Aufgaben: Histogramme und σ-Regeln

Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.

Das Histogramm einer Binomialverteilung mit $n = 20$ ist symmetrisch. Bestimmen Sie $p$ und den Erwartungswert und begründen Sie.

Eine Zufallsgröße $X$ ist $B(400;0{,}5)$-verteilt. Bestimmen Sie das $1\sigma$-Intervall um $\mu$.

Vergleichen Sie die Histogramme der Binomialverteilungen $B(20;0{,}1)$, $B(20;0{,}5)$ und $B(20;0{,}9)$ hinsichtlich Lage des Maximums, Symmetrie und Breite. Geben Sie jeweils $\mu$ und $\sigma$ an.

Eine Brauerei in Bayern weiß, dass $4\,\%$ der Flaschen fehlerhaft abgefüllt sind. In einer Stichprobe von $n = 625$ Flaschen sei $X$ die Anzahl fehlerhafter Flaschen.

1. a) Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.
2. b) Bestimmen Sie mit der $2\sigma$-Regel (Wahrscheinlichkeit ca. $0{,}954$) ein Prognoseintervall für $X$.
3. c) Wie ändert sich die Breite des Intervalls bei vierfachem Stichprobenumfang?

Bei einer Wahl in Dortmund beträgt der Anteil einer Partei $p = 0{,}25$. Es werden $n = 400$ Wähler befragt.

1. a) Bestimmen Sie das Prognoseintervall für die absolute Häufigkeit mit der $1{,}96\sigma$-Regel (Wahrscheinlichkeit ca. $0{,}95$).
2. b) Geben Sie das zugehörige Intervall für die relative Häufigkeit an.
3. c) Es werden $120$ Befragte der Partei gezählt. Beurteilen Sie dies.

Ein Hersteller behauptet, höchstens $5\,\%$ seiner Smartphones seien defekt. Eine Stichprobe von $n = 400$ enthält $32$ defekte Geräte.

1. a) Bestimmen Sie das $1{,}96\sigma$-Prognoseintervall unter der Annahme $p = 0{,}05$.
2. b) Beurteilen Sie die Behauptung des Herstellers.
3. c) Erläutern Sie, welche Fehlentscheidung bei dieser Beurteilung möglich ist.

Die relative Häufigkeit $h = X/n$ einer $B(n;p)$-Verteilung hat Standardabweichung $\sigma_h = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.

1. a) Leiten Sie diese Formel her.
2. b) Bestimmen Sie den kleinsten Stichprobenumfang $n$, sodass die Breite des $1{,}96\sigma$-Intervalls für $h$ bei $p = 0{,}5$ höchstens $0{,}04$ beträgt.
3. c) Begründen Sie, warum die Breite für $p = 0{,}5$ maximal wird.

Ein Würfel wird $n$-mal geworfen, $X$ = Anzahl der Sechsen.

1. a) Bestimmen Sie $\mu$ und $\sigma$ für $n = 180$ und das $2\sigma$-Intervall.
2. b) Beschreiben Sie, wie sich das Histogramm von $B(n;\frac16)$ für wachsendes $n$ verändert (Lage, Breite, Symmetrie).
3. c) Ab welchem $n$ ist die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt?