Spiegelungen an Ebenen
Ein Laserstrahl einer Drohne über dem Kölner Dom soll von einer ebenen Glasfassade so reflektiert werden, dass er ein Ziel am Boden trifft. Wo muss er die Fassade treffen? Mit Spiegelungen im Raum lässt sich das ohne Probieren berechnen. Die Antwort bekommen Sie am Ende des Abschnitts „Anwendung: Lichtstrahl“.
Spiegelung an Koordinatenebenen und achsenparallelen Ebenen
Spiegeln Sie einen Punkt an einer Ebene, liegt das Bild $P'$ auf der anderen Seite der Ebene, genauso weit entfernt wie $P$. Die Strecke $PP'$ steht senkrecht auf der Ebene.
Bei besonders einfachen Ebenen sehen Sie das Ergebnis direkt. Nur die Koordinate, die zur Ebene senkrecht steht, ändert sich.
Begründung für $x = c$: Der Abstand von $x$ zu $c$ ist $c - x$. Das Bild liegt um denselben Betrag hinter $c$, also bei $x' = c + (c - x) = 2c - x$.
Spiegeln Sie den Punkt $P(3|2|5)$ an der $xy$-Ebene.
Spiegeln Sie den Punkt $P(3|2|5)$ an der $xy$-Ebene.
Spiegeln Sie den Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E: x = 4$.
Spiegeln Sie den Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E: x = 4$.
Abstand und Lotfußpunkt
Bei einer beliebig geneigten Ebene brauchen Sie zwei Werkzeuge: den Abstand und den Lotfußpunkt $F$. Das ist der Punkt der Ebene, der $P$ am nächsten liegt.
Für die Ebene $E: ax + by + cz = d$ ist $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor. Die Hesse'sche Normalenform (HNF) teilt durch den Betrag von $\vec{n}$:
Warum? Der Zähler misst, wie weit $P$ von der Ebene „in Einheiten von $\vec{n}$" entfernt ist. Das Teilen durch $|\vec{n}|$ rechnet auf die Länge 1 um.
Den Lotfußpunkt finden Sie mit der Lotgeraden $h$ durch $P$ mit Richtungsvektor $\vec{n}$:
-
Stellen Sie $h: \vec{x} = \vec{p} + t\,\vec{n}$ auf.
-
Setzen Sie die Koordinaten von $h$ in die Ebenengleichung ein und lösen Sie nach $t$ auf.
-
Setzen Sie $t$ in $h$ ein. Das ist $F$.
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(2|1|3)$ von der Ebene $E: x + 2y - 2z = 3$ mit der Hesse'schen Normalenform.
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(2|1|3)$ von der Ebene $E: x + 2y - 2z = 3$ mit der Hesse'schen Normalenform.
Spiegelpunkt bestimmen
Ist $F$ der Lotfußpunkt von $P$ auf $E$, so ist $F$ der Mittelpunkt der Strecke $PP'$. Daraus folgt:
Gegeben sind die Ebene $E: 2x - y + 2z = 6$ und der Punkt $P(3|1|4)$. a) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt $F$ von $P$ auf $E$. b) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt $P'$.
Gegeben sind die Ebene $E: 2x - y + 2z = 6$ und der Punkt $P(3|1|4)$.
- a) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt $F$ von $P$ auf $E$.
- b) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt $P'$.
Anwendung: Lichtstrahl
Ein Lichtstrahl wird an einem ebenen Spiegel so reflektiert, dass Einfallswinkel und Ausfallswinkel gleich sind. Der Trick: Der Weg $A \to R \to B$ ist genauso lang wie der Weg $A' \to R \to B$, wobei $A'$ das Spiegelbild von $A$ ist. Der kürzeste Weg ist die Gerade $A'B$. Der Auftreffpunkt $R$ ist ihr Schnittpunkt mit der Spiegelebene.
Zurück zum Anfang: Die Drohne spiegelt ihren Startpunkt an der Fassadenebene und verbindet das Bild mit dem Ziel. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Fassade ist der gesuchte Auftreffpunkt.
Ein Lichtstrahl geht von $A(1|2|6)$ aus und trifft die Ebene $E: z = 0$ (Spiegel) im Punkt $R$, bevor er $B(5|4|2)$ erreicht. a) Bestimmen Sie $A'$ als Spiegelpunkt von…
Ein Lichtstrahl geht von $A(1|2|6)$ aus und trifft die Ebene $E: z = 0$ (Spiegel) im Punkt $R$, bevor er $B(5|4|2)$ erreicht.
- a) Bestimmen Sie $A'$ als Spiegelpunkt von $A$ an $E$.
- b) Bestimmen Sie $R$ als Schnittpunkt der Geraden $A'B$ mit $E$.
Spiegelung von Geraden und Symmetrieebene
Eine Gerade spiegeln Sie, indem Sie zwei ihrer Punkte spiegeln, oder einen Punkt und den Richtungsvektor. Ist $g$ parallel zur Ebene, ist auch $g'$ parallel zu ihr. Schneidet $g$ die Ebene in $S$, bleibt $S$ fest und $g'$ geht durch $S$.
