Aufgaben: Begrenztes Wachstum

Ein Bestand wächst begrenzt nach $B(t) = 100 - 80\,e^{-0{,}2t}$. Bestimmen Sie $B(0)$, $B(5)$ und die Sättigungsgrenze.

Ein Getränk der Temperatur $5\,°\text{C}$ steht in einem Raum mit $21\,°\text{C}$. Die Temperatur folgt $T(t) = 21 - 16\,e^{-0{,}05t}$ ($t$ in Minuten). Berechnen Sie die Temperatur nach $10$ Minuten.

Bei begrenztem Wachstum gilt $f'(t) = 0{,}3\,(50 - f(t))$ mit $f(0) = 10$. Geben Sie die Schranke $S$, die Wachstumskonstante $k$ und die Funktionsgleichung $f(t)$ an.

Ein Kaffee (Anfangstemperatur $90\,°\text{C}$) kühlt in einem Büro in Köln mit $20\,°\text{C}$ nach $T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}$ ab. Nach $10$ Minuten hat er $60\,°\text{C}$.

1. a) Bestimmen Sie $k$.
2. b) Berechnen Sie, wann der Kaffee $40\,°\text{C}$ erreicht.
3. c) Bestimmen Sie die momentane Abkühlungsrate nach $10$ Minuten.

Ein Stausee in Sachsen mit Kapazität $S = 500$ (Mio. m³) hat zu Beginn $120$ Mio. m³. Der Füllstand wächst begrenzt, nach $4$ Monaten sind $300$ Mio. m³ erreicht.

1. a) Stellen Sie die Funktion $V(t)$ auf.
2. b) Berechnen Sie, wann $450$ Mio. m³ erreicht sind.
3. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der größten Zuflussrate und deren Wert.

Eine Lernkurve einer Schülerin wird durch $L(t) = 100 - 90\,e^{-0{,}15t}$ (Wörter pro Stunde, $t$ in Wochen) beschrieben.

1. a) Berechnen Sie, nach welcher Zeit $L(t) = 80$ gilt.
2. b) Berechnen Sie die durchschnittliche Lernzuwachsrate in den ersten $4$ Wochen.
3. c) Zeigen Sie, dass $L'(t) = 0{,}15\,(100 - L(t))$ gilt.

Ein Tank wird mit konstantem Zufluss $z = 12$ l/min gefüllt und verliert Wasser proportional zum Füllstand: $y'(t) = 12 - 0{,}04\,y(t)$, $y(0) = 50$.

1. a) Zeigen Sie, dass $y(t) = 300 - 250\,e^{-0{,}04t}$ die Differenzialgleichung löst.
2. b) Bestimmen Sie den Grenzwert und erläutern Sie ihn.
3. c) Bestimmen Sie, wann der Tank $90\,\%$ des Grenzwerts erreicht.

Gegeben ist $f(t) = S - (S - f_0)\,e^{-kt}$ mit $0 < f_0 < S$ und $k > 0$.

1. a) Zeigen Sie: $f'(t) = k\,(S - f(t))$.
2. b) Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend und konkav ist.
3. c) Zeigen Sie, dass die Zeit, bis die Restdifferenz $S - f(t)$ auf die Hälfte $\frac{S-f_0}{2}$ ihres Anfangswerts gesunken ist, unabhängig von $f_0$ ist.

Der Mittelwert einer Größe $f(t) = 20 - 15\,e^{-0{,}5t}$ wird über $[0;T]$ betrachtet.

1. a) Berechnen Sie den Mittelwert $m(T)$ in Abhängigkeit von $T$.
2. b) Berechnen Sie $\lim_{T\to\infty} m(T)$.
3. c) Bestimmen Sie $T > 0$ numerisch (z. B. mit dem GTR) so, dass $m(T) = 15$ gilt, mit Begründung der Lösbarkeit.