Aufgaben: Konfidenzintervalle

Ein Analyst für soziale Netzwerke möchte die tägliche Zeit untersuchen, die Jugendliche in Deutschland im Alter von 15 bis 18 Jahren auf TikTok verbringen. Dazu wählt er zufällig 400 Nutzerinnen und Nutzer dieser Altersgruppe im ganzen Land aus und erfasst ihre Nutzungszeiten.

Geben Sie die folgenden Elemente der statistischen Untersuchung eindeutig an:

1. a) Die untersuchte Grundgesamtheit.

1. b) Die ausgewählte Stichprobe.

1. c) Den Stichprobenumfang.

1. d) Die Kenngröße, die berechnet würde, um die Information der Stichprobe zusammenzufassen.

Es ist bekannt, dass die Wartezeit in der Schlange einer beliebten Attraktion eines Freizeitparks normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von $\mu = 45$ Minuten und einer Standardabweichung von $\sigma = 12$ Minuten.

Wir wählen eine Zufallsstichprobe von $n = 36$ Besuchern, die die Attraktion besucht haben:

1. Welcher Verteilung folgt der Stichprobenmittelwert $\bar{X}$? Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung (Standardfehler) an.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die mittlere Wartezeit dieser Stichprobe größer als $48$ Minuten ist.

In der schließenden Statistik ist der kritische Wert $z_{\alpha/2}$ entscheidend für die Breite eines Konfidenzintervalls. Es ist der Wert der Standardnormalverteilung $N(0, 1)$, rechts von dem die Fläche $\alpha/2$ liegt, wobei $1-\alpha$ das Konfidenzniveau ist (in der Abbildung ist die mittlere Fläche $1-\alpha$ und jeder Rand hat die Fläche $\alpha/2$).

Bestimmen Sie mithilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ die kritischen Werte $z_{\alpha/2}$ zu den folgenden Konfidenzniveaus:

1. a) Ein Konfidenzniveau von $90\,\%$.

1. b) Ein Konfidenzniveau von $95\,\%$.

1. c) Ein Konfidenzniveau von $99\,\%$.

Ein Paketdienst untersucht das Gewicht der Pakete, die er in einer Stadt zustellt. Es wird angenommen, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $\sigma = 0,8$ kg. Es wird eine Zufallsstichprobe von $n = 64$ Paketen gezogen, und man erhält einen Stichprobenmittelwert von $\bar{x} = 4,2$ kg.

Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für das mittlere Gewicht aller vom Unternehmen zugestellten Pakete zum Konfidenzniveau $95\%$.

Nach einer Untersuchung zu den monatlichen Ausgaben für Streaming-Dienste bei Jugendlichen eines Stadtviertels hat man als Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Grundgesamtheit zu einem bestimmten Konfidenzniveau $(14,20 \text{ €}; 17,80 \text{ €})$ erhalten.

Bestimmen Sie anhand dieses Intervalls:

1. Den Wert des Stichprobenmittelwerts $\bar{x}$, der für die Berechnung verwendet wurde.

2. Den maximalen Schätzfehler $E$ der Schätzung.

An einem Gymnasium wird vermutet, dass $15\%$ der Schülerinnen und Schüler Linkshänder sind. Zur Überprüfung wird eine Zufallsstichprobe von $n = 100$ Schülern ausgewählt.

1. Welcher Verteilung folgt der Stichprobenanteil $\hat{p}$ der Linkshänder? Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung an.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Linkshänder in der ausgewählten Stichprobe kleiner als $18\%$ ist.

Man möchte den Anteil der Haushalte einer Stadt schätzen, die Bioabfälle zum Recycling trennen. Dazu wird eine Zufallsstichprobe von $n = 400$ Haushalten befragt, von denen $160$ angeben, die Abfälle zu trennen.

Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für den Anteil der Haushalte in der ganzen Stadt, die Bioabfälle trennen, zum Konfidenzniveau $90\%$.

Ein Hersteller von LED-Lampen möchte die mittlere Lebensdauer seiner Produkte schätzen. Aus früheren Untersuchungen ist bekannt, dass die Standardabweichung der Lebensdauer $\sigma = 500$ Stunden beträgt.

