Uneigentliche Integrale und Rotationsvolumen
Ein radioaktives Präparat im Labor strahlt theoretisch unendlich lange. Trotzdem ist die Gesamtzahl aller Zerfälle endlich, denn die Aktivität nimmt immer weiter ab. Wie kann die Fläche unter einem Graphen, der sich unendlich weit nach rechts erstreckt, einen endlichen Wert haben? Und wie berechnet man das Volumen von Körpern wie einem Trinkglas oder einem Handball mit dem Integral? Genau darum geht es hier.
Uneigentliche Integrale
Bisher hatte jedes Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ zwei feste Grenzen. Jetzt lassen wir die obere Grenze „nach Unendlich wandern“. Der Graph von $f(x) = \frac{1}{x^2}$ nähert sich der $x$-Achse immer mehr an. Die Fläche rechts von $x = 1$ ist unbeschränkt lang, aber auch immer dünner.
Grundlage ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, so gilt $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Daher besteht das Vorgehen immer aus drei Schritten: Stammfunktion bilden, mit der Variablen $b$ als obere Grenze einsetzen, dann $b \to \infty$ untersuchen.
Berechnen Sie $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx$.
Wann konvergiert ein Integral? Die Potenzfunktionen $x^{-a}$
Vergleichen Sie $\frac{1}{x^2}$ und $\frac{1}{x}$. Beide gehen gegen $0$, aber unterschiedlich schnell. Mit dem Schieberegler können Sie den Exponenten $a$ verändern und beobachten, wie schnell der Graph „abtaucht“.
Auch im Sachkontext sind uneigentliche Integrale nützlich. Ist $a(t)$ eine Änderungsrate (zum Beispiel Zerfälle pro Zeiteinheit), so ist $\int_0^{\infty} a(t)\,dt$ der Gesamtbestand über alle Zeiten. Achten Sie dabei auf die Einheiten: Wenn $a$ in „pro Sekunde“ und $t$ in Stunden gegeben ist, müssen Sie mit $3.600$ umrechnen.
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x^3}$ für $x \geq 1$. a) Berechnen Sie $\int_1^{b} f(x)\,dx$ für $b > 1$. b) Untersuchen Sie, ob $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert, und…
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x^3}$ für $x \geq 1$.
- a) Berechnen Sie $\int_1^{b} f(x)\,dx$ für $b > 1$.
- b) Untersuchen Sie, ob $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert, und geben Sie ggf. den Wert an.
- c) Untersuchen Sie ebenso $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.
Die Aktivität (Zerfallsrate) eines radioaktiven Präparats im Labor der Universität Heidelberg wird durch $a(t) = 800\,e^{-0{,}1t}$ (in Zerfällen pro Sekunde, $t$ in…
Die Aktivität (Zerfallsrate) eines radioaktiven Präparats im Labor der Universität Heidelberg wird durch $a(t) = 800\,e^{-0{,}1t}$ (in Zerfällen pro Sekunde, $t$ in Stunden) beschrieben.
- a) Berechnen Sie die Gesamtzahl der Zerfälle in den ersten $10$ Stunden (Zeiteinheit beachten: Sekunden pro Stunde = $3.600$).
- b) Berechnen Sie die Gesamtzahl der Zerfälle für $t \to \infty$.
Rotationsvolumen
Eine Töpferin formt auf der Drehscheibe eine Vase. Der Querschnitt ist ein Kreis, dessen Radius sich entlang der Achse verändert. Genau so entsteht ein Rotationskörper: Der Graph einer Funktion $f$ über $[a; b]$ rotiert um die $x$-Achse.
Zerlegt man den Körper in dünne Kreisscheiben der Dicke $dx$, so hat jede Scheibe den Radius $f(x)$ und das Volumen $\pi \cdot f(x)^2 \cdot dx$ (Kreisfläche mal Dicke). Das Aufsummieren aller Scheiben ist ein Integral.
Rotationsvolumen können auch uneigentlich sein. Dann gilt $V = \pi \lim\limits_{b \to \infty} \int_a^b f(x)^2\,dx$. Es kann endlich sein, auch wenn die Fläche unter dem Graphen unendlich ist. Für $f(x) = \frac{1}{x}$ gilt:
-
Fläche: $\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \ln b \to \infty$.
-
Volumen: $\pi \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = \pi\left(1 - \frac{1}{b}\right) \to \pi$.
Die Fläche unter dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ über $[0;4]$ rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers.
Die Fläche unter dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ über $[0;4]$ rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers.
Der Graph von $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ über $[-r;r]$ rotiert um die $x$-Achse. a) Zeigen Sie mit dem Rotationsvolumen-Integral die Formel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ für…
Der Graph von $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ über $[-r;r]$ rotiert um die $x$-Achse.
- a) Zeigen Sie mit dem Rotationsvolumen-Integral die Formel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ für die Kugel.
- b) Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit $r = 0{,}15$ m (Medizinball) in Litern.
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x^a}$ für $x \geq 1$ mit $a > 0$. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $a$, für welche $a$ das Integral $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$…
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x^a}$ für $x \geq 1$ mit $a > 0$.
- a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $a$, für welche $a$ das Integral $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert, und geben Sie ggf. den Wert an.
- b) Untersuchen Sie, für welche $a$ das Rotationsvolumen um die $x$-Achse von $1$ bis $\infty$ endlich ist.
- c) Für $a = 1$ ist das Rotationsvolumen endlich, die Fläche nicht. Erläutern Sie diese Aussage rechnerisch.
Partielle Integration und Anwendungen
Manche Stammfunktionen findet man nicht direkt, zum Beispiel für $f(x) = x\,e^{-x}$. Hier hilft die partielle Integration, die Umkehrung der Produktregel.
Auch bei Rotationskörpern mit variabler Grenze helfen Sie sich mit $V(h)$: Berechnen Sie zuerst das Volumen in Abhängigkeit von der Grenze und lösen Sie dann die Gleichung nach der Unbekannten auf. Bei einem „Füllstand“ integrieren Sie nur über den Teil des Körpers, der gefüllt ist. Für $f(x) = \sqrt{x}$ ist zum Beispiel $V(h) = \pi \int_0^h x\,dx = \frac{\pi}{2}h^2$.
Ein Trinkglas entsteht durch Rotation des Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ für $0 \le x \le h$ um die $x$-Achse (Längen in dm). a) Bestimmen Sie das Volumen in Abhängigkeit…
Ein Trinkglas entsteht durch Rotation des Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ für $0 \le x \le h$ um die $x$-Achse (Längen in dm).
- a) Bestimmen Sie das Volumen in Abhängigkeit von $h$.
- b) Bestimmen Sie $h$ so, dass das Glas $0{,}25$ Liter fasst ($1$ dm$^3$ = $1$ l).
- c) Das Glas steht mit der Spitze bei $x = 0$ nach unten. Bestimmen Sie die Füllhöhe (von der Spitze bei $x = 0$ aus gemessen) bei halber Füllung.
Gegeben ist $f(x) = x\,e^{-x}$. a) Bestimmen Sie mit partieller Integration eine Stammfunktion von $f$. b) Berechnen Sie $\int_0^{\infty} f(x)\,dx$. c) Bestimmen Sie…
Gegeben ist $f(x) = x\,e^{-x}$.
- a) Bestimmen Sie mit partieller Integration eine Stammfunktion von $f$.
- b) Berechnen Sie $\int_0^{\infty} f(x)\,dx$.
- c) Bestimmen Sie $c > 0$ so, dass $\int_0^{c} f(x)\,dx = 0{,}5$ gilt, mit Begründung der Existenz einer Lösung.
Auf einen Blick
Zurück zum Anfang: Bei einer Abklingrate wie $a(t) = 800\,e^{-0{,}1t}$ konvergiert $\int_0^{\infty} a(t)\,dt$, weil die Exponentialfunktion schnell genug abfällt. Die Gesamtzahl der Zerfälle ist endlich, obwohl die Zeit unbegrenzt ist.