Analytische Geometrie mit Hilfsmitteln
Eine Drohne fliegt über das Gelände einer Zeche im Ruhrgebiet, und ein Funkmast ragt in den Himmel. Kommt die Drohne dem Mast zu nahe? In Teil B des Abiturs wird so etwas an einem Sachkontext gestellt. Du darfst WTR oder CAS und die Formelsammlung benutzen. Das Rechnen nimmt dir das Werkzeug ab, aber du musst das Modell aufstellen, das passende Verfahren wählen und das Ergebnis im Kontext deuten. Am Ende der Seite beantworten wir die Frage mit dem Mast.
Ebenen aufstellen und Neigungswinkel
Fast jede Teil-B-Aufgabe beginnt damit, dass du ein Objekt (Dach, Spiegel, Glasscheibe) als Ebene beschreibst. Den Normalenvektor $\vec{n}$ brauchst du später für Abstände und Winkel.
Gehe so vor, wenn drei Punkte $A$, $B$, $C$ gegeben sind:
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Bilde die Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.
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Bestimme $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$. Das Kreuzprodukt ist hier nur ein Werkzeug; das CAS liefert es direkt. Ohne Hilfsmittel löst du das LGS $\vec{n}\circ\overrightarrow{AB}=0$, $\vec{n}\circ\overrightarrow{AC}=0$.
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Berechne $d$ durch Einsetzen eines Punktes.
Bei einer Pyramide mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ gilt $V=\tfrac13\,G\cdot h$. Die Höhe ist dabei der Abstand der Spitze von der Grundebene.
Ein Zeltdach hat die Grundfläche $ABCD$ mit $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(6\,|\,0\,|\,0)$, $C(6\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ (Einheit 1 m). Die Dachspitze…
Ein Zeltdach hat die Grundfläche $ABCD$ mit $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(6\,|\,0\,|\,0)$, $C(6\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ (Einheit 1 m). Die Dachspitze $S(3\,|\,2\,|\,4)$ liegt senkrecht über der Mitte der Grundfläche. Die Dachfläche über der Kante $BC$ liegt in der Ebene $E$ durch $B$, $C$ und $S$.
- a) Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
- b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber dem Boden ($x$-$y$-Ebene).
- c) Berechnen Sie den Abstand des Mittelpunkts $M(3\,|\,2\,|\,0)$ der Grundfläche von $E$.
Abstände bestimmen
Welches Verfahren du wählst, hängt davon ab, welche Objekte gegeben sind.
| Abstand | Verfahren |
|---|---|
| Punkt $P$ – Ebene $E$ | Lotgerade durch $P$ mit Richtung $\vec{n}$ oder Abstandsformel |
| Punkt $P$ – Gerade $g$ | Lotfußpunkt über $\overrightarrow{PX}\circ\vec{u}=0$ |
| parallele Geraden | Abstand eines Punktes von $g$ zur anderen Geraden |
| windschiefe Geraden | Vektor $\vec{n}$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren |
| parallele Ebenen | Abstand eines Punktes der einen Ebene von der anderen |
| Gerade $g$ – Ebene $E$ (parallel) | Abstand eines Punktes von $g$ zur Ebene $E$ (Gerade und Ebene parallel, also $\vec u\circ\vec n=0$) |
Punkt und Ebene
Für $E:\ ax+by+cz=d$ gilt
$$d(P;E)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$Das ist der Betrag des Wertes, den die Ebenengleichung am Punkt liefert, geteilt durch $|\vec{n}|$. Die Division durch $|\vec{n}|$ rechnet die Länge von $\vec{n}$ heraus und lässt nur die Entfernung übrig. Willst du auch den Lotfußpunkt $F$, gehe so vor wie im Beispiel.
Punkt und Gerade
Ein Punkt $X$ auf $g:\ \vec{x}=\vec{p}+r\vec{u}$ ist der Lotfußpunkt, wenn $\overrightarrow{PX}\circ\vec{u}=0$ gilt. Das ergibt eine lineare Gleichung für $r$. Alternativ minimierst du $f(r)=|\overrightarrow{PX}(r)|^2$ mit dem CAS oder über $f'(r)=0$.
Zwei Geraden
Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel. Liegt dann ein Punkt der einen Geraden nicht auf der anderen, sind sie echt parallel (nicht identisch). Der Abstand ist der Abstand eines Punktes der einen Geraden von der anderen.
