Stochastik mit Hilfsmitteln · Mathematik (Leistungskurs) Q2 Leistungskurs

Binomialverteilung: Modell, Begründung, Wahrscheinlichkeiten

Eine Aufgabe zur Binomialverteilung läuft fast immer in drei Schritten ab: Modell begründen, Ansatz formulieren, mit WTR/CAS auswerten.

$$P(X=k)=B(n;p;k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$

Warum diese Formel? $p^k\cdot(1-p)^{n-k}$ ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit $k$ Treffern (1. Pfadregel). $\binom{n}{k}$ zählt, auf wie viele Arten sich die $k$ Treffer auf die $n$ Versuche verteilen können.

Für die Auswertung gilt:

$P(X=k)$: Binomialdichte (binomialPdf bzw. „Binomial PD“).
$P(X\le k)$: kumulierte Verteilung (binomialCdf bzw. „Binomial CD“).
„höchstens $k$“: $P(X\le k)$.
„mindestens $k$“: $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.
„mindestens einer“: $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$.
Kenngrößen: $\mu=n\cdot p$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.

Fehlerhafte Bauteile

Ein Bauteil ist mit $p=0{,}1$ fehlerhaft. Es werden $n=20$ Bauteile zufällig entnommen, $X$ zählt die fehlerhaften.

Geben Sie eine Begründung für das Modell an und berechnen Sie $P(X=2)$, $P(X\ge 1)$ sowie $\mu$ und $\sigma$.

Begründung: Jedes Bauteil ist entweder fehlerhaft oder in Ordnung (zwei Ergebnisse). Bei einer großen Produktion ist $p=0{,}1$ für jede Entnahme praktisch gleich, und die Bauteile beeinflussen sich nicht (Unabhängigkeit). Also $X\sim B(20;0{,}1)$.

Genau zwei:

$$P(X=2)=\binom{20}{2}\cdot0{,}1^2\cdot0{,}9^{18}=190\cdot0{,}01\cdot0{,}9^{18}\approx 0{,}285$$

Mindestens eines: Das Gegenereignis ist „keines fehlerhaft".

$$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}9^{20}\approx1-0{,}1216=0{,}878$$

Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$ und deuten Sie $\mu$ im Sachzusammenhang.

$\mu=20\cdot0{,}1=2$, $\sigma=\sqrt{20\cdot0{,}1\cdot0{,}9}=\sqrt{1{,}8}\approx1{,}34$. Im Mittel sind 2 von 20 Bauteilen fehlerhaft.

Üben★☆☆

Ein Unternehmen in Siegen stellt Schrauben her. Erfahrungsgemäß sind 5 % der Schrauben fehlerhaft. Aus der Produktion werden 60 Schrauben zufällig entnommen. Die Anzahl…

Ein Unternehmen in Siegen stellt Schrauben her. Erfahrungsgemäß sind 5 % der Schrauben fehlerhaft. Aus der Produktion werden 60 Schrauben zufällig entnommen. Die Anzahl $X$ der fehlerhaften Schrauben wird als binomialverteilt angenommen.

a) Begründen Sie, dass die Annahme einer Binomialverteilung für $X$ sinnvoll ist.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Schrauben fehlerhaft sind.

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier Schrauben fehlerhaft sind.

d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Schraube fehlerhaft ist.

e) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.

Lösen

Prognoseintervall und das Problem „kleinstes n"

Wenn $X\sim B(n;p)$, dann liegen die meisten Werte von $X$ nahe bei $\mu$. Die $\sigma$-Regeln machen das quantitativ (gültig, wenn $\sigma>3$ gilt, also die Verteilung nicht zu schmal ist):

Intervall	Sicherheitswahrscheinlichkeit
$\mu\pm1\sigma$	ca. 68,3 %
$\mu\pm1{,}64\sigma$	ca. 90 %
$\mu\pm1{,}96\sigma$	ca. 95 %
$\mu\pm2\sigma$	ca. 95,5 %
$\mu\pm2{,}58\sigma$	ca. 99 %
$\mu\pm3\sigma$	ca. 99,7 %

Das Intervall $[\mu-z\sigma;\ \mu+z\sigma]$ heißt Prognoseintervall für die absolute Häufigkeit $X$. Teilen Sie durch $n$, erhalten Sie das Prognoseintervall für die relative Häufigkeit.

Kleinstes $n$ für eine Mindestwahrscheinlichkeit

Typische Abituraufgabe: „Wie oft muss man mindestens würfeln / schießen / prüfen, damit mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens ein Treffer fällt?"

