Aufgaben: Wurzelfunktion und Umkehrfunktionen

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = x^2$ für $x \geq 0$ und geben Sie Definitions- und Wertemenge an.

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = 3x - 6$.

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = e^{x} + 1$ und geben Sie deren Definitionsmenge an.

Gegeben ist $f(x) = (x-2)^2 + 1$ für $x \geq 2$.

1. a) Begründen Sie, dass $f$ umkehrbar ist.
2. b) Bestimmen Sie $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertemenge.
3. c) Berechnen Sie $(f^{-1})'(5)$ mit der Umkehrregel.

Gegeben ist $f(x) = \sqrt{2x + 3}$.

1. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge.
2. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
3. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von $f$ und $f^{-1}$.

Gegeben ist $f(x) = 2\ln(x) + 1$.

1. a) Bestimmen Sie $f^{-1}$.
2. b) Lösen Sie $f(x) = 5$.
3. c) Erläutern Sie, wie die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ zueinander liegen.

Gegeben ist $f(x) = x^3 + x$.

1. a) Begründen Sie, dass $f$ auf $\mathbb{R}$ umkehrbar ist.
2. b) Bestimmen Sie $f^{-1}(2)$ und $(f^{-1})'(2)$.
3. c) Stellen Sie die Gleichung auf, die $y = f^{-1}(x)$ erfüllt, erläutern Sie, warum sich diese mit Schulmitteln nicht nach $y$ auflösen lässt, und bestimmen Sie $(f^{-1})'(0)$.

Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x}$ für $x \ge 0$.

1. a) Leiten Sie $f'$ mit der Umkehrregel aus $g(y) = y^2$ her.
2. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $f$ im Punkt $P(4|2)$ und die Tangente an $f^{-1}$ im Punkt $Q(2|4)$.
3. c) Zeigen Sie, dass beide Tangenten an der Geraden $y = x$ gespiegelt sind.

Gegeben ist $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
2. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion (Hinweis: Substitution $u = e^{x}$ führt auf eine quadratische Gleichung).
3. c) Berechnen Sie $(f^{-1})'(0)$ auf zwei Wegen.