Aufgaben: Stochastik mit Hilfsmitteln

Ein Unternehmen in Siegen stellt Schrauben her. Erfahrungsgemäß sind 5 % der Schrauben fehlerhaft. Aus der Produktion werden 60 Schrauben zufällig entnommen. Die Anzahl $X$ der fehlerhaften Schrauben wird als binomialverteilt angenommen.

1. a) Begründen Sie, dass die Annahme einer Binomialverteilung für $X$ sinnvoll ist.

1. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Schrauben fehlerhaft sind.

1. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier Schrauben fehlerhaft sind.

1. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Schraube fehlerhaft ist.

1. e) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.

Die Länge $X$ (in mm) von Metallstiften aus einer Produktion in Hagen ist annähernd normalverteilt mit $\mu=40$ und $\sigma=0{,}2$.

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stift eine Länge zwischen 39,7 mm und 40,3 mm hat.

1. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stift länger als 40,4 mm ist.

1. c) Bestimmen Sie die Zahl $k$, für die $P(40-k\le X\le 40+k)=0{,}99$ gilt.

1. d) Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Dichtefunktion verändert, wenn bei gleichem $\mu$ die Standardabweichung halbiert wird.

An einer Schule in Paderborn sind 55 % der Schülerinnen und Schüler der Qualifikationsphase weiblich. Von den weiblichen Personen haben 30 % den Leistungskurs Mathematik gewählt, von den männlichen 40 %.

1. a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person der Qualifikationsphase den Leistungskurs Mathematik gewählt hat.

1. c) Eine zufällig ausgewählte Person hat den Leistungskurs Mathematik gewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist.

1. d) Prüfen Sie, ob die Ereignisse „weiblich" und „Leistungskurs Mathematik" stochastisch unabhängig sind.

Der Spieler Lukas trifft bei Elfmetern mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Er schießt 25 Elfmeter unabhängig voneinander. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl seiner Treffer an.

1. a) Bestimmen Sie mithilfe der $\sigma$-Regeln das Prognoseintervall für $X$ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % (verwenden Sie $1{,}96\,\sigma$). Geben Sie die zugehörigen ganzzahligen Trefferanzahlen an.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl in dem in a) bestimmten ganzzahligen Intervall liegt.

1. c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl $n$ von Elfmetern, für die Lukas mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens einmal verschießt.

1. d) Beurteilen Sie, inwiefern die Annahme einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit der Schüsse im Sachzusammenhang kritisch zu sehen ist.

Bei einer Umfrage unter 400 zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern in Münster geben 148 an, regelmäßig den Bus zu nutzen.

1. a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Anteil $p$ der regelmäßigen Busnutzer zum Konfidenzniveau 95 %.

1. b) Schätzen Sie ab, wie groß der Stichprobenumfang mindestens sein muss, damit das Konfidenzintervall zum Niveau 95 % bei gleicher relativer Häufigkeit höchstens die Länge $0{,}05$ hat.

1. c) Erläutern Sie, wie sich die Länge des Konfidenzintervalls ändert, wenn das Konfidenzniveau von 95 % auf 99 % erhöht wird.

1. d) Deuten Sie das Ergebnis aus a) im Sachzusammenhang.

Bei einer Tombola in Haan werden 500 Lose verkauft. Es gibt einen Hauptgewinn im Wert von 50 €, 10 Gewinne im Wert von je 10 € und 40 Gewinne im Wert von je 2 €. Alle übrigen Lose sind Nieten. Ein Los kostet 0,50 €.

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$, die den Wert des Gewinns eines zufällig gezogenen Loses beschreibt.

1. b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$ und beurteilen Sie, ob das Spiel für die Käufer fair ist.

1. c) Berechnen Sie den Gewinn der Veranstalter, wenn alle 500 Lose verkauft werden und alle Gewinne ausgezahlt werden.

1. d) Eine Person kauft drei Lose. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens ein Gewinnlos (also keine Niete) erhält.

An einer Schule in Köln werden Schnelltests eingesetzt. Erfahrungsgemäß sind 5 % der getesteten Personen infiziert. Ist eine Person infiziert, so ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 96 % positiv. Ist eine Person nicht infiziert, so ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % negativ.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer zufällig ausgewählten Person positiv ausfällt.

1. b) Eine Person wird positiv getestet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich infiziert ist, und deuten Sie das Ergebnis.

1. c) Es werden 50 Personen unabhängig voneinander getestet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens fünf Tests positiv ausfallen.

1. d) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl getesteter Personen, für die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens ein Test positiv ausfällt.

Eine Abfüllanlage in einer Fabrik in Lippstadt füllt Zuckerpackungen mit der Sollmenge 1.000 g. Die tatsächliche Füllmenge $X$ (in g) ist annähernd normalverteilt mit $\mu=1.005$ und $\sigma=4$.

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 1.000 g enthält.

1. b) Der Mittelwert $\mu$ kann eingestellt werden, $\sigma=4$ bleibt gleich. Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $\mu$, für den höchstens 2 % der Packungen weniger als 1.000 g enthalten.

1. c) Ein Kunde kauft zehn Packungen aus der Produktion mit $\mu=1.005$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Packung weniger als 1.000 g enthält. Nutzen Sie dazu das Ergebnis aus a).

1. d) Beurteilen Sie, ob die Annahme einer Normalverteilung für die Füllmenge im Sachzusammenhang plausibel ist, und begründen Sie, warum eine Normalverteilung die Füllmenge nur näherungsweise beschreiben kann.

Vor einem Derby in Gelsenkirchen werden 250 zufällig ausgewählte Personen befragt. 140 davon sagen, sie unterstützten den Heimverein.

1. a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Anteil $p$ der Anhänger des Heimvereins zum Konfidenzniveau 95 %.

1. b) Ein Journalist behauptet, genau die Hälfte der Bevölkerung unterstütze den Heimverein. Bestimmen Sie unter dieser Annahme ($p=0{,}5$) das Prognoseintervall für die absolute Häufigkeit bei 250 Befragten zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % und beurteilen Sie, ob das Befragungsergebnis Anlass gibt, die Behauptung anzuzweifeln.

1. c) Erläutern Sie, warum die Ergebnisse aus a) und b) zueinander passen.

1. d) Schätzen Sie ab, wie viele Personen mindestens befragt werden müssten, damit das Konfidenzintervall zum Niveau 95 % bei gleicher relativer Häufigkeit höchstens die Länge $0{,}05$ hat.