Üben★★☆

Der Spieler Lukas trifft bei Elfmetern mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Er schießt 25 Elfmeter unabhängig voneinander. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl seiner…

Der Spieler Lukas trifft bei Elfmetern mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Er schießt 25 Elfmeter unabhängig voneinander. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl seiner Treffer an.

a) Bestimmen Sie mithilfe der $\sigma$-Regeln das Prognoseintervall für $X$ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % (verwenden Sie $1{,}96\,\sigma$). Geben Sie die zugehörigen ganzzahligen Trefferanzahlen an.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl in dem in a) bestimmten ganzzahligen Intervall liegt.

c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl $n$ von Elfmetern, für die Lukas mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens einmal verschießt.

d) Beurteilen Sie, inwiefern die Annahme einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit der Schüsse im Sachzusammenhang kritisch zu sehen ist.

Lösen

Normalverteilung

Für Größen wie Länge, Gewicht oder Füllmenge, die von vielen kleinen Einflüssen abhängen, verwendet man die Normalverteilung $N(\mu;\sigma)$ mit der Dichtefunktion

$$\varphi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$$

Der Graph ist die Gauß'sche Glockenkurve. Sie ist symmetrisch zu $x=\mu$, hat dort ihren Hochpunkt und die Wendestellen bei $\mu\pm\sigma$. Die Fläche unter der Kurve ist 1.

Die Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche: $P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b\varphi(x)\,\mathrm{d}x$. Berechnet wird sie mit WTR/CAS (normalCdf, „Normalverteilung kumuliert“) direkt mit $\mu$ und $\sigma$. Eine Standardisierung ist nicht nötig.

$P(X\le b)$: untere Grenze sehr klein wählen (z. B. $\mu-10\sigma$).
$P(X\ge a)$: $1-P(X\le a)$ oder obere Grenze sehr groß wählen.
Bei stetigen Zufallsgrößen gilt $P(X=a)=0$, also ist $P(X
Umgekehrte Fragen („Welches $k$ gehört zur Wahrscheinlichkeit 0,9?“) löst die Umkehrfunktion (invNorm), oder Sie lösen $P(\dots)=c$ mit dem Gleichungslöser des CAS.

Einfluss der Parameter: Ändert sich $\mu$, verschiebt sich der Graph nach links oder rechts. Wird $\sigma$ kleiner, wird die Kurve schmaler und höher (Hochpunkt $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$), die Fläche bleibt 1.

Kaffeepackungen

Das Gewicht $X$ (in g) von Kaffeepackungen einer Rösterei in Köln ist annähernd normalverteilt mit $\mu=500$ und $\sigma=4$.

Bestimmen Sie $P(496\le X\le504)$, $P(X<490)$ und das $k$ mit $P(500-k\le X\le500+k)=0{,}90$.

Intervall: $496=\mu-\sigma$, $504=\mu+\sigma$. Das ist die 1σ-Umgebung, also $P\approx0{,}683$. Das WTR liefert dasselbe.

Untergrenze: $P(X<490)=\text{normalCdf}(-\infty;490;500;4)$. Hier $490=\mu-2{,}5\sigma$, also $P\approx0{,}0062$ (rund 0,6 %).

Symmetrisches Intervall: Die σ-Regel gibt $k\approx1{,}64\cdot\sigma=1{,}64\cdot4\approx6{,}6$. Mit invNorm: $k=500-\text{invNorm}(0{,}05;500;4)\approx6{,}58$.

Wie ändert sich der Hochpunkt der Dichtefunktion, wenn $\sigma$ von 4 auf 2 halbiert wird?

Er verdoppelt sich von $\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx0{,}100$ auf $\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0{,}199$. Die Kurve ist schmaler und doppelt so hoch.

Üben★☆☆

Die Länge $X$ (in mm) von Metallstiften aus einer Produktion in Hagen ist annähernd normalverteilt mit $\mu=40$ und $\sigma=0{,}2$. a) Bestimmen Sie die…

Die Länge $X$ (in mm) von Metallstiften aus einer Produktion in Hagen ist annähernd normalverteilt mit $\mu=40$ und $\sigma=0{,}2$.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stift eine Länge zwischen 39,7 mm und 40,3 mm hat.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stift länger als 40,4 mm ist.

c) Bestimmen Sie die Zahl $k$, für die $P(40-k\le X\le 40+k)=0{,}99$ gilt.

d) Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Dichtefunktion verändert, wenn bei gleichem $\mu$ die Standardabweichung halbiert wird.