Wenn die Qualitätskontrolle eine Schätzung zum Konfidenzniveau $95\%$ durchführen möchte, welchen Mindestumfang der Stichprobe $n$ muss sie wählen, damit der maximale Fehler kleiner als $100$ Stunden ist?

Hugo erstellt für das Fach Wirtschaft eine Arbeit über die monatlichen Ausgaben für den öffentlichen Nahverkehr bei den Studierenden seines Campus. Er weiß, dass die Variable normalverteilt ist mit Standardabweichung $\sigma = 15\text{ €}$. Aus einer Zufallsstichprobe von $100$ Studierenden und bei einem Konfidenzniveau von $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) berechnet er die Fehlerspanne und erhält $E = 1,96 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}} = 2,94\text{ €}$. Anschließend behauptet Hugo in seinen Schlussfolgerungen: „Um die Fehlerspanne auf die Hälfte zu reduzieren ($1,47\text{ €}$) und dabei das gleiche Konfidenzniveau von $95\%$ beizubehalten, genügt es, den Aufwand zu verdoppeln und $200$ Studierende zu befragen.“ a) Erkennen Sie den Fehler in Hugos Behauptung und erklären Sie begründet, warum eine Verdopplung des Stichprobenumfangs den Fehler nicht halbiert. b) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie bestimmen, wie viele Studierende er tatsächlich befragen muss, damit die Fehlerspanne $1,47\text{ €}$ beträgt.

In einer Studie über die tägliche Zeit (in Minuten), die Schülerinnen und Schüler der Qualifikationsphase mit dem Lesen in digitaler Form verbringen, wird angenommen, dass die Variable normalverteilt ist mit bekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma = 18\text{ Minuten}$. Ein offizieller Bericht veröffentlicht nur das für den Erwartungswert der Grundgesamtheit berechnete Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $90\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,645$), nämlich $(42,04;\ 47,96)$, gibt aber weder den Stichprobenumfang noch den beobachteten Stichprobenmittelwert an. a) Rekonstruieren Sie unter algebraischer Begründung jedes Schrittes anhand der Symmetrieeigenschaften des Intervalls den Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ und die Fehlerspanne $E$. b) Stellen Sie die Gleichung auf, mit der sich der von den Forschenden verwendete Stichprobenumfang $n$ bestimmen lässt, und lösen Sie sie.

Für eine Studie zu digitalen Lesegewohnheiten bei Jugendlichen soll ein Konfidenzintervall konstruiert werden. Berechnen Sie mit Begründung die kritischen Werte $z_{\alpha/2}$ zu den folgenden Konfidenzniveaus:

1. a) $94 \%$
2. b) $98 \%$

Veranschaulichen Sie grafisch die Lage des kritischen Werts in einer Standardnormalverteilung für den Fall $94 \%$.

Ein E-Sport-Team möchte wissen, wie viel Zeit seine Spieler im Mittel täglich mit Training verbringen. Bekannt ist, dass die Spielzeit normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $45$ Minuten. Es wurde eine Zufallsstichprobe von $36$ Spielern der Bundesliga gezogen, mit einem Mittelwert von $210$ Minuten pro Tag.

1. a) Bestimmen Sie das $95 \%$-Konfidenzintervall für die mittlere tägliche Trainingszeit aller Spieler der Liga.
2. b) Wie groß ist der bei dieser Schätzung höchstens gemachte Fehler?

Ein Technologieunternehmen testet die Akkulaufzeit eines neuen Smartphone-Modells. Es wird angenommen, dass die Laufzeit normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $2,4$ Stunden.

Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, damit der maximale Fehler bei der Schätzung des Erwartungswerts der Grundgesamtheit kleiner als $30$ Minuten ist, bei einem Konfidenzniveau von $99 \%$?

In einer Umfrage unter $400$ Schülern einer Schule zur Nutzung von Streaming-Plattformen gaben $260$ an, lieber Serien als Filme zu schauen.

1. a) Bestimmen Sie die Punktschätzung für den Anteil der Schüler, die Serien bevorzugen.

1. b) Bestimmen Sie ein $97\,\%$-Konfidenzintervall für den wahren Anteil der Schüler dieser Schule, die Serien bevorzugen.

