Aufgaben: Analytische Geometrie mit Hilfsmitteln

Eine Drohne fliegt über einem Gelände in einem Koordinatensystem (Einheit 1 m, $x$-$y$-Ebene ist der Boden). Ihre Flugbahn wird für $t\ge 0$ (in Sekunden) durch $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}100\\50\\20\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}$ beschrieben. Die Spitze eines Funkmasts liegt im Punkt $S(60\,|\,80\,|\,35)$.

1. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in m/s.

1. b) Bestimmen Sie die Position der Drohne nach 10 Sekunden.

1. c) Bestimmen Sie den Abstand der Mastspitze $S$ von der Flugbahn $g$.

Dieser Platzhalter wird nicht verwendet.

Ein Zeltdach hat die Grundfläche $ABCD$ mit $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(6\,|\,0\,|\,0)$, $C(6\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ (Einheit 1 m). Die Dachspitze $S(3\,|\,2\,|\,4)$ liegt senkrecht über der Mitte der Grundfläche. Die Dachfläche über der Kante $BC$ liegt in der Ebene $E$ durch $B$, $C$ und $S$.

1. a) Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

1. b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber dem Boden ($x$-$y$-Ebene).

1. c) Berechnen Sie den Abstand des Mittelpunkts $M(3\,|\,2\,|\,0)$ der Grundfläche von $E$.

Gegeben sind die Geraden

$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ und

$h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel und nicht identisch sind.

1. b) Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden.

1. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, die $g$ und $h$ enthält, in Koordinatenform.

Zwei Flugzeuge fliegen (vereinfacht) auf geraden Bahnen (Einheit 1 km):

$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und

$h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen nicht schneiden und nicht parallel sind.

1. b) Bestimmen Sie den kleinsten Abstand der beiden Flugbahnen.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf $g$ und $h$, zwischen denen dieser kleinste Abstand besteht.

Sonnenlicht fällt in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ ein (Einheit 1 m, $x$-$y$-Ebene ist der ebene Boden). Ein senkrechter Mast steht im Punkt $M(2\,|\,3\,|\,0)$ und hat die Spitze $S(2\,|\,3\,|\,8)$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunkts der Mastspitze auf dem Boden und die Länge des Schattens des Masts.

1. b) Berechnen Sie den Winkel, unter dem das Sonnenlicht auf den Boden trifft.

1. c) Eine ebene, senkrechte Wand liegt in der Ebene $x=4$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem der Lichtstrahl durch $S$ auf die Wand trifft, und begründen Sie, dass der Strahl die Wand erreicht, bevor er den Boden trifft.

Zwei parallele Glasscheiben liegen in den Ebenen $E_1:\ 2x+2y+z=3$ und $E_2:\ 2x+2y+z=12$ (Einheit 1 m). Ein Laserstrahl verläuft entlang der Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

1. a) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Glasscheiben.

1. b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ des Laserstrahls mit $E_1$ und $E_2$.

1. c) Berechnen Sie die Länge des Laserstrahls zwischen den beiden Scheiben.

1. d) Berechnen Sie den Winkel, unter dem der Strahl auf die Scheiben trifft.

Für $a\in\mathbb{R}$ ist die Ebenenschar $E_a:\ x+a\cdot y+2z=4$ gegeben.

1. a) Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von $E_a$ in Abhängigkeit von $a$.

1. b) Bestimmen Sie die Werte von $a$, für die der Abstand $1{,}6$ beträgt.

1. c) Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Gerade enthalten, und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an.

1. d) Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebenen $E_0$ und $E_1$.

1. e) Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den der Abstand des Ursprungs von $E_a$ am größten ist, und begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Pavillon in Bochum hat ein pyramidenförmiges Dach über dem quadratischen Grundriss $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(4\,|\,0\,|\,0)$, $C(4\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ (Einheit 1 m). Die Dachspitze ist $S_t(2\,|\,2\,|\,t)$ mit $t>0$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Dachfläche über der Kante $BC$ in der Ebene $E_t:\ t\cdot x+2z=4t$ liegt.

1. b) Der Neigungswinkel dieser Dachfläche gegenüber dem Boden soll $60^\circ$ betragen. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $t$.

1. c) Der Abstand des Punktes $A$ von der Ebene $E_t$ soll $3$ m betragen. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $t$.

1. d) Das Volumen des Daches soll $20\,\text{m}^3$ betragen. Bestimmen Sie $t$ und berechnen Sie für diesen Wert den Neigungswinkel der Dachfläche über $BC$.

Ein Laserstrahl verläuft entlang der Geraden $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$ und trifft auf einen ebenen Spiegel in der Ebene $E:\ 2x+y+2z=12$. Der Boden ist die Ebene $z=0$ (Einheit 1 m).

1. a) Bestimmen Sie den Auftreffpunkt $S$ des Strahls auf den Spiegel.

1. b) Berechnen Sie den Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Spiegel.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der durch Spiegelung des Punktes $P(2\,|\,1\,|\,10)$ an $E$ entsteht.

1. d) Der reflektierte Strahl verläuft auf der Geraden durch $S$ und $P'$ vom Spiegel weg. Geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an und bestimmen Sie den Punkt, an dem der reflektierte Strahl den Boden trifft.