Parameter in Funktionenscharen
Ein Stahlbauer in Duisburg fertigt parabelförmige Bögen für Fußgängerbrücken über den Rhein-Herne-Kanal. Jeder Bogen hat eine andere Spannweite, aber alle haben dieselbe Bauart. Muss er für jeden Bogen eine neue Funktionsgleichung aufstellen? Oder genügt eine einzige Gleichung mit einem frei wählbaren Parameter, aus der sich alle Bögen ablesen lassen? Am Ende der Seite beantworten wir diese Frage.
Was ist eine Funktionenschar?
Bisher hatte jede Funktion feste Zahlen im Term, zum Beispiel $f(x) = x^2 - 4x$. Jetzt ersetzen wir eine Zahl durch einen Buchstaben, den Parameter: $f_a(x) = x^2 - 2ax$. Für jeden Wert von $a$ entsteht eine eigene Funktion und damit ein eigener Graph.
Bewegen Sie den Schieberegler und beobachten Sie, was mit dem Graphen passiert.
Die Nullstellen liegen bei $x = 0$ und $x = 2a$. Der Scheitelpunkt wandert mit $a$ nach rechts und unten. Das Verhalten lässt sich so beschreiben: Jeder Graph öffnet sich nach oben und geht durch den Ursprung. Der Parameter verschiebt den Scheitelpunkt.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_t(x) = x + t$ mit $t \in \mathbb{R}$. a) Beschreiben Sie, wie sich der Graph von $f_t$ bei Veränderung von $t$ verändert. b) Bestimmen…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_t(x) = x + t$ mit $t \in \mathbb{R}$.
- a) Beschreiben Sie, wie sich der Graph von $f_t$ bei Veränderung von $t$ verändert.
- b) Bestimmen Sie $t$ so, dass der Graph durch den Punkt $P(3|7)$ verläuft.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^2 - 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$. b) Bestimmen Sie die…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^2 - 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
- b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
Nullstellen, Ableitungen und Extrema in Abhängigkeit vom Parameter
Die Untersuchung läuft wie bei einer gewöhnlichen Funktion ab. Nullstellen, Extrema und Wendepunkte werden mit den bekannten Verfahren bestimmt. Die Ergebnisse enthalten dann den Parameter. Dabei ist oft eine Fallunterscheidung nötig, zum Beispiel: Für welche $a$ gibt es überhaupt Lösungen?
Bei Produkten mit der e-Funktion bleibt der Parameter beim Ableiten als Faktor oder Summand erhalten. Für $f_a(x) = (x - a)\,\mathrm{e}^{x}$ liefert die Produktregel $f_a'(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^{x} + (x - a)\,\mathrm{e}^{x} = (x - a + 1)\,\mathrm{e}^{x}$. Weil $\mathrm{e}^{x} > 0$ ist, gilt $f_a'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = a - 1$ ist. Auch hier hilft das Ausklammern von $\mathrm{e}^x$.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_k(x) = kx^2 + 3$ mit $k \neq 0$. a) Bestimmen Sie $f_k'(x)$. b) Bestimmen Sie $k$ so, dass der Graph von $f_k$ im Punkt mit $x = 2$…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_k(x) = kx^2 + 3$ mit $k \neq 0$.
- a) Bestimmen Sie $f_k'(x)$.
- b) Bestimmen Sie $k$ so, dass der Graph von $f_k$ im Punkt mit $x = 2$ die Steigung $6$ hat.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a > 0$. a) Berechnen Sie die Extremstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimmen Sie deren Art. b)…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a > 0$.
- a) Berechnen Sie die Extremstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimmen Sie deren Art.
- b) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Hochpunkt die $y$-Koordinate $16$ hat.
- c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = (x - a)\cdot e^{x}$ mit $a \in \mathbb{R}$. a) Berechnen Sie die Nullstelle und die Ableitungen $f_a'(x)$ und $f_a''(x)$. b)…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = (x - a)\cdot e^{x}$ mit $a \in \mathbb{R}$.
- a) Berechnen Sie die Nullstelle und die Ableitungen $f_a'(x)$ und $f_a''(x)$.
- b) Zeigen Sie, dass $f_a$ genau eine Extremstelle besitzt, und geben Sie deren Lage in Abhängigkeit von $a$ an.
- c) Bestimmen Sie $a$ so, dass die Tangente im Punkt $(0|f_a(0))$ die Steigung $3$ hat.
Parameter aus Bedingungen bestimmen
Oft ist eine Eigenschaft vorgegeben, und der passende Parameterwert wird gesucht, zum Beispiel „der Graph geht durch $P(3|7)$", „die Steigung bei $x = 2$ beträgt 6" oder „der Tiefpunkt liegt bei $y = -2$". Das Vorgehen ist immer gleich: Bedingung als Gleichung aufschreiben, dann nach dem Parameter auflösen.
| Bedingung | Gleichung |
|---|---|
| Graph geht durch $P(x_0\,|\,y_0)$ | $f_a(x_0) = y_0$ |
| Steigung $m$ bei $x_0$ | $f_a'(x_0) = m$ |
| Extremstelle bei $x_0$ | $f_a'(x_0) = 0$ |
| Wendestelle bei $x_0$ | $f_a''(x_0) = 0$ |
| Nullstelle bei $x_0$ | $f_a(x_0) = 0$ |
Bei Extremwerten gibt man oft die Höhe des Extrempunkts vor. Beim Beispiel aus dem letzten Abschnitt liegt der Tiefpunkt von $f_a(x) = x^3 - 3ax$ bei $y = -2a\sqrt{a}$. Soll er die Höhe $-2$ haben, ergibt sich $a\sqrt{a} = 1$ und damit $a = 1$.
Ein Schwimmbad in Hannover wird durch die Funktionenschar $h_a(x) = \frac{1}{a}x^2 - 2x$ für $0 \le x \le 2a$ im Querschnitt beschrieben (in m, $a > 0$, Ursprung am…
Ein Schwimmbad in Hannover wird durch die Funktionenschar $h_a(x) = \frac{1}{a}x^2 - 2x$ für $0 \le x \le 2a$ im Querschnitt beschrieben (in m, $a > 0$, Ursprung am Beckenrand, $h_a$ = Höhe relativ zum Rand).
- a) Bestimmen Sie die Breite des Beckens in Abhängigkeit von $a$.
- b) Bestimmen Sie die tiefste Stelle und die maximale Tiefe in Abhängigkeit von $a$.
- c) Das Becken soll $8$ m breit sein. Bestimmen Sie $a$ und die maximale Tiefe.
Definitionsmenge und Asymptoten mit Parameter
Bei gebrochenrationalen Scharen hängen auch die Definitionsmenge und die Asymptoten vom Parameter ab. Der Nenner wird null gesetzt, und der Parameter erscheint in der Lösung.
Beim Verhalten für $x \to \infty$ bei Produkten wie $x \cdot \mathrm{e}^{-ax}$ (mit $a > 0$) gilt: Die e-Funktion wächst bzw. fällt schneller als jede Potenz von $x$. Zu merken ist: $x^n \cdot \mathrm{e}^{-ax} \to 0$ für $x \to \infty$. Begründung: $x \cdot \mathrm{e}^{-ax} = \frac{x}{\mathrm{e}^{ax}}$, und der Nenner wächst viel stärker als der Zähler. Beispiel: Für $g_a(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-2ax}$ gilt $\lim\limits_{x \to \infty} g_a(x) = 0$, die x-Achse ist waagerechte Asymptote. Für $x \to -\infty$ dagegen wächst $\mathrm{e}^{-ax}$ über alle Grenzen, dort gilt dieser Grenzwert nicht.
Für Ableitungen schreibt man Brüche als Produkte mit negativem Exponenten, denn die Quotientenregel ist nicht nötig. So ist $\frac{x^2}{x + a} = x^2 \cdot (x + a)^{-1}$. Produktregel und Kettenregel liefern $f_a'(x) = 2x\,(x+a)^{-1} - x^2\,(x+a)^{-2}$.
Ortskurven
Wenn sich der Parameter ändert, wandert zum Beispiel der Scheitelpunkt oder der Hochpunkt über das Koordinatensystem. Die Linie, auf der alle diese Punkte liegen, heißt Ortskurve.
Vorgehen:
-
Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit von $a$ bestimmen: $x = x(a)$, $y = y(a)$.
-
Die x-Koordinate nach $a$ auflösen.
-
In die y-Koordinate einsetzen. Das Ergebnis ist eine Funktionsgleichung $y = \dots$ ohne $a$.
-
Wenn der Parameter eingeschränkt ist (zum Beispiel $a > 0$), gilt dieselbe Einschränkung für $x$.
Manchmal muss man nach $a$ auflösen. Beim Tiefpunkt $T_a(\sqrt{a}\,|\,{-2a\sqrt{a}})$ von $x^3 - 3ax$ ergibt sich aus $x = \sqrt{a}$ zunächst $a = x^2$. Dann ist $y = -2x^2 \cdot x = -2x^3$ mit $x > 0$.
Wendepunkte und Wendetangente
Für Wendepunkte gilt: $f_a''(x) = 0$ und $f_a'''(x) \neq 0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f_a''$). Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt.
Die zweite Kurve im Bild ist die Ortskurve der Wendepunkte. Alle Wendepunkte der Schar liegen auf ihr.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = \frac{x^2}{x + a}$ mit $a > 0$. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Nullstellen und die Gleichung der senkrechten…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = \frac{x^2}{x + a}$ mit $a > 0$.
- a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Nullstellen und die Gleichung der senkrechten Asymptote.
- b) Weisen Sie nach, dass $f_a$ die Extremstellen $x = 0$ und $x = -2a$ besitzt, und bestimmen Sie deren Art.
- c) Die Extrempunkte bei $x=-2a$ liegen für alle $a > 0$ auf einer gemeinsamen Kurve. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ortskurve.
- d) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar durch den Punkt $(0|0)$ verlaufen und dort dieselbe Steigung besitzen.
Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x^3 - ax^2$ mit $a \neq 0$. a) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt von $f_a$ bei $x = \frac{a}{3}$ liegt, und bestimmen Sie die Ortskurve der…
Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x^3 - ax^2$ mit $a \neq 0$.
- a) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt von $f_a$ bei $x = \frac{a}{3}$ liegt, und bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte.
- b) Die Wendetangente von $f_a$ schneidet die $y$-Achse in $S_a$. Bestimmen Sie $S_a$ in Abhängigkeit von $a$.
- c) Bestimmen Sie alle $a$, für die die Wendetangente durch den Punkt $P(0|2)$ verläuft.
Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x \cdot e^{-ax}$ mit $a > 0$. a) Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ genau einen Hochpunkt $H_a$ besitzt, und bestimmen Sie dessen…
Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x \cdot e^{-ax}$ mit $a > 0$.
- a) Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ genau einen Hochpunkt $H_a$ besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.
- b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve aller Hochpunkte.
- c) Für welches $a$ ist $f_a$ im Hochpunkt genau $1$ hoch?
- d) Bestimmen Sie $\lim_{x \to \infty} f_a(x)$ und begründen Sie das Ergebnis.
Zurück zum Anfang: Der Stahlbauer braucht nur eine Gleichung, zum Beispiel $f_a(x) = x^2 - 2ax$. Der Parameter $a$ legt die Spannweite fest (Nullstellen bei $0$ und $2a$), und der Scheitelpunkt $S_a(a\,|\,{-a^2})$ gibt die Höhe an.
Auf einen Blick
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Eine Funktionenschar $f_a$ hat einen Parameter. Jeder Wert von $a$ liefert eine eigene Funktion. Beim Ableiten und Untersuchen bleibt $x$ die Variable, $a$ ist wie eine feste Zahl.
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Nullstellen, Extrema, Wendepunkte werden wie sonst bestimmt. Die Ergebnisse hängen von $a$ ab, oft ist eine Fallunterscheidung nötig. Der Parameterbereich muss beachtet werden.
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Parameter bestimmen: Bedingung als Gleichung aufschreiben ($f_a(x_0) = y_0$, $f_a'(x_0) = m$, $f_a''(x_0) = 0$ …), nach $a$ auflösen und prüfen, ob $a$ zulässig ist.
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Ortskurve: $x(a)$ und $y(a)$ des Punktes bestimmen, $a$ eliminieren, Einschränkung von $x$ angeben.
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Brüche schreibt man für Ableitungen mit negativem Exponenten, ohne Quotientenregel.