Der Preis der Eintrittskarten für ein Sommer-Musikfestival ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von $12$ Euro. Es wurde eine Zufallsstichprobe von Preisen gezogen und das folgende Konfidenzintervall für den Erwartungswert erhalten: $(72,15; 77,85)$.

1. a) Wie hoch war der mittlere Preis der ausgewählten Stichprobe?
2. b) Wenn das für dieses Intervall verwendete Konfidenzniveau $95 \%$ betrug, wie groß war der Umfang der untersuchten Stichprobe?

Der Anteil der Bürger, die bereit wären, den öffentlichen Nahverkehr zu nutzen, wenn er kostenlos wäre, soll geschätzt werden. In einer früheren Studie ist der erwartete Anteil unbekannt, daher wird der Fall maximaler Varianz angenommen ($p = q = 0,5$).

Bestimmen Sie den erforderlichen Mindeststichprobenumfang, um diesen Anteil mit einem maximalen Fehler von $4 \%$ und einem Konfidenzniveau von $95,44 \%$ (entsprechend einem kritischen Wert $z_{\alpha/2} = 2$) zu schätzen.

Zwei Schulen, A und B, messen die mittlere Zeit, die ihre Schüler der Abiturstufe pro Woche mit Mathematiklernen verbringen. Bei beiden ist bekannt, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit $1,5$ Stunden beträgt.

An jeder Schule wird eine Stichprobe von $100$ Schülern gezogen. An Schule A hat das erhaltene Konfidenzintervall für den Erwartungswert eine Länge von $0,588$ Stunden. An Schule B ist das erhaltene Konfidenzintervall für den Erwartungswert $(6,2; 7,2)$.

1. a) Bestimmen Sie das an Schule A verwendete Konfidenzniveau.
2. b) Bestimmen Sie das an Schule B verwendete Konfidenzniveau.
3. c) Welche der beiden Schulen hat eine genauere Schätzung vorgenommen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Eine „Eco-friendly“-Modemarke behauptet, dass $30\,\%$ ihrer Kunden jünger als $20$ Jahre sind. Zur Überprüfung wird eine Zufallsstichprobe von $500$ Kunden gezogen, und es zeigt sich, dass $135$ von ihnen weniger als $20$ Jahre alt sind.

1. a) Konstruieren Sie anhand der Stichprobendaten ein $99\,\%$-Konfidenzintervall für den Anteil der Kunden unter $20$ Jahren.

1. b) Kann man angesichts des Ergebnisses die Behauptung der Marke bei einem Konfidenzniveau von $99\,\%$ als mit den erhaltenen Daten vereinbar ansehen? Erklären Sie, warum.

Eine Verkehrsbehörde möchte den Anteil der Autofahrer in einem Bundesland schätzen, die am Steuer regelmäßig ohne Freisprecheinrichtung das Handy benutzen. In einer vorherigen Pilotbefragung unter $200$ Fahrern gaben $32$ an, diesen Verstoß zu begehen. Die endgültige Studie soll mit einem Konfidenzniveau von $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) und einer maximalen Fehlerspanne von $2\%$ ($E = 0,02$) durchgeführt werden. a) Machen Sie, bevor Sie mit der genauen Formel rechnen, eine begründete qualitative Abschätzung: Wenn man weiß, dass die Varianz eines Anteils $\hat{p}(1-\hat{p})$ beträgt, werden dann mehr oder weniger als $1000$ Fahrer benötigt, um diese Genauigkeit zu erreichen? Begründen Sie Ihre Intuition, indem Sie die Variabilität dieses Falls mit dem ungünstigsten Fall ($\hat{p} = 0,5$) vergleichen. b) Berechnen Sie den erforderlichen Mindeststichprobenumfang $n$ mithilfe des Anteils der Pilotstichprobe. c) Prüfen Sie, ob mit dem erhaltenen Stichprobenumfang die Gültigkeitsbedingungen des Wald-Intervalls für Anteile ($n\hat{p} \ge 10$ und $n(1-\hat{p}) \ge 10$) erfüllt sind, und überlegen Sie, ob das Endergebnis Ihre Abschätzung aus Teilaufgabe a) bestätigt.

