Aufgaben: ln als Stammfunktion und Hauptsatz

Berechnen Sie $\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx$.

Berechnen Sie $\int_2^{6} \frac{3}{x}\,dx$ und geben Sie das Ergebnis als Logarithmus an.

Gegeben ist $F(x) = \int_0^{x} (2t+1)\,dt$. Bestimmen Sie $F(x)$ und $F'(x)$.

Gegeben ist $f(x) = \frac{2}{x} + x$ für $x > 0$.

1. a) Bestimmen Sie die Stammfunktion $F$ mit $F(1) = 3$.
2. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse über $[1;4]$.

Berechnen Sie $\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx$ und $\int_{1/e}^{1} \frac{1}{x}\,dx$ und erläutern Sie den Zusammenhang mit der Eigenschaft $\ln(1/a) = -\ln a$.

Gegeben ist $F(x) = \int_1^{x} \frac{1}{t}\,dt$ für $x > 0$.

1. a) Begründen Sie mit dem Hauptsatz, dass $F'(x) = \frac{1}{x}$ gilt.
2. b) Bestimmen Sie $F(1)$ und das Monotonieverhalten von $F$.
3. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $F$ an der Stelle $x = 2$.

Gegeben ist $f$ stetig auf $[a;b]$ und $F(x) = \int_a^{x} f(t)\,dt$.

1. a) Erläutern Sie anschaulich mit dem Differenzenquotienten $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$, warum $F'(x) = f(x)$ gilt.
2. b) Folgern Sie, dass für jede Stammfunktion $G$ von $f$ gilt: $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$.
3. c) Zeigen Sie, dass $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt = 2x\,e^{-x^4}$ gilt.

Gegeben ist $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ für $x > 0$.

1. a) Bestimmen Sie durch Substitution eine Stammfunktion von $f$.
2. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $x$-Achse über $[1;e^2]$.
3. c) Untersuchen Sie, ob $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ existiert.

Gegeben ist $f(x) = \ln x$.

1. a) Zeigen Sie durch Ableiten, dass $F(x) = x\ln x - x$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
2. b) Berechnen Sie $\int_1^{e} \ln x\,dx$ und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
3. c) Die Fläche zwischen dem Graphen von $f$, der $x$-Achse und der Geraden $x = e$ rotiert um die $y$-Achse. Bestimmen Sie das Volumen mithilfe der Umkehrfunktion $x = e^{y}$.