ und $C(7\,|\,8\,|\,2)$.
- a) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $A$ und $B$.
- b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $AB$.
- c) Zeigen Sie, dass $C$ auf der Geraden durch $A$ und $B$ liegt.
Abstände zu Ebenen
Wenn eine Ebene $E:\ ax+by+cz=d$ gegeben ist, steckt der Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ schon in der Gleichung. Er steht senkrecht auf $E$. Der kürzeste Weg von einem Punkt zur Ebene führt immer entlang von $\vec{n}$.
Daraus ergibt sich das Verfahren über die Lotgerade. Es braucht keine neue Formel, nur das Einsetzen.
Parallele Ebenen und parallele Gerade
Für zwei parallele Ebenen nehmen Sie einen beliebigen Punkt der einen Ebene und bestimmen seinen Abstand zur anderen. Bei $E_1:\ x+2y+2z=3$ und $E_2:\ x+2y+2z=12$ ist $|\vec{n}|=3$. Der Punkt $(3\,|\,0\,|\,0)$ liegt in $E_1$ und hat von $E_2$ den Abstand $\frac{|3-12|}{3}=3$.
Eine Gerade $g$ ist parallel zur Ebene $E$, wenn $\vec{u}\circ\vec{n}=0$ gilt. Liegt der Aufpunkt nicht in $E$, ist $g$ echt parallel. Dann ist jeder Punkt von $g$ gleich weit von $E$ entfernt, und der Abstand ist der Abstand des Aufpunkts zur Ebene.
Spiegelung an einer Ebene
Wird $P$ an $E$ gespiegelt, ist der Lotfußpunkt $F$ der Mittelpunkt von $PP'$. Also gilt $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2t\cdot\vec{n}$, mit dem $t$ von oben. Umgekehrt gilt: Sind $P$ und das Spiegelbild $Q$ gegeben, dann ist $\overrightarrow{PQ}$ ein Normalenvektor von $E$, und der Mittelpunkt von $PQ$ liegt in $E$.
Gegeben sind der Punkt $P(1\,|\,2\,|\,3)$ und die Ebene $E:\ 2x-y+2z=3$. a) Zeigen Sie, dass $P$ nicht in $E$ liegt. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der…
Gegeben sind der Punkt $P(1\,|\,2\,|\,3)$ und die Ebene $E:\ 2x-y+2z=3$.
- a) Zeigen Sie, dass $P$ nicht in $E$ liegt.
- b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$.
Gegeben sind die Ebenen $E_1:\ 2x+y-2z=4$ und $E_2:\ 2x+y-2z=13$. a) Zeigen Sie, dass $E_1$ und $E_2$ parallel zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von $E_1$…
Gegeben sind die Ebenen $E_1:\ 2x+y-2z=4$ und $E_2:\ 2x+y-2z=13$.
- a) Zeigen Sie, dass $E_1$ und $E_2$ parallel zueinander sind.
- b) Bestimmen Sie den Abstand von $E_1$ und $E_2$.
Gegeben sind die Ebene $E:\ x-2y+2z=3$ und die Gerade $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$. a) Zeigen Sie, dass…
Gegeben sind die Ebene $E:\ x-2y+2z=3$ und die Gerade $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$.
- a) Zeigen Sie, dass $g$ parallel zu $E$ verläuft und nicht in $E$ liegt.
- b) Berechnen Sie den Abstand von $g$ und $E$.
- c) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt des Lotes vom Punkt $A(1\,|\,1\,|\,1)$ auf $E$.
Abstand Punkt–Gerade
Eine Gerade hat keinen Normalenvektor, sondern unendlich viele Normalen. Deshalb nutzen wir das Skalarprodukt: Der Lotfußpunkt $F$ ist der Punkt von $g$, für den $\overrightarrow{PF}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ steht.
Warum funktioniert das? Der kürzeste Weg zu einer Geraden steht senkrecht auf ihr. Senkrecht heißt Skalarprodukt null.
Gegeben sind die Gerade $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ und der Punkt $P(4\,|\,1\,|\,2)$. a) Bestimmen Sie…
Gegeben sind die Gerade $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ und der Punkt $P(4\,|\,1\,|\,2)$.
- a) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt $F$ des Lotes von $P$ auf $g$.
- b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von $g$.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der durch Spiegelung von $P$ an $g$ entsteht.
Windschiefe Geraden
Zwei Geraden im Raum können sich schneiden, parallel sein, identisch sein oder windschief sein. Windschief heißt: nicht parallel und ohne Schnittpunkt. Der Abstand ist dann die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Diese steht auf beiden Geraden senkrecht.
Man kann sich zwei parallele Ebenen vorstellen: eine durch $g$, eine durch $h$, beide mit den Richtungen von $g$ und $h$ aufgespannt. Der Abstand der Geraden ist der Abstand dieser Ebenen.
Der Zähler ist die Länge der Projektion von $\overrightarrow{AB}$ auf die gemeinsame Senkrechte.
Sind die Geraden parallel, gibt es nichts Neues: Sie bestimmen den Abstand eines Punktes der einen Geraden zur anderen Geraden wie im vorigen Abschnitt.
Gegeben sind die Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind die Geraden
$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und
$h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.
- a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ windschief zueinander sind.
- b) Bestimmen Sie einen Vektor, der zu den Richtungsvektoren beider Geraden senkrecht ist.
- c) Bestimmen Sie den Abstand von $g$ und $h$.
Eine Pyramide hat die Grundfläche $ABCD$ mit $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(4\,|\,0\,|\,0)$, $C(4\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ und die Spitze $S(2\,|\,2\,|\,4)$. a)…
Eine Pyramide hat die Grundfläche $ABCD$ mit $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(4\,|\,0\,|\,0)$, $C(4\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ und die Spitze $S(2\,|\,2\,|\,4)$.
- a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$ durch $B$, $C$ und $S$ in Koordinatenform.
- b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $A$ von $E$.
- c) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden $AD$ und $BS$. Begründen Sie, dass dieser Abstand mit dem Ergebnis aus b) übereinstimmt.
Strategie für Teil A
In Teil A wird nicht der Abstand allein verlangt, sondern eine kleine Kette: nachweisen, bestimmen, berechnen, begründen. Wählen Sie den Weg nach der Aufgabenlage.
| Gesucht | Weg |
|---|---|
| $d(A;B)$, Mittelpunkt | Betrag von $\overrightarrow{AB}$, Mittel der Koordinaten |
| $d(P;E)$ | Lotgerade oder Formel mit $\vec{n}$ |
| $d(E_1;E_2)$, $d(g;E)$ (parallel) | Punkt der einen, Abstand zur anderen Ebene |
| $d(P;g)$ | $\overrightarrow{PX(r)}\circ\vec{u}=0$, Lotfußpunkt $F$ |
| $d(g;h)$ windschief | $\vec{n}\perp\vec{u},\vec{v}$, Projektion von $\overrightarrow{AB}$ |
| Spiegelpunkt | $P'=2F-P$ |
Bei Geradenscharen $g_a$ prüfen Sie zuerst Besonderes: Ist der Aufpunkt der Lotfußpunkt? Wann gilt $\vec{u}\circ\vec{n}=0$? Daraus ergibt sich dann eine einfache Gleichung für $a$.
Wird der Punkt $P(2\,|\,-1\,|\,3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(6\,|\,3\,|\,1)$. a) Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.…
Wird der Punkt $P(2\,|\,-1\,|\,3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(6\,|\,3\,|\,1)$.
- a) Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
- b) Auf der Geraden durch $P$ und $Q$ liegt der Punkt $R$ auf der gleichen Seite von $E$ wie $P$ und hat von $E$ den Abstand $1$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$.
- c) Bestimmen Sie alle Punkte der $x$-Achse, die von $E$ den Abstand $3$ haben.
Für $a\in\mathbb{R}$ ist die Geradenschar $g_a:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}$ gegeben. Außerdem ist die Ebene…
Für $a\in\mathbb{R}$ ist die Geradenschar $g_a:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}$ gegeben. Außerdem ist die Ebene $E:\ x-2z=4$ gegeben.
- a) Zeigen Sie, dass der Abstand des Koordinatenursprungs von $g_a$ für jeden Wert von $a$ gleich $2$ ist.
- b) Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den $g_a$ parallel zu $E$ verläuft, und berechnen Sie für diesen Wert den Abstand von $g_a$ und $E$.
- c) Bestimmen Sie für $a=0$ die Koordinaten des Schnittpunkts von $g_0$ und $E$.
Zurück zur Drohne vom Anfang: Ihre Flugbahn ist eine Gerade $g$, die Antenne ein Punkt $P$. Der kleinste Abstand ist $d(P;g)$. Sie bestimmen den Lotfußpunkt mit $\overrightarrow{PX(r)}\circ\vec{u}=0$ und rechnen den Betrag aus.