Anhand der Mikrodaten des Statistischen Bundesamts (Destatis) zum Wohnen modelliert eine Analystin den Mietpreis pro Quadratmeter in einer deutschen Großstadt. Es wird angenommen, dass der Preis pro Quadratmeter normalverteilt ist, mit bekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma = 3,50\text{ €/m}^2$. Aus einer Zufallsstichprobe von $49$ Wohnungen ergibt sich ein Stichprobenmittelwert von $\bar{x} = 12,80\text{ €/m}^2$. a) Modellieren Sie die Situation, indem Sie das Konfidenzintervall zum Niveau $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) für den mittleren Mietpreis pro Quadratmeter in der Grundgesamtheit bestimmen. b) Ein Vertreter einer Mietervereinigung behauptet: „Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ liegt der wahre mittlere Mietpreis in der Stadt innerhalb des von Ihnen berechneten Intervalls.“ Erklären Sie, warum diese Interpretation aus Sicht der frequentistischen Statistik inhaltlich falsch ist, und formulieren Sie die korrekte Interpretation. c) Das Bundesbauministerium behauptete, der mittlere Preis in dieser Gegend betrage $11,50\text{ €/m}^2$. Begründen Sie, ob dieser Wert angesichts des berechneten Intervalls glaubwürdig ist.

Ein bekannter Content-Creator analysiert die Verweildauer seiner Follower bei seinen E-Sport-Livestreams. Bekannt ist, dass die Verbindungsdauer normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $12$ Minuten. Nach der Auswertung einer Zufallsstichprobe von $144$ Nutzern wurde für den Erwartungswert der Grundgesamtheit das Konfidenzintervall $(32,35; 36,25)$ erhalten.

1. a) Bestimmen Sie den Wert des Stichprobenmittelwerts und das Konfidenzniveau, mit dem dieses Intervall konstruiert wurde.

1. b) Wenn der Streamer die Länge dieses Intervalls bei gleichem Konfidenzniveau auf ein Viertel verringern möchte, wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein?

1. c) Erklären Sie ohne weitere Rechnung, was mit der Genauigkeit der Schätzung geschähe, wenn wir den Stichprobenumfang erhöhen, aber zugleich mit einem höheren Konfidenzniveau als in Teilaufgabe a) arbeiten wollten.

Ein Mobilfunkunternehmen möchte den Anteil der Jugendlichen schätzen, die nachts den „Dunkelmodus“ auf ihren Geräten nutzen. In einer ersten Stichprobe von $100$ Nutzern bestätigten $60\%$, ihn zu nutzen.

1. a) Berechnen Sie das $98\%$-Konfidenzintervall für den Anteil der Nutzer dieses Modus in der Grundgesamtheit.

1. b) Angenommen, es liegt keinerlei Vorinformation über den Anteil vor (Situation größter Unsicherheit). Bestimmen Sie den erforderlichen Stichprobenumfang, damit der maximal zulässige Fehler $0,02$ bei einem Konfidenzniveau von $95\%$ beträgt.

1. c) Wenn der in der ersten Stichprobe erhaltene Anteil ($0,6$) für die Berechnung des Stichprobenumfangs unter denselben Bedingungen wie in Teilaufgabe b) verwendet wird (Fehler $0,02$ und Konfidenzniveau $95\%$), wie viele Nutzer müssten dann weniger befragt werden als im Fall größter Unsicherheit?

Die Reaktionszeit der Piloten an einem hochmodernen Flugsimulator ist normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert und einer Standardabweichung von $0,05$ Sekunden. Bei einer Stichprobe von $64$ Piloten wird ein Mittelwert von $0,42$ Sekunden beobachtet.

1. a) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Grundgesamtheit zum Konfidenzniveau $97\%$.

1. b) Der Hersteller des Simulators behauptet, die mittlere Reaktionszeit betrage $0,40$ Sekunden. Ist diese Behauptung mit dem in der vorigen Teilaufgabe erhaltenen Intervall vereinbar? Begründen Sie Ihre Antwort mit dem Zusammenhang zwischen Konfidenzintervallen und Parametern der Grundgesamtheit.