Lösen

Üben★★★

Eine Abfüllanlage in einer Fabrik in Lippstadt füllt Zuckerpackungen mit der Sollmenge 1.000 g. Die tatsächliche Füllmenge $X$ (in g) ist annähernd normalverteilt mit…

Eine Abfüllanlage in einer Fabrik in Lippstadt füllt Zuckerpackungen mit der Sollmenge 1.000 g. Die tatsächliche Füllmenge $X$ (in g) ist annähernd normalverteilt mit $\mu=1.005$ und $\sigma=4$.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 1.000 g enthält.

b) Der Mittelwert $\mu$ kann eingestellt werden, $\sigma=4$ bleibt gleich. Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $\mu$, für den höchstens 2 % der Packungen weniger als 1.000 g enthalten.

c) Ein Kunde kauft zehn Packungen aus der Produktion mit $\mu=1.005$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Packung weniger als 1.000 g enthält. Nutzen Sie dazu das Ergebnis aus a).

d) Beurteilen Sie, ob die Annahme einer Normalverteilung für die Füllmenge im Sachzusammenhang plausibel ist, und begründen Sie, warum eine Normalverteilung die Füllmenge nur näherungsweise beschreiben kann.

Lösen

Mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgaben mit Tests, Auswahlen oder Qualitätskontrollen enthalten meist bedingte Wahrscheinlichkeiten. Zwei Werkzeuge helfen:

Baumdiagramm mit den Pfadregeln: 1. Pfadregel (Produkt entlang eines Pfades), 2. Pfadregel (Summe über Pfade).
Vierfeldertafel, am besten mit absoluten Zahlen bei einer Gesamtzahl wie 10.000.

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)$$

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ gilt (gleichwertig: $P_B(A)=P(A)$). Das ist etwas anderes als „unvereinbar“ ($A\cap B=\varnothing$).

Prüfgerät in der Fertigung

2 % der Teile sind defekt ($D$). Ein Prüfgerät schlägt bei defekten Teilen mit 90 % Alarm ($A$), bei intakten fälschlich mit 4 %.

Bestimmen Sie $P(A)$ und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil bei Alarm tatsächlich defekt ist. Prüfen Sie, ob $D$ und $A$ unabhängig sind.

Baumdiagramm: Erste Stufe $D$ (0,02) und $\overline{D}$ (0,98). Zweite Stufe: von $D$ nach $A$ mit 0,9, von $\overline{D}$ nach $A$ mit 0,04.

Alarm (2. Pfadregel):

$$P(A)=0{,}02\cdot0{,}9+0{,}98\cdot0{,}04=0{,}018+0{,}0392=0{,}0572$$

Umgekehrt gefragt:

$$P_A(D)=\frac{P(D\cap A)}{P(A)}=\frac{0{,}018}{0{,}0572}\approx0{,}315$$

Nur etwa 31 % der Alarme betreffen wirklich defekte Teile. Der Grund: Defekte sind so selten, dass die vielen intakten Teile trotz der kleinen Fehlerquote mehr falsche Alarme liefern.

Unabhängigkeit: $P(D)\cdot P(A)=0{,}02\cdot0{,}0572\approx0{,}0011$, aber $P(D\cap A)=0{,}018$. Die Werte sind verschieden, also sind $D$ und $A$ abhängig. (Bei einem Prüfgerät ist das auch gewollt.)

Stellen Sie die Vierfeldertafel für 10.000 Teile auf.

	$A$	$\overline{A}$	Summe
$D$	180	20	200
$\overline{D}$	392	9.408	9.800
Summe	572	9.428	10.000

Üben★☆☆

An einer Schule in Paderborn sind 55 % der Schülerinnen und Schüler der Qualifikationsphase weiblich. Von den weiblichen Personen haben 30 % den Leistungskurs Mathematik…

An einer Schule in Paderborn sind 55 % der Schülerinnen und Schüler der Qualifikationsphase weiblich. Von den weiblichen Personen haben 30 % den Leistungskurs Mathematik gewählt, von den männlichen 40 %.

a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person der Qualifikationsphase den Leistungskurs Mathematik gewählt hat.

c) Eine zufällig ausgewählte Person hat den Leistungskurs Mathematik gewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist.

d) Prüfen Sie, ob die Ereignisse „weiblich" und „Leistungskurs Mathematik" stochastisch unabhängig sind.

