Aufgaben: Analysis mit Hilfsmitteln

Ein Kaffee in einer Thermotasse kühlt in einem Büro in Dortmund ab. Seine Temperatur (in °C) wird für $t\ge 0$ (in Minuten nach dem Einschenken) durch $T(t)=20+65\cdot e^{-0{,}05\cdot t}$ beschrieben.

1. a) Geben Sie die Temperatur des Kaffees beim Einschenken sowie die Raumtemperatur an, der sich die Temperatur langfristig annähert.

1. b) Berechnen Sie die Temperatur des Kaffees nach 10 Minuten.

1. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Kaffee eine Temperatur von 40 °C hat.

1. d) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Temperatur nach 10 Minuten und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.

Die Tageslänge in München (in Stunden) wird modellhaft durch $L(t)=3{,}9\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80)\right)+12{,}1$ beschrieben. Dabei ist $t$ die Nummer des Tages im Jahr ($t=1$ ist der 1. Januar).

1. a) Geben Sie die Periode der Funktion $L$ an und bestimmen Sie die größte und die kleinste Tageslänge nach diesem Modell.

1. b) Bestimmen Sie den Tag, an dem die Tageslänge nach dem Modell am größten ist.

1. c) Bestimmen Sie die Anzahl der Tage zwischen $t=1$ und $t=365$, an denen die Tageslänge nach dem Modell mehr als 14 Stunden beträgt.

Die Anzahl der Bakterien in einer Kultur wird für $t\ge 0$ (in Stunden) durch $N(t)=500\cdot e^{0{,}3\cdot t}$ modelliert.

1. a) Berechnen Sie die Verdopplungszeit der Bakterienkultur.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Kultur 10.000 Bakterien enthält.

1. c) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t=4$ und deuten Sie den Wert.

1. d) Beurteilen Sie die Eignung des Modells für sehr große Werte von $t$.

Für $k>0$ ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=x\cdot e^{-k\cdot x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben.

1. a) Zeigen Sie, dass $f_k'(x)=(1-k\cdot x)\cdot e^{-k\cdot x}$ gilt, und weisen Sie nach, dass der Graph von $f_k$ genau einen Hochpunkt besitzt. Geben Sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von $k$ an.

1. b) Zeigen Sie, dass $f_k$ die Wendestelle $x=\frac{2}{k}$ besitzt.

1. c) Die Hochpunkte aller Graphen der Schar liegen auf einer Kurve. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Kurve.

1. d) Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den der Hochpunkt die $y$-Koordinate $0{,}2$ hat.

Der Ladezustand $L$ (in %) eines Akkus wird beim Laden für $t\ge 0$ (in Minuten) durch $L(t)=100-90\cdot e^{-0{,}04\cdot t}$ modelliert.

1. a) Geben Sie den Ladezustand zu Beginn des Ladevorgangs an und bestimmen Sie den Wert, dem sich der Ladezustand langfristig annähert.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem ein Ladezustand von 80 % erreicht ist.

1. c) Zeigen Sie, dass für die Änderungsrate $L'(t)=0{,}04\cdot(100-L(t))$ gilt, und deuten Sie diese Beziehung im Sachzusammenhang.

1. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Ladezustand am schnellsten zunimmt, und berechnen Sie die zugehörige Änderungsrate.

1. e) Beurteilen Sie, inwiefern das Modell für den Ladevorgang realistisch ist.

Der Wasserstand in Cuxhaven (in m bezogen auf Normalhöhennull) wird für $t\ge 0$ (in Stunden nach einem Hochwasser) modellhaft durch $h(t)=1{,}5\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{12{,}4}\cdot t\right)+0{,}2$ beschrieben.

1. a) Bestimmen Sie den höchsten und den niedrigsten Wasserstand nach dem Modell.

1. b) Bestimmen Sie die ersten beiden Zeitpunkte nach $t=0$, zu denen das Niedrigwasser erreicht wird.

1. c) Ein Fährschiff kann den Hafen nur bei einem Wasserstand von mindestens 1,0 m anlaufen. Bestimmen Sie die Dauer in Stunden, für die das innerhalb einer Periode der Fall ist.

1. d) Berechnen Sie die betragsmäßig größte Änderungsrate des Wasserstands und geben Sie an, zu welchen Zeitpunkten innerhalb der ersten Periode sie angenommen wird.

Die Temperatur in einem Kühlraum (in °C) wird nach dem Einstellen einer neuen Solltemperatur für $t\ge 0$ (in Minuten) durch $T(t)=a\cdot e^{-b\cdot t}+c$ mit $a,b>0$ und $c\in\mathbb{R}$ beschrieben. Zu Beginn herrschen 25 °C, nach 10 Minuten 10 °C, und langfristig nähert sich die Temperatur 5 °C an.

1. a) Bestimmen Sie die Werte von $a$, $b$ und $c$.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Temperatur mit einer Rate von 1 °C pro Minute abnimmt.

1. c) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Umkehrfunktion von $T$ und geben Sie deren Definitions- und Wertebereich an. Erläutern Sie die Bedeutung der Umkehrfunktion im Sachzusammenhang.

1. d) Nach 20 Minuten wird eine Temperatur von 6,6 °C gemessen. Beurteilen Sie, ob das Modell diesen Messwert gut beschreibt.

Für $a>0$ ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=\ln x-a\cdot x$, $x>0$, gegeben.

1. a) Untersuchen Sie $f_a$ auf lokale Extremstellen und bestimmen Sie den Hochpunkt $H_a$ in Abhängigkeit von $a$.

1. b) Bestimmen Sie, für welche Werte von $a$ der Graph von $f_a$ keine, genau eine bzw. genau zwei Nullstellen besitzt. Begründen Sie Ihre Aussage.

1. c) Zeigen Sie, dass die Hochpunkte $H_a$ aller Graphen der Schar auf dem Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=\ln x-1$ liegen.

1. d) Bestimmen Sie für $a=0{,}25$ die Nullstellen von $f_a$ näherungsweise (z. B. mit dem GTR).

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in mg/l) wird für $t\ge 0$ (in Stunden nach der Einnahme) durch $c(t)=12\cdot t\cdot e^{-0{,}4\cdot t}$ modelliert.

1. a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der höchsten Konzentration und den zugehörigen Wert.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Konzentration mindestens 5 mg/l beträgt.

1. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt, und berechnen Sie die zugehörige Änderungsrate.

1. d) Begründen Sie, dass $c(t)$ für $t\to\infty$ gegen $0$ strebt.

1. e) Sechs Stunden nach der ersten Einnahme wird dieselbe Dosis erneut eingenommen. Für $t\ge 6$ wird die Gesamtkonzentration durch $c_2(t)=c(t)+c(t-6)$ modelliert. Berechnen Sie $c_2(8)$ und beurteilen Sie dieses Modell.