1. c) Wenn man beschließt, den Stichprobenumfang zu verdoppeln und das Konfidenzniveau auf $90\%$ zu senken, wie wirkt sich das auf die Länge des Intervalls aus? Berechnen Sie den Faktor, um den die Länge kleiner oder größer wird.

Eine Studie zu nachhaltigen Gewohnheiten zeigt, dass $15\%$ der Jugendlichen einer Stadt sich ausschließlich mit dem E-Scooter fortbewegen. Es wird eine Zufallsstichprobe von $n$ Jugendlichen für eine Nachverfolgung ausgewählt.

1. a) Wenn das erhaltene Konfidenzintervall für den Anteil in der Grundgesamtheit zum Konfidenzniveau $95\%$ eine Länge von $0,06$ hat, wie groß war der verwendete Stichprobenumfang? (Verwenden Sie den Anteil von $15\%$ als Schätzwert.)

1. b) Wenn die Fehlerspanne nur $0,01$ betragen soll bei gleichbleibendem Konfidenzniveau von $95\%$, wir aber vermuten, dass der wahre Anteil eher bei $50\%$ liegen könnte, wie groß wäre dann der neue erforderliche Stichprobenumfang?

Das Gewicht der Schulrucksäcke von Schülern der Abiturstufe ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von $1,2$ kg. Es wurde eine Zufallsstichprobe von $100$ Schülern gezogen und ein Konfidenzintervall für das mittlere Gewicht konstruiert. Die obere Grenze dieses Intervalls beträgt $6,235$ kg und seine Länge $0,47$ kg.

1. a) Wie groß ist das mittlere Stichprobengewicht der Rucksäcke in dieser Untersuchung?

1. b) Bestimmen Sie das Konfidenzniveau, mit dem das Intervall konstruiert wurde.

1. c) Wenn der maximale Fehler $0,1$ kg bei einem Konfidenzniveau von $99,73\%$ (entsprechend $3\sigma$) betragen soll, wie viele Schüler müssten zusätzlich in die ursprüngliche Stichprobe aufgenommen werden?

Es wurde eine Umfrage unter $400$ Nutzern einer Musik-Streaming-Plattform durchgeführt, um zu erfahren, welcher Anteil das Genre Urban bevorzugt. Das erhaltene Konfidenzintervall für den Anteil der Nutzer ist $(0,312; 0,388)$.

1. a) Bestimmen Sie den Wert des Stichprobenanteils und das in der Studie verwendete Konfidenzniveau.

1. b) Wenn eine neue Studie mit einer Stichprobe von $1600$ Nutzern durchgeführt und derselbe Stichprobenanteil beibehalten wird, wie groß ist dann die Länge des neuen Intervalls bei gleichem Konfidenzniveau?

1. c) Begründen Sie mathematisch, wie sich die Länge des Intervalls verändert, wenn wir den Stichprobenumfang vervierfachen und den kritischen Wert $z_{\alpha/2}$ verdoppeln.

Ein Technologiezentrum untersucht die Akkulaufzeit eines neuen Smartphone-Modells bei intensiver Nutzung. Es wird angenommen, dass die Laufzeit normalverteilt ist mit $\sigma = 0,8$ Stunden. Der Erwartungswert der Laufzeit soll mit einem Konfidenzniveau von $96\%$ geschätzt werden.

1. a) Wenn das Konfidenzintervall eine maximale Länge von $20$ Minuten haben soll, berechnen Sie den erforderlichen Mindeststichprobenumfang.

1. b) Nach Durchführung des Experiments mit dem in der vorigen Teilaufgabe erhaltenen Stichprobenumfang zeigt sich, dass der Stichprobenmittelwert $9,5$ Stunden beträgt. Geben Sie das resultierende Konfidenzintervall in Stunden an.

1. c) Wenn aus Budgetgründen nur $50$ Geräte untersucht werden könnten, wie groß wäre der maximale Fehler, wenn wir das Konfidenzniveau von $96\%$ beibehalten wollten? Geben Sie das Ergebnis in Minuten an.