Bei allgemeinen Ebenen spiegeln Sie den Aufpunkt über Lotgerade und Lotfußpunkt und den Richtungsvektor $\vec{u}$ über $\vec{u}' = \vec{u} - 2\cdot\dfrac{\vec{u}\circ\vec{n}}{\vec{n}\circ\vec{n}}\,\vec{n}$. Alternativ spiegeln Sie einfach einen zweiten Punkt von $g$.
Die Symmetrieebene
Ist $P'$ das Bild von $P$, so ist die Spiegelebene die Mittelebene von $P$ und $P'$. Sie geht durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $PP'$ und hat $\overrightarrow{PP'}$ als Normalenvektor. Jeder Punkt $Q$ der Ebene hat gleichen Abstand zu $P$ und $P'$.
Spiegeln Sie die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ an der Ebene $E: y = 2$ und geben Sie die Gleichung der…
Spiegeln Sie die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ an der Ebene $E: y = 2$ und geben Sie die Gleichung der Bildgeraden an.
Gegeben sind $E: x + y + z = 3$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$. a) Bestimmen Sie den…
Gegeben sind $E: x + y + z = 3$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$.
- a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ von $g$ und $E$.
- b) Spiegeln Sie $g$ an $E$ und bestimmen Sie eine Gleichung von $g'$.
- c) Zeigen Sie, dass $g$ und $g'$ sich in $S$ schneiden und der Winkel zwischen $g$ und $E$ gleich dem zwischen $g'$ und $E$ ist.
Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$ und $B(5|0|1)$. a) Zeigen Sie, dass die Spiegelung von $A$ an einer Ebene $E$ genau dann $B$ ergibt, wenn $E$ die Mittelebene…
Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$ und $B(5|0|1)$.
- a) Zeigen Sie, dass die Spiegelung von $A$ an einer Ebene $E$ genau dann $B$ ergibt, wenn $E$ die Mittelebene (Symmetrieebene) von $A$ und $B$ ist, und bestimmen Sie $E$ in Koordinatenform.
- b) Bestimmen Sie den Abstand von $A$ zu $E$.
- c) Ein Punkt $Q$ liegt auf $E$. Zeigen Sie, dass $|AQ| = |BQ|$ gilt.
Die Spiegelungsformel
Für eine Ebene durch den Ursprung mit Einheitsnormalenvektor $\vec{n}$ ($|\vec{n}| = 1$) gilt:
$$\vec{x}' = \vec{x} - 2(\vec{x}\circ\vec{n})\,\vec{n}$$Herleitung: $\vec{x}\circ\vec{n}$ ist der vorzeichenbehaftete Abstand von $P$ zur Ebene. Um zur Ebene zu kommen, gehen Sie $(\vec{x}\circ\vec{n})\,\vec{n}$ entgegen $\vec{n}$, zum Bild noch einmal dasselbe.
Zwei Eigenschaften folgen sofort. Die Spiegelung ist längentreu, weil $|\vec{x}'|^2 = |\vec{x}|^2 - 4(\vec{x}\circ\vec{n})^2 + 4(\vec{x}\circ\vec{n})^2|\vec{n}|^2 = |\vec{x}|^2$ gilt. Und zweimaliges Spiegeln ergibt die Identität, weil $\vec{x}'\circ\vec{n} = -\,\vec{x}\circ\vec{n}$ ist und damit $\vec{x}'' = \vec{x}' + 2(\vec{x}\circ\vec{n})\vec{n} = \vec{x}$.
Die Spiegelung an der Ebene $E$ durch den Ursprung mit Einheitsnormalenvektor $\vec{n}$ ist gegeben durch $\vec{x}' = \vec{x} - 2(\vec{x}\cdot\vec{n})\,\vec{n}$. a)…
Die Spiegelung an der Ebene $E$ durch den Ursprung mit Einheitsnormalenvektor $\vec{n}$ ist gegeben durch $\vec{x}' = \vec{x} - 2(\vec{x}\cdot\vec{n})\,\vec{n}$.
- a) Leiten Sie diese Formel her.
- b) Bestimmen Sie für $\vec{n} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ das Bild von $P(3|0|3)$.
- c) Zeigen Sie, dass die Spiegelung längentreu ist und dass zweimaliges Spiegeln die Identität ergibt.
Auf einen Blick
-
Bei Koordinatenebenen und $x = c$, $y = c$, $z = c$ ändert sich nur eine Koordinate: $x' = 2c - x$.
-
Abstand: $d(P;E) = \dfrac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ (Hesse'sche Normalenform).
-
Spiegelpunkt: Lotgerade durch $P$ mit Richtung $\vec{n}$, Lotfußpunkt $F$, dann $\overrightarrow{OP'} = 2\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OP}$.
-
Lichtstrahl: $A$ spiegeln, dann $A'B$ mit der Ebene schneiden.
-
Geraden: Aufpunkt und Richtungsvektor spiegeln. Ein Schnittpunkt mit der Ebene bleibt fest.
-
Die Spiegelebene von $P$ und $P'$ ist die Mittelebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{PP'}$.