Aufgaben: Lineare Approximation

Bestimmen Sie die Tangente an $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 3$ und nähern Sie damit $f(3{,}1)$ an.

Nähern Sie $\sqrt{9{,}2}$ mithilfe der Tangente an $f(x) = \sqrt{x}$ bei $x_0 = 9$ an.

Bestimmen Sie die lineare Näherung von $f(x) = e^{x}$ bei $x_0 = 0$ und berechnen Sie damit einen Näherungswert von $e^{0{,}05}$.

Nähern Sie $\sqrt[3]{27{,}5}$ linear an und vergleichen Sie mit dem Taschenrechnerwert ($\approx 3{,}0184$). Geben Sie den absoluten Fehler an.

Ein quadratisches Solarpanel in Freiburg hat die Seitenlänge $s = 2{,}00$ m. Durch Wärme dehnt sie sich um $0{,}01$ m aus.

1. a) Nähern Sie die Flächenänderung mit $\Delta A \approx A'(s)\cdot \Delta s$ an.
2. b) Berechnen Sie die exakte Flächenänderung und den Fehler der Näherung.

Das Pendel einer Uhr hat die Periode $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ mit $g = 9{,}81$ m/s². Die Länge $L = 1{,}00$ m wird um $2\,\%$ größer.

1. a) Bestimmen Sie die lineare Näherung für $T$ bei $L_0 = 1$.
2. b) Bestimmen Sie die ungefähre prozentuale Änderung der Periode.

Gegeben ist $f(x) = \ln(1+x)$.

1. a) Bestimmen Sie die Tangente $t$ bei $x_0 = 0$.
2. b) Zeigen Sie mit $f''$, dass $f(x) \le t(x)$ für alle $x > -1$ gilt.
3. c) Nähern Sie $\ln(1{,}08)$ an und beurteilen Sie, ob der Näherungswert zu groß oder zu klein ist.

Ein Zylinder hat Radius $r$ und Höhe $h = 10$ cm. Der Radius $r = 4{,}0$ cm hat eine Messunsicherheit von $\pm 0{,}1$ cm.

1. a) Bestimmen Sie mithilfe der linearen Näherung die ungefähre Unsicherheit des Volumens.
2. b) Bestimmen Sie die relative Unsicherheit des Volumens in Prozent und vergleichen Sie sie mit der relativen Unsicherheit des Radius.
3. c) Erläutern Sie allgemein, warum bei $V \sim r^n$ die relative Unsicherheit ungefähr $n$-mal so groß ist.

Das Newton-Verfahren verwendet lineare Approximation. Gegeben ist $f(x) = x^2 - 5$ mit Startwert $x_0 = 2$.

1. a) Leiten Sie die Iterationsvorschrift $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ aus der Tangente her.
2. b) Berechnen Sie $x_1$ und $x_2$ als Brüche.
3. c) Begründen Sie, warum $x_n$ gegen $\sqrt{5}$ konvergiert und warum $x_1 > \sqrt{5}$ gilt.