In einer Abiturprüfung ist die von den Schülern im Fach Mathematik erzielte Punktzahl normalverteilt mit einer Standardabweichung von $1,5$ Punkten. Es werden zwei unabhängige Stichproben aus verschiedenen Schulen gezogen, beide vom Umfang $n$.

• Für Stichprobe A wird ein Konfidenzniveau von $90\%$ verwendet, wobei sich ein Fehler von $0,25$ Punkten ergibt.

• Für Stichprobe B wird ein Konfidenzniveau von $99\%$ gewünscht.

1. a) Berechnen Sie den in Stichprobe A verwendeten Stichprobenumfang $n$.

1. b) Bestimmen Sie mit dem in der vorigen Teilaufgabe gefundenen Wert von $n$ den maximal zulässigen Fehler für Stichprobe B.

1. c) Wenn man beide Stichproben zu einer einzigen vom Umfang $2n$ zusammenführen würde, berechnen Sie den neuen Fehler für ein Konfidenzniveau von $95\%$. Ist dieser Fehler kleiner als der von Stichprobe A? Begründen Sie, ob sich die Genauigkeit mit wachsendem Stichprobenumfang stets verbessert, unabhängig von Änderungen des Konfidenzniveaus.

Ein soziologisches Beratungsunternehmen soll eine Umfrage entwerfen, um den Anteil der 18- bis 25-Jährigen zu schätzen, die in einem Bundesland an digitaler Spielsucht leiden. Aufgrund früherer bundesweiter Erhebungen wird vermutet, dass der wahre Anteil gering ist, etwa $p \approx 0,02$ ($2\%$). Das Fachteam wägt zwei methodische Optionen ab: Vorschlag A, eine Stichprobe von $n_A = 150$ Jugendlichen mit einem Konfidenzniveau von $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$); Vorschlag B, eine Stichprobe von $n_B = 600$ Jugendlichen mit einem Konfidenzniveau von $90\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,645$). a) Prüfen Sie die Bedingungen für die Normalverteilungsnäherung des Wald-Intervalls ($n\hat{p} \ge 10$ und $n(1-\hat{p}) \ge 10$) in beiden Vorschlägen unter der Annahme, dass die Stichprobe den Erwartungswert widerspiegelt. Welches numerisch unsinnige Ergebnis tritt an der unteren Intervallgrenze auf, wenn man die Formel in Vorschlag A mechanisch anwendet? b) Berechnen Sie die theoretische Fehlerspanne für jeden Vorschlag. c) Begründen Sie, für welche der beiden Methoden sich das Beratungsunternehmen entscheiden sollte, wenn es der inferenziellen Gültigkeit und dem praktischen Nutzen des resultierenden Intervalls Priorität einräumt.

Zwei Forscher, Clara und Mateo, untersuchen unabhängig voneinander den zweimonatlichen Stromverbrauch (in kWh) der Haushalte einer Region, der normalverteilt ist mit bekannter Standardabweichung $\sigma = 60\text{ kWh}$. Beide verwenden genau dieselbe Zufallsstichprobe von $n$ Haushalten. Clara konstruiert ein Konfidenzintervall zum Niveau $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) und erhält eine Gesamtlänge von $23,52\text{ kWh}$. Mateo beschließt, das Intervall mit derselben Stichprobe neu zu berechnen, erhöht aber das Konfidenzniveau auf $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$), und behauptet: „Wenn wir auf $99\%$ Konfidenz erhöhen, gewinnt unsere Studie an Zuverlässigkeit und Genauigkeit, also wird die Länge des Intervalls kleiner sein als die von Clara.“ a) Benennen Sie Mateos Fehler zum Zusammenhang zwischen Konfidenzniveau und Intervalllänge und widerlegen Sie ihn mit mathematischen Argumenten. b) Stellen Sie das umgekehrte Problem auf: Berechnen Sie aus der Länge von Claras Intervall ($23,52\text{ kWh}$) den Stichprobenumfang $n$, den beide verwendet haben. c) Wenn Mateo sein Konfidenzniveau von $99\%$ beibehalten, aber die Länge seines Intervalls bis auf die $23,52\text{ kWh}$ von Clara verringern will, berechnen Sie, wie viele Haushalte er zusätzlich zu den bereits befragten erfassen muss.