Lösen

Üben★★★

An einer Schule in Köln werden Schnelltests eingesetzt. Erfahrungsgemäß sind 5 % der getesteten Personen infiziert. Ist eine Person infiziert, so ist der Test mit einer…

An einer Schule in Köln werden Schnelltests eingesetzt. Erfahrungsgemäß sind 5 % der getesteten Personen infiziert. Ist eine Person infiziert, so ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 96 % positiv. Ist eine Person nicht infiziert, so ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % negativ.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer zufällig ausgewählten Person positiv ausfällt.

b) Eine Person wird positiv getestet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich infiziert ist, und deuten Sie das Ergebnis.

c) Es werden 50 Personen unabhängig voneinander getestet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens fünf Tests positiv ausfallen.

d) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl getesteter Personen, für die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens ein Test positiv ausfällt.

Lösen

Zufallsgröße, Erwartungswert und faires Spiel

Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, z. B. den Gewinn bei einem Los. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Tabelle mit $P(X=x_i)$. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1.

$$E(X)=\mu=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i)\qquad V(X)=\sum_i(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)\qquad\sigma=\sqrt{V(X)}$$

Der Erwartungswert ist der Mittelwert auf lange Sicht. Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn (Auszahlung minus Einsatz) gleich 0 ist.

Üben★★☆

Bei einer Tombola in Haan werden 500 Lose verkauft. Es gibt einen Hauptgewinn im Wert von 50 €, 10 Gewinne im Wert von je 10 € und 40 Gewinne im Wert von je 2 €. Alle…

Bei einer Tombola in Haan werden 500 Lose verkauft. Es gibt einen Hauptgewinn im Wert von 50 €, 10 Gewinne im Wert von je 10 € und 40 Gewinne im Wert von je 2 €. Alle übrigen Lose sind Nieten. Ein Los kostet 0,50 €.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$, die den Wert des Gewinns eines zufällig gezogenen Loses beschreibt.

b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$ und beurteilen Sie, ob das Spiel für die Käufer fair ist.

c) Berechnen Sie den Gewinn der Veranstalter, wenn alle 500 Lose verkauft werden und alle Gewinne ausgezahlt werden.

d) Eine Person kauft drei Lose. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens ein Gewinnlos (also keine Niete) erhält.

Lösen

Konfidenzintervall und Stichprobenumfang

Bisher war $p$ bekannt. Jetzt ist es umgekehrt: Aus einer Stichprobe mit der relativen Häufigkeit $h$ schließen wir auf den unbekannten Anteil $p$ in der Grundgesamtheit.

Die Länge des Intervalls ist $L=2z\sqrt{\dfrac{h(1-h)}{n}}$. Daraus folgt die Abschätzung des Stichprobenumfangs, wenn die Länge höchstens $L$ sein soll:

$$n\ge\frac{4z^2\cdot h(1-h)}{L^2}$$

Ist $h$ unbekannt, wählt man den ungünstigsten Fall $h=0{,}5$, also $n\ge z^2/L^2$.

Umfrage zum Deutschlandticket

Von 200 zufällig befragten Studierenden in Bonn nutzen 84 das Deutschlandticket.

Bestimmen Sie ein 95-%-Konfidenzintervall für $p$. Wie groß muss $n$ mindestens sein, damit die Länge höchstens 0,1 beträgt (gleiches $h$)?

Relative Häufigkeit: $h=\frac{84}{200}=0{,}42$.

Halbe Länge:

$$1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}42\cdot0{,}58}{200}}=1{,}96\cdot\sqrt{0{,}001218}\approx1{,}96\cdot0{,}0349\approx0{,}0684$$

Intervall: $[0{,}42-0{,}068;\ 0{,}42+0{,}068]\approx[0{,}352;\ 0{,}488]$. Länge: ca. 0,137.

Deutung: Der wahre Anteil liegt mit der Sicherheit von 95 % (im Sinne des Verfahrens) zwischen etwa 35 % und 49 %. Das Intervall ist zufällig, nicht $p$. Bei vielen Stichproben überdecken etwa 95 % der so konstruierten Intervalle den wahren Wert.

Berechnen Sie den nötigen Stichprobenumfang für $L\le0{,}1$.

$$n\ge\frac{4\cdot1{,}96^2\cdot0{,}42\cdot0{,}58}{0{,}1^2}=\frac{4\cdot3{,}8416\cdot0{,}2436}{0{,}01}\approx374{,}3$$

Also $n\ge375$.

Zusammenhänge, die oft gefragt sind:

Höheres Konfidenzniveau ⇒ größeres $z$ ⇒ längeres Intervall. Von 95 % auf 99 % wächst die Länge um den Faktor $2{,}58/1{,}96\approx1{,}32$.
Halbe Länge ⇒ vierfacher Stichprobenumfang, denn $n$ steht unter der Wurzel.

Üben★★☆

Bei einer Umfrage unter 400 zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern in Münster geben 148 an, regelmäßig den Bus zu nutzen. a) Bestimmen Sie ein…

Bei einer Umfrage unter 400 zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern in Münster geben 148 an, regelmäßig den Bus zu nutzen.

a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Anteil $p$ der regelmäßigen Busnutzer zum Konfidenzniveau 95 %.

b) Schätzen Sie ab, wie groß der Stichprobenumfang mindestens sein muss, damit das Konfidenzintervall zum Niveau 95 % bei gleicher relativer Häufigkeit höchstens die Länge $0{,}05$ hat.

c) Erläutern Sie, wie sich die Länge des Konfidenzintervalls ändert, wenn das Konfidenzniveau von 95 % auf 99 % erhöht wird.

d) Deuten Sie das Ergebnis aus a) im Sachzusammenhang.

Lösen

Üben★★★

Vor einem Derby in Gelsenkirchen werden 250 zufällig ausgewählte Personen befragt. 140 davon sagen, sie unterstützten den Heimverein. a) Bestimmen Sie ein…

Vor einem Derby in Gelsenkirchen werden 250 zufällig ausgewählte Personen befragt. 140 davon sagen, sie unterstützten den Heimverein.

a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Anteil $p$ der Anhänger des Heimvereins zum Konfidenzniveau 95 %.

b) Ein Journalist behauptet, genau die Hälfte der Bevölkerung unterstütze den Heimverein. Bestimmen Sie unter dieser Annahme ($p=0{,}5$) das Prognoseintervall für die absolute Häufigkeit bei 250 Befragten zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % und beurteilen Sie, ob das Befragungsergebnis Anlass gibt, die Behauptung anzuzweifeln.

c) Erläutern Sie, warum die Ergebnisse aus a) und b) zueinander passen.

d) Schätzen Sie ab, wie viele Personen mindestens befragt werden müssten, damit das Konfidenzintervall zum Niveau 95 % bei gleicher relativer Häufigkeit höchstens die Länge $0{,}05$ hat.

Lösen

Zurück zur Eingangsfrage: Mit $p=0{,}05$ und $n=60$ gilt $P(X\ge1)=1-0{,}95^{60}\approx0{,}954$. Um mit mindestens 99 % mindestens eine fehlerhafte Schraube zu finden, lösen Sie $0{,}95^n\le0{,}01$ und erhalten $n\ge\frac{\ln0{,}01}{\ln0{,}95}\approx89{,}8$, also $n=90$.

Auf einen Blick

Binomialverteilung: Modell begründen (zwei Ergebnisse, konstantes $p$, Unabhängigkeit). $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, „mindestens“ über das Gegenereignis, $\mu=np$, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
Prognoseintervall: $[\mu-z\sigma;\ \mu+z\sigma]$ mit $z=1{,}64$; $1{,}96$; $2{,}58$ (90 %, 95 %, 99 %), anschließend ganzzahlig runden. Kleinstes $n$: Ungleichung mit $\ln$ lösen, Ungleichheitszeichen beachten.
Normalverteilung: Wahrscheinlichkeit = Fläche unter der Glockenkurve, mit WTR/CAS berechnen. $\mu$ verschiebt, $\sigma$ streckt bzw. staucht den Graphen. Umkehrfragen mit invNorm.
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramm und Vierfeldertafel, $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Unabhängig, wenn $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Bedingung nicht vertauschen.
Erwartungswert: $E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)$, fair bei Gewinn 0 (Einsatz beachten).
Konfidenzintervall: $h\pm z\sqrt{h(1-h)/n}$. Höheres Niveau ⇒ längeres Intervall, halbe Länge ⇒ vierfaches $n$.
Im Abitur: Operatoren beachten (begründen, bestimmen, deuten, beurteilen), Ansatz immer aufschreiben, Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Ein Unternehmen in Siegen stellt Schrauben her. Erfahrungsgemäß sind 5 % der Schrauben…★☆☆ Die Länge $X$ (in mm) von Metallstiften aus einer Produktion in Hagen ist annähernd…★☆☆ An einer Schule in Paderborn sind 55 % der Schülerinnen und Schüler der…