Histogramme und σ-Regeln
Ein Bundesligaspieler verwandelt Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0{,}8$. Er schießt 100 Elfmeter in der Trainingseinheit. Genau 80 Treffer sind zwar der wahrscheinlichste Wert, aber keineswegs sicher. Welche Trefferzahlen sind noch „normal“, und ab wann sollte man misstrauisch werden? Genau dafür brauchen Sie Histogramm, $\mu$, $\sigma$ und die $\sigma$-Regeln.
Das Histogramm der Binomialverteilung
Die Zufallsgröße $X$ sei $B(n;p)$-verteilt. Das Histogramm zeigt über jedem $k$ einen Balken der Höhe $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}$. Die Balken sind ein Bild der ganzen Verteilung.
Hier ist $n = 10$ und $p = 0{,}3$. Der höchste Balken liegt bei $k = 3$, also genau bei $\mu = n \cdot p = 3$. Der rechte Ausläufer ist länger als der linke: Das Histogramm ist schief.
Der Grund für die Symmetrie: Bei $p = 0{,}5$ sind „Treffer“ und „Niete“ gleich wahrscheinlich. Dann gilt $P(X=k) = P(X = n-k)$.
Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.
Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.
Das Histogramm einer Binomialverteilung mit $n = 20$ ist symmetrisch. Bestimmen Sie $p$ und den Erwartungswert und begründen Sie.
Das Histogramm einer Binomialverteilung mit $n = 20$ ist symmetrisch. Bestimmen Sie $p$ und den Erwartungswert und begründen Sie.
Vergleichen Sie die Histogramme der Binomialverteilungen $B(20;0{,}1)$, $B(20;0{,}5)$ und $B(20;0{,}9)$ hinsichtlich Lage des Maximums, Symmetrie und Breite. Geben Sie…
Vergleichen Sie die Histogramme der Binomialverteilungen $B(20;0{,}1)$, $B(20;0{,}5)$ und $B(20;0{,}9)$ hinsichtlich Lage des Maximums, Symmetrie und Breite. Geben Sie jeweils $\mu$ und $\sigma$ an.
Die σ-Regeln und das Prognoseintervall
Wie weit streuen die Werte von $X$ um $\mu$? Für binomialverteilte Zufallsgrößen mit genügend großem $\sigma$ (Faustregel: Laplace-Bedingung $\sigma > 3$) gilt näherungsweise:
| Intervall | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| $[\mu - 1\sigma;\ \mu + 1\sigma]$ | ca. $68{,}3\,\%$ |
| $[\mu - 1{,}64\sigma;\ \mu + 1{,}64\sigma]$ | ca. $90\,\%$ |
| $[\mu - 1{,}96\sigma;\ \mu + 1{,}96\sigma]$ | ca. $95\,\%$ |
| $[\mu - 2\sigma;\ \mu + 2\sigma]$ | ca. $95{,}5\,\%$ |
| $[\mu - 2{,}58\sigma;\ \mu + 2{,}58\sigma]$ | ca. $99\,\%$ |
| $[\mu - 3\sigma;\ \mu + 3\sigma]$ | ca. $99{,}7\,\%$ |
Diese Werte stehen in der Formelsammlung. Je breiter das Intervall, desto sicherer liegt $X$ darin.
Vorhin der Elfmeterschütze: $n = 100$, $p = 0{,}8$, also $\mu = 80$ und $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2} = 4$. Die $1{,}96\sigma$-Regel liefert $80 \pm 7{,}84$, also etwa $73$ bis $87$ Treffer. Bei 65 Treffern wäre das Ergebnis auffällig.
Eine Zufallsgröße $X$ ist $B(400;0{,}5)$-verteilt. Bestimmen Sie das $1\sigma$-Intervall um $\mu$.
Eine Zufallsgröße $X$ ist $B(400;0{,}5)$-verteilt. Bestimmen Sie das $1\sigma$-Intervall um $\mu$.
Eine Brauerei in Bayern weiß, dass $4\,\%$ der Flaschen fehlerhaft abgefüllt sind. In einer Stichprobe von $n = 625$ Flaschen sei $X$ die Anzahl fehlerhafter Flaschen.…
Eine Brauerei in Bayern weiß, dass $4\,\%$ der Flaschen fehlerhaft abgefüllt sind. In einer Stichprobe von $n = 625$ Flaschen sei $X$ die Anzahl fehlerhafter Flaschen.