Sind sie nicht parallel und haben keinen Schnittpunkt, sind sie windschief. Dann gilt mit $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ und einem Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ von einem Punkt der einen zu einem Punkt der anderen Geraden:
$$d(g;h)=\frac{|\overrightarrow{PQ}\circ\vec{n}|}{|\vec{n}|}.$$Für die Punkte kleinsten Abstands betrachtest du $\overrightarrow{X_gX_h}$ mit $X_g=P+r\vec u$ und $X_h=Q+s\vec v$. Es muss gelten $\overrightarrow{X_gX_h}\circ\vec u=0$ und $\overrightarrow{X_gX_h}\circ\vec v=0$. Das ist ein LGS für $r$ und $s$.
Eine Drohne fliegt über einem Gelände in einem Koordinatensystem (Einheit 1 m, $x$-$y$-Ebene ist der Boden). Ihre Flugbahn wird für $t\ge 0$ (in Sekunden) durch…
Eine Drohne fliegt über einem Gelände in einem Koordinatensystem (Einheit 1 m, $x$-$y$-Ebene ist der Boden). Ihre Flugbahn wird für $t\ge 0$ (in Sekunden) durch $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}100\\50\\20\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}$ beschrieben. Die Spitze eines Funkmasts liegt im Punkt $S(60\,|\,80\,|\,35)$.
- a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in m/s.
- b) Bestimmen Sie die Position der Drohne nach 10 Sekunden.
- c) Bestimmen Sie den Abstand der Mastspitze $S$ von der Flugbahn $g$.
Gegeben sind die Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind die Geraden
$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ und
$h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
- a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel und nicht identisch sind.
- b) Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden.
- c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, die $g$ und $h$ enthält, in Koordinatenform.
Zwei Flugzeuge fliegen (vereinfacht) auf geraden Bahnen (Einheit 1 km): $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und…
Zwei Flugzeuge fliegen (vereinfacht) auf geraden Bahnen (Einheit 1 km):
$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und
$h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$.
- a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen nicht schneiden und nicht parallel sind.
- b) Bestimmen Sie den kleinsten Abstand der beiden Flugbahnen.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf $g$ und $h$, zwischen denen dieser kleinste Abstand besteht.
Schnittpunkte, Winkel und Spiegelung
Gerade und Ebene. Setze die Geradengleichung in die Koordinatenform ein und löse nach dem Parameter auf. Gibt es keine Lösung, sind Gerade und Ebene parallel. Gilt die Gleichung für jedes $t$, liegt die Gerade in der Ebene.
Schnittwinkel Gerade–Ebene. Mit Richtungsvektor $\vec u$ und Normalenvektor $\vec n$ gilt
$$\sin\alpha=\frac{|\vec n\circ\vec u|}{|\vec n|\cdot|\vec u|}.$$Es steht hier der Sinus, weil $\vec n$ senkrecht auf der Ebene steht. Der Winkel zu $\vec n$ ist das Komplement von $\alpha$.
Spiegelung eines Punktes an einer Ebene. Bestimme den Lotfußpunkt $F$. Dann ist $P'=2\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}$, denn $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $PP'$.
Typische Sachkontexte sind Lichtstrahlen und Schatten (Gerade trifft Boden, Wand oder Spiegel), Laser zwischen Scheiben und Flugbahnen. Die Fragen „Wo trifft der Strahl auf?“ und „Wie lang ist der Weg zwischen zwei Flächen?“ führen immer auf Gerade ∩ Ebene und eine Streckenlänge $|\overrightarrow{S_1S_2}|$.
Spiegelung eines Lichtstrahls. Trifft ein Strahl mit Richtungsvektor $\vec u$ im Punkt $S$ auf einen ebenen Spiegel mit Normalenvektor $\vec n$, so hat der reflektierte Strahl die Richtung $\vec u'=\vec u-2\cdot\dfrac{\vec u\circ\vec n}{\vec n\circ\vec n}\cdot\vec n$. Der Grund: Der Anteil von $\vec u$ längs $\vec n$ kehrt sein Vorzeichen um, der Anteil in der Ebene bleibt. Alternativ spiegelst du einen Punkt $P$ des einfallenden Strahls an der Ebene; der reflektierte Strahl läuft dann durch $S$ und $P'$.
