Aufgaben: Analytische Geometrie ohne Hilfsmittel

Gegeben sind der Punkt $P(1\,|\,2\,|\,3)$ und die Ebene $E:\ 2x-y+2z=3$.

1. a) Zeigen Sie, dass $P$ nicht in $E$ liegt.

1. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$.

Gegeben sind die Punkte $A(1\,|\,0\,|\,2)$, $B(4\,|\,4\,|\,2)$ und $C(7\,|\,8\,|\,2)$.

1. a) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $A$ und $B$.

1. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $AB$.

1. c) Zeigen Sie, dass $C$ auf der Geraden durch $A$ und $B$ liegt.

Gegeben sind die Ebenen $E_1:\ 2x+y-2z=4$ und $E_2:\ 2x+y-2z=13$.

1. a) Zeigen Sie, dass $E_1$ und $E_2$ parallel zueinander sind.

1. b) Bestimmen Sie den Abstand von $E_1$ und $E_2$.

Gegeben sind die Gerade $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ und der Punkt $P(4\,|\,1\,|\,2)$.

1. a) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt $F$ des Lotes von $P$ auf $g$.

1. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von $g$.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der durch Spiegelung von $P$ an $g$ entsteht.

Gegeben sind die Geraden

$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und

$h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ windschief zueinander sind.

1. b) Bestimmen Sie einen Vektor, der zu den Richtungsvektoren beider Geraden senkrecht ist.

1. c) Bestimmen Sie den Abstand von $g$ und $h$.

Gegeben sind die Ebene $E:\ x-2y+2z=3$ und die Gerade $g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $g$ parallel zu $E$ verläuft und nicht in $E$ liegt.

1. b) Berechnen Sie den Abstand von $g$ und $E$.

1. c) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt des Lotes vom Punkt $A(1\,|\,1\,|\,1)$ auf $E$.

Wird der Punkt $P(2\,|\,-1\,|\,3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(6\,|\,3\,|\,1)$.

1. a) Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

1. b) Auf der Geraden durch $P$ und $Q$ liegt der Punkt $R$ auf der gleichen Seite von $E$ wie $P$ und hat von $E$ den Abstand $1$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$.

1. c) Bestimmen Sie alle Punkte der $x$-Achse, die von $E$ den Abstand $3$ haben.

Für $a\in\mathbb{R}$ ist die Geradenschar $g_a:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}$ gegeben. Außerdem ist die Ebene $E:\ x-2z=4$ gegeben.

1. a) Zeigen Sie, dass der Abstand des Koordinatenursprungs von $g_a$ für jeden Wert von $a$ gleich $2$ ist.

1. b) Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den $g_a$ parallel zu $E$ verläuft, und berechnen Sie für diesen Wert den Abstand von $g_a$ und $E$.

1. c) Bestimmen Sie für $a=0$ die Koordinaten des Schnittpunkts von $g_0$ und $E$.

Eine Pyramide hat die Grundfläche $ABCD$ mit $A(0\,|\,0\,|\,0)$, $B(4\,|\,0\,|\,0)$, $C(4\,|\,4\,|\,0)$, $D(0\,|\,4\,|\,0)$ und die Spitze $S(2\,|\,2\,|\,4)$.

1. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$ durch $B$, $C$ und $S$ in Koordinatenform.

1. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $A$ von $E$.

1. c) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden $AD$ und $BS$. Begründen Sie, dass dieser Abstand mit dem Ergebnis aus b) übereinstimmt.