Aufgaben: Uneigentliche Integrale und Rotationsvolumen

Berechnen Sie $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$.

Berechnen Sie $\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx$.

Die Fläche unter dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ über $[0;4]$ rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers.

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x^3}$ für $x \geq 1$.

1. a) Berechnen Sie $\int_1^{b} f(x)\,dx$ für $b > 1$.
2. b) Untersuchen Sie, ob $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert, und geben Sie ggf. den Wert an.
3. c) Untersuchen Sie ebenso $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.

Der Graph von $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ über $[-r;r]$ rotiert um die $x$-Achse.

1. a) Zeigen Sie mit dem Rotationsvolumen-Integral die Formel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ für die Kugel.
2. b) Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit $r = 0{,}15$ m (Medizinball) in Litern.

Die Aktivität (Zerfallsrate) eines radioaktiven Präparats im Labor der Universität Heidelberg wird durch $a(t) = 800\,e^{-0{,}1t}$ (in Zerfällen pro Sekunde, $t$ in Stunden) beschrieben.

1. a) Berechnen Sie die Gesamtzahl der Zerfälle in den ersten $10$ Stunden (Zeiteinheit beachten: Sekunden pro Stunde = $3.600$).
2. b) Berechnen Sie die Gesamtzahl der Zerfälle für $t \to \infty$.

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x^a}$ für $x \geq 1$ mit $a > 0$.

1. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $a$, für welche $a$ das Integral $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert, und geben Sie ggf. den Wert an.
2. b) Untersuchen Sie, für welche $a$ das Rotationsvolumen um die $x$-Achse von $1$ bis $\infty$ endlich ist.
3. c) Für $a = 1$ ist das Rotationsvolumen endlich, die Fläche nicht. Erläutern Sie diese Aussage rechnerisch.

Ein Trinkglas entsteht durch Rotation des Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ für $0 \le x \le h$ um die $x$-Achse (Längen in dm).

1. a) Bestimmen Sie das Volumen in Abhängigkeit von $h$.
2. b) Bestimmen Sie $h$ so, dass das Glas $0{,}25$ Liter fasst ($1$ dm$^3$ = $1$ l).
3. c) Das Glas steht mit der Spitze bei $x = 0$ nach unten. Bestimmen Sie die Füllhöhe (von der Spitze bei $x = 0$ aus gemessen) bei halber Füllung.

Gegeben ist $f(x) = x\,e^{-x}$.

1. a) Bestimmen Sie mit partieller Integration eine Stammfunktion von $f$.
2. b) Berechnen Sie $\int_0^{\infty} f(x)\,dx$.
3. c) Bestimmen Sie $c > 0$ so, dass $\int_0^{c} f(x)\,dx = 0{,}5$ gilt, mit Begründung der Existenz einer Lösung.