Sonnenlicht fällt in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ ein (Einheit 1 m, $x$-$y$-Ebene ist der ebene Boden). Ein senkrechter Mast steht im Punkt…
Sonnenlicht fällt in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ ein (Einheit 1 m, $x$-$y$-Ebene ist der ebene Boden). Ein senkrechter Mast steht im Punkt $M(2\,|\,3\,|\,0)$ und hat die Spitze $S(2\,|\,3\,|\,8)$.
- a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunkts der Mastspitze auf dem Boden und die Länge des Schattens des Masts.
- b) Berechnen Sie den Winkel, unter dem das Sonnenlicht auf den Boden trifft.
- c) Eine ebene, senkrechte Wand liegt in der Ebene $x=4$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem der Lichtstrahl durch $S$ auf die Wand trifft, und begründen Sie, dass der Strahl die Wand erreicht, bevor er den Boden trifft.
Zwei parallele Glasscheiben liegen in den Ebenen $E_1:\ 2x+2y+z=3$ und $E_2:\ 2x+2y+z=12$ (Einheit 1 m). Ein Laserstrahl verläuft entlang der Geraden…
Zwei parallele Glasscheiben liegen in den Ebenen $E_1:\ 2x+2y+z=3$ und $E_2:\ 2x+2y+z=12$ (Einheit 1 m). Ein Laserstrahl verläuft entlang der Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
- a) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Glasscheiben.
- b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ des Laserstrahls mit $E_1$ und $E_2$.
- c) Berechnen Sie die Länge des Laserstrahls zwischen den beiden Scheiben.
- d) Berechnen Sie den Winkel, unter dem der Strahl auf die Scheiben trifft.
Ein Laserstrahl verläuft entlang der Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$ und trifft auf einen ebenen…
Ein Laserstrahl verläuft entlang der Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$ und trifft auf einen ebenen Spiegel in der Ebene $E:\ 2x+y+2z=12$. Der Boden ist die Ebene $z=0$ (Einheit 1 m).
- a) Bestimmen Sie den Auftreffpunkt $S$ des Strahls auf den Spiegel.
- b) Berechnen Sie den Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Spiegel.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der durch Spiegelung des Punktes $P(2\,|\,1\,|\,10)$ an $E$ entsteht.
- d) Der reflektierte Strahl verläuft auf der Geraden durch $S$ und $P'$ vom Spiegel weg. Geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an und bestimmen Sie den Punkt, an dem der reflektierte Strahl den Boden trifft.
Ebenenscharen und Parameter
In schwierigen Teil-B-Aufgaben kommt ein Parameter vor: $E_a$ oder $S_t$. Dann behandelst du $a$ wie eine Zahl und rechnest mit dem CAS symbolisch. Am Ende musst du das Ergebnis interpretieren.
Bei Scharen helfen diese Standardschritte:
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Eine Bedingung (Abstand, Winkel, Volumen) ergibt eine Gleichung in $a$ oder $t$. Löse sie mit dem CAS und prüfe Lösungen im Kontext, denn $t>0$ schließt manche aus.
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Für eine gemeinsame Gerade schreibst du die Ebenengleichung nach dem Parameter geordnet und setzt den Koeffizienten und den Rest gleich null.
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Für Extremwerte betrachtest du den Term $d(a)$ als Funktion und untersuchst ihn mit den Mitteln der Analysis. Ein Maximum, das nur als Grenzwert auftritt, wird nicht angenommen.
Für $a\in\mathbb{R}$ ist die Ebenenschar $E_a:\ x+a\cdot y+2z=4$ gegeben. a) Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von $E_a$ in Abhängigkeit von $a$. b)…
Für $a\in\mathbb{R}$ ist die Ebenenschar $E_a:\ x+a\cdot y+2z=4$ gegeben.
- a) Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von $E_a$ in Abhängigkeit von $a$.
- b) Bestimmen Sie die Werte von $a$, für die der Abstand $1{,}6$ beträgt.
- c) Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Gerade enthalten, und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an.
- d) Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebenen $E_0$ und $E_1$.
- e) Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den der Abstand des Ursprungs von $E_a$ am größten ist, und begründen Sie Ihre Antwort.
Ein Pavillon in Bochum hat ein pyramidenförmiges Dach über dem quadratischen Grundriss $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(4\,|\,0\,|\,0)$, $C(4\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$…
Ein Pavillon in Bochum hat ein pyramidenförmiges Dach über dem quadratischen Grundriss $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(4\,|\,0\,|\,0)$, $C(4\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ (Einheit 1 m). Die Dachspitze ist $S_t(2\,|\,2\,|\,t)$ mit $t>0$.
- a) Zeigen Sie, dass die Dachfläche über der Kante $BC$ in der Ebene $E_t:\ t\cdot x+2z=4t$ liegt.
- b) Der Neigungswinkel dieser Dachfläche gegenüber dem Boden soll $60^\circ$ betragen. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $t$.
- c) Der Abstand des Punktes $A$ von der Ebene $E_t$ soll $3$ m betragen. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $t$.
- d) Das Volumen des Daches soll $20\,\text{m}^3$ betragen. Bestimmen Sie $t$ und berechnen Sie für diesen Wert den Neigungswinkel der Dachfläche über $BC$.
Vorgehen im Abitur Teil B
Der Mast vom Anfang ist ein Fall für den Abstand Punkt–Gerade: Die Drohne kommt dem Mast nahe, wenn der Lotfußpunkt auf der Flugbahn in der Nähe der Spitze liegt. Mit dem Verfahren aus dem Beispiel ($\overrightarrow{PX}\circ\vec u=0$) liefert dir dein WTR oder CAS die Zahl, und dann musst du sie noch im Sachzusammenhang deuten.
Zurück zum Anfang: Die Flugbahn ist $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}100\\50\\20\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}$, die Mastspitze $S(60\,|\,80\,|\,35)$. Für $X(t)$ ist $\overrightarrow{SX}=\begin{pmatrix}40-4t\\-30+3t\\-15\end{pmatrix}$. Aus $\overrightarrow{SX}\circ\vec u=-4(40-4t)+3(-30+3t)=25t-250=0$ folgt $t=10$. Dann ist $\overrightarrow{SX}=\begin{pmatrix}0\\0\\-15\end{pmatrix}$ und der Abstand beträgt $15\,\text{m}$. Die Drohne fliegt nach 10 s genau senkrecht $15\,\text{m}$ unter der Mastspitze vorbei. Ob das zu nah ist, hängt vom geforderten Sicherheitsabstand ab.
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Modell: Zeichne eine Skizze und schreibe auf, welche Objekte Punkte, Geraden und Ebenen sind. Beachte Einheiten und Definitionsbereiche wie $t\ge0$.
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Operatoren: „Zeigen Sie“ heißt schlüssig herleiten, „Bestimmen Sie“ heißt mit passendem Verfahren ermitteln, „Berechnen Sie“ heißt rechnen, und „Deuten Sie“ heißt einen Satz im Kontext formulieren.
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Werkzeug: Das CAS nimmt dir Kreuzprodukte, LGS und Wurzeln ab. Schreibe trotzdem den Ansatz auf, denn der wird bewertet.
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Probe: Setze Punkte in Ebenen ein, prüfe Orthogonalität per Skalarprodukt und runde erst am Ende. Gib Längen mit Einheit an.
Auf einen Blick
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Eine Ebene aus drei Punkten erhältst du mit $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ und $d=\vec n\circ\overrightarrow{OA}$. Der Neigungswinkel zur $x$-$y$-Ebene folgt aus $\cos\varphi=\dfrac{|n_3|}{|\vec n|}$.
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Der Abstand Punkt–Ebene ist $\dfrac{|ax_P+by_P+cz_P-d|}{|\vec n|}$. Der Abstand Punkt–Gerade folgt aus $\overrightarrow{PX}\circ\vec u=0$.
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Bei zwei Geraden gilt: parallel heißt Punkt–Gerade, windschief heißt $\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\circ(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}$.
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Für Gerade ∩ Ebene setzt du die Geradengleichung in die Ebene ein. Der Winkel dazu ist $\sin\alpha=\dfrac{|\vec n\circ\vec u|}{|\vec n||\vec u|}$.
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Der Spiegelpunkt ist $P'=2F-P$, mit dem Lotfußpunkt $F$.
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Bei Scharen rechnest du mit dem Parameter symbolisch, prüfst die Lösungen im Kontext und deutest das Ergebnis.