Aufgaben: Biquadratische Gleichungen

Lösen Sie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ mittels Substitution $z = x^2$.

Lösen Sie $x^4 - 16 = 0$ in $\mathbb{R}$.

Lösen Sie $x^4 + 3x^2 = 0$ in $\mathbb{R}$.

Gegeben ist $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen.
2. b) Berechnen Sie die Extremstellen.
3. c) Weisen Sie die Achsensymmetrie nach.

Lösen Sie in $\mathbb{R}$:

1. a) $2x^4 - 7x^2 + 3 = 0$
2. b) $x^4 + x^2 + 1 = 0$
3. c) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen und deren Vielfachheit.
2. b) Bestimmen Sie die Tiefpunkte und den Hochpunkt.
3. c) Bestimmen Sie die Anzahl der Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden $y = 9$.

Gegeben ist $f_a(x) = x^4 - ax^2$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ (Fallunterscheidung).
2. b) Bestimmen Sie die Anzahl der Extremstellen in Abhängigkeit von $a$.
3. c) Bestimmen Sie $a$ so, dass die Tiefpunkte die $y$-Koordinate $-4$ haben.

Bestimmen Sie $c$ so, dass $x^4 - 4x^2 + c = 0$

1. a) genau vier,
2. b) genau drei,
3. c) genau zwei,
4. d) keine

reelle Lösungen besitzt. Begründen Sie jeweils.

Ein achsensymmetrisches Polynom vierten Grades hat Nullstellen bei $x = \pm 1$ und $x = \pm 3$ und schneidet die $y$-Achse bei $y = 9$.

1. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
2. b) Berechnen Sie die Fläche, die der Graph zwischen $x = -1$ und $x = 1$ mit der $x$-Achse einschließt.
3. c) Bestimmen Sie die Extremstellen exakt.