- a) Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.
- b) Bestimmen Sie mit der $2\sigma$-Regel (Wahrscheinlichkeit ca. $0{,}954$) ein Prognoseintervall für $X$.
- c) Wie ändert sich die Breite des Intervalls bei vierfachem Stichprobenumfang?
Ein Würfel wird $n$-mal geworfen, $X$ = Anzahl der Sechsen. a) Bestimmen Sie $\mu$ und $\sigma$ für $n = 180$ und das $2\sigma$-Intervall. b) Beschreiben Sie, wie sich…
Ein Würfel wird $n$-mal geworfen, $X$ = Anzahl der Sechsen.
- a) Bestimmen Sie $\mu$ und $\sigma$ für $n = 180$ und das $2\sigma$-Intervall.
- b) Beschreiben Sie, wie sich das Histogramm von $B(n;\frac16)$ für wachsendes $n$ verändert (Lage, Breite, Symmetrie).
- c) Ab welchem $n$ ist die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt?
Relative Häufigkeit und Beurteilung
Bei Umfragen interessiert meist der Anteil, also die relative Häufigkeit $h = \frac{X}{n}$. Man teilt alle Grenzen des Intervalls einfach durch $n$.
Warum? Es ist $V(h) = V\!\left(\tfrac{X}{n}\right) = \tfrac{1}{n^2}\, V(X) = \tfrac{n p (1-p)}{n^2} = \tfrac{p(1-p)}{n}$. Die Wurzel daraus ist $\sigma_h$.
Die Breite des Intervalls ist $2z\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}$. Vierfacher Stichprobenumfang halbiert die Breite, weil $\sqrt{4} = 2$ im Nenner steht. Für festes $n$ ist die Breite am größten, wenn $p(1-p)$ maximal ist, also bei $p = 0{,}5$.
Beurteilen: Liegt der beobachtete Wert im Prognoseintervall, spricht nichts gegen die Annahme für $p$. Liegt er außerhalb, ist die Annahme zweifelhaft. Aber ein Irrtum bleibt möglich: Selbst bei richtigem $p$ liegt $h$ mit etwa $5\,\%$ Wahrscheinlichkeit außerhalb. Man würde dann die Annahme zu Unrecht verwerfen.
Bei einer Wahl in Dortmund beträgt der Anteil einer Partei $p = 0{,}25$. Es werden $n = 400$ Wähler befragt. a) Bestimmen Sie das Prognoseintervall für die absolute…
Bei einer Wahl in Dortmund beträgt der Anteil einer Partei $p = 0{,}25$. Es werden $n = 400$ Wähler befragt.
- a) Bestimmen Sie das Prognoseintervall für die absolute Häufigkeit mit der $1{,}96\sigma$-Regel (Wahrscheinlichkeit ca. $0{,}95$).
- b) Geben Sie das zugehörige Intervall für die relative Häufigkeit an.
- c) Es werden $120$ Befragte der Partei gezählt. Beurteilen Sie dies.
Ein Hersteller behauptet, höchstens $5\,\%$ seiner Smartphones seien defekt. Eine Stichprobe von $n = 400$ enthält $32$ defekte Geräte. a) Bestimmen Sie das…
Ein Hersteller behauptet, höchstens $5\,\%$ seiner Smartphones seien defekt. Eine Stichprobe von $n = 400$ enthält $32$ defekte Geräte.
- a) Bestimmen Sie das $1{,}96\sigma$-Prognoseintervall unter der Annahme $p = 0{,}05$.
- b) Beurteilen Sie die Behauptung des Herstellers.
- c) Erläutern Sie, welche Fehlentscheidung bei dieser Beurteilung möglich ist.
Die relative Häufigkeit $h = X/n$ einer $B(n;p)$-Verteilung hat Standardabweichung $\sigma_h = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. a) Leiten Sie diese Formel her. b) Bestimmen Sie…
Die relative Häufigkeit $h = X/n$ einer $B(n;p)$-Verteilung hat Standardabweichung $\sigma_h = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.
- a) Leiten Sie diese Formel her.
- b) Bestimmen Sie den kleinsten Stichprobenumfang $n$, sodass die Breite des $1{,}96\sigma$-Intervalls für $h$ bei $p = 0{,}5$ höchstens $0{,}04$ beträgt.
- c) Begründen Sie, warum die Breite für $p = 0{,}5$ maximal wird.