Aufgaben: Parameter in Funktionsscharen

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^2 - 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
2. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k(x) = kx^2 + 3$ mit $k \neq 0$.

1. a) Bestimmen Sie $f_k'(x)$.
2. b) Bestimmen Sie $k$ so, dass der Graph von $f_k$ im Punkt mit $x = 2$ die Steigung $6$ hat.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_t(x) = x + t$ mit $t \in \mathbb{R}$.

1. a) Beschreiben Sie, wie sich der Graph von $f_t$ bei Veränderung von $t$ verändert.
2. b) Bestimmen Sie $t$ so, dass der Graph durch den Punkt $P(3|7)$ verläuft.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a > 0$.

1. a) Berechnen Sie die Extremstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimmen Sie deren Art.
2. b) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Hochpunkt die $y$-Koordinate $16$ hat.
3. c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = (x - a)\cdot e^{x}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstelle und die Ableitungen $f_a'(x)$ und $f_a''(x)$.
2. b) Zeigen Sie, dass $f_a$ genau eine Extremstelle besitzt, und geben Sie deren Lage in Abhängigkeit von $a$ an.
3. c) Bestimmen Sie $a$ so, dass die Tangente im Punkt $(0|f_a(0))$ die Steigung $3$ hat.

Ein Schwimmbad in Hannover wird durch die Funktionenschar $h_a(x) = \frac{1}{a}x^2 - 2x$ für $0 \le x \le 2a$ im Querschnitt beschrieben (in m, $a > 0$, Ursprung am Beckenrand, $h_a$ = Höhe relativ zum Rand).

1. a) Bestimmen Sie die Breite des Beckens in Abhängigkeit von $a$.
2. b) Bestimmen Sie die tiefste Stelle und die maximale Tiefe in Abhängigkeit von $a$.
3. c) Das Becken soll $8$ m breit sein. Bestimmen Sie $a$ und die maximale Tiefe.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = \frac{x^2}{x + a}$ mit $a > 0$.

1. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge, die Nullstellen und die Gleichung der senkrechten Asymptote.
2. b) Weisen Sie nach, dass $f_a$ die Extremstellen $x = 0$ und $x = -2a$ besitzt, und bestimmen Sie deren Art.
3. c) Die Extrempunkte bei $x=-2a$ liegen für alle $a > 0$ auf einer gemeinsamen Kurve. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ortskurve.
4. d) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar durch den Punkt $(0|0)$ verlaufen und dort dieselbe Steigung besitzen.

Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x^3 - ax^2$ mit $a \neq 0$.

1. a) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt von $f_a$ bei $x = \frac{a}{3}$ liegt, und bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte.
2. b) Die Wendetangente von $f_a$ schneidet die $y$-Achse in $S_a$. Bestimmen Sie $S_a$ in Abhängigkeit von $a$.
3. c) Bestimmen Sie alle $a$, für die die Wendetangente durch den Punkt $P(0|2)$ verläuft.

Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x \cdot e^{-ax}$ mit $a > 0$.

1. a) Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ genau einen Hochpunkt $H_a$ besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.
2. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve aller Hochpunkte.
3. c) Für welches $a$ ist $f_a$ im Hochpunkt genau $1$ hoch?
4. d) Bestimmen Sie $\lim_{x \to \infty} f_a(x)$ und begründen Sie das Ergebnis.