Aufgaben: Spiegelungen an Ebenen

Spiegeln Sie den Punkt $P(3|2|5)$ an der $xy$-Ebene.

Spiegeln Sie den Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E: x = 4$.

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(2|1|3)$ von der Ebene $E: x + 2y - 2z = 3$ mit der Hesse'schen Normalenform.

Gegeben sind die Ebene $E: 2x - y + 2z = 6$ und der Punkt $P(3|1|4)$.

1. a) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt $F$ von $P$ auf $E$.
2. b) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt $P'$.

Ein Lichtstrahl geht von $A(1|2|6)$ aus und trifft die Ebene $E: z = 0$ (Spiegel) im Punkt $R$, bevor er $B(5|4|2)$ erreicht.

1. a) Bestimmen Sie $A'$ als Spiegelpunkt von $A$ an $E$.
2. b) Bestimmen Sie $R$ als Schnittpunkt der Geraden $A'B$ mit $E$.

Spiegeln Sie die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ an der Ebene $E: y = 2$ und geben Sie die Gleichung der Bildgeraden an.

Gegeben sind $E: x + y + z = 3$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$.

1. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ von $g$ und $E$.
2. b) Spiegeln Sie $g$ an $E$ und bestimmen Sie eine Gleichung von $g'$.
3. c) Zeigen Sie, dass $g$ und $g'$ sich in $S$ schneiden und der Winkel zwischen $g$ und $E$ gleich dem zwischen $g'$ und $E$ ist.

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$ und $B(5|0|1)$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Spiegelung von $A$ an einer Ebene $E$ genau dann $B$ ergibt, wenn $E$ die Mittelebene (Symmetrieebene) von $A$ und $B$ ist, und bestimmen Sie $E$ in Koordinatenform.
2. b) Bestimmen Sie den Abstand von $A$ zu $E$.
3. c) Ein Punkt $Q$ liegt auf $E$. Zeigen Sie, dass $|AQ| = |BQ|$ gilt.

Die Spiegelung an der Ebene $E$ durch den Ursprung mit Einheitsnormalenvektor $\vec{n}$ ist gegeben durch $\vec{x}' = \vec{x} - 2(\vec{x}\cdot\vec{n})\,\vec{n}$.

1. a) Leiten Sie diese Formel her.
2. b) Bestimmen Sie für $\vec{n} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ das Bild von $P(3|0|3)$.
3. c) Zeigen Sie, dass die Spiegelung längentreu ist und dass zweimaliges Spiegeln die Identität ergibt.