Aufgaben: Analysis ohne Hilfsmittel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot e^{2x}$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie $f'(x)$.

1. b) Bestimmen Sie die Nullstelle von $f'$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=3\cdot\sin(2x)+1$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Geben Sie die Amplitude und die Periode von $f$ an.

1. b) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.

1. c) Berechnen Sie $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln(2x-6)$ im maximalen Definitionsbereich.

1. a) Geben Sie den Definitionsbereich von $f$ an.

1. b) Bestimmen Sie die Nullstelle von $f$.

1. c) Bestimmen Sie $f'(x)$ und vereinfachen Sie den Term.

Für $a>0$ ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(x-a)\cdot e^{x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben.

1. a) Bestimmen Sie $f_a'(x)$ und $f_a''(x)$.

1. b) Zeigen Sie, dass $f_a$ genau eine lokale Extremstelle besitzt, und entscheiden Sie, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

1. c) Der Graph von $f_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\,|\,-3)$. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot e^{x-1}+3$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.

1. b) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und geben Sie deren Definitionsbereich an.

1. c) Berechnen Sie $f^{-1}(5)$.

Die Temperatur einer Tasse Tee (in °C) wird nach $t$ Minuten durch $T(t)=20+60\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$ beschrieben ($t\ge 0$).

1. a) Berechnen Sie die Anfangstemperatur.

1. b) Bestimmen Sie $T'(0)$ und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.

1. c) Bestimmen Sie mithilfe der linearen Approximation an der Stelle $t=0$ einen Näherungswert für die Temperatur nach einer Minute.

1. d) Zeigen Sie, dass $T'(t)=-0{,}1\cdot\big(T(t)-20\big)$ gilt.

Die Funktionen $f$ und $g$ sind differenzierbar. Für ausgewählte Stellen sind folgende Werte bekannt:

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
1	1	2	2	3
2	5	−4	7	1

Die Funktionen $h$ und $k$ sind definiert durch $h(x)=f(g(x))$ und $k(x)=f(x)\cdot g(x)$.

1. a) Berechnen Sie $h'(1)$.

1. b) Berechnen Sie $k'(1)$.

1. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ an der Stelle $x=1$.

Für $k>0$ ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=x^2\cdot e^{-k\cdot x}$, $x\in\mathbb{R}$, gegeben.

1. a) Zeigen Sie, dass $f_k'(x)=x\cdot(2-k\cdot x)\cdot e^{-k\cdot x}$ gilt.

1. b) Bestimmen Sie die Extremstellen von $f_k$ und entscheiden Sie mithilfe des Vorzeichens von $f_k'$, um welche Art von Extremstellen es sich handelt.

1. c) Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den der Hochpunkt von $f_k$ die $x$-Koordinate $4$ hat.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln x$, $x>0$.

1. a) Begründen Sie mithilfe der Gleichung $e^{\ln x}=x$ und der Kettenregel, dass $f'(x)=\frac{1}{x}$ gilt.

1. b) Bestimmen Sie für $u>0$ eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(u\,|\,\ln u)$.

1. c) Zeigen Sie, dass es genau eine Tangente an den Graphen von $f$ gibt, die durch den Koordinatenursprung verläuft, und bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts.