Winkel messen, zeichnen und Kreise
Um 4 Uhr stehen die Zeiger einer Uhr „weit auseinander“, um 1 Uhr „eng beieinander“. Wie groß ist der Unterschied genau? Und wie zeichnest du in der Pause mit einem Zirkel einen Kreis für das Spielfeld? Beides klären wir hier. Am Ende kommst du zur Uhr zurück.
Winkelarten
Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen im selben Anfangspunkt beginnen. Der Anfangspunkt heißt Scheitel, die Strahlen heißen Schenkel. Gemessen wird der Winkel in Grad ($^\circ$). Eine volle Drehung um den Scheitel sind $360^\circ$.
Nach der Größe haben Winkel feste Namen:
| Winkelart | Größe |
|---|---|
| spitzer Winkel | zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ |
| rechter Winkel | genau $90^\circ$ |
| stumpfer Winkel | zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ |
| gestreckter Winkel | genau $180^\circ$ |
| überstumpfer Winkel | zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$ |
| Vollwinkel | genau $360^\circ$ |
Schätzen hilft als Kontrolle: Vergleiche immer mit dem rechten Winkel (Heftecke). Ist der Winkel kleiner? Dann ist er spitz.
Ordne die folgenden Winkel den Arten spitzer, rechter, stumpfer, gestreckter oder überstumpfer Winkel zu: a) $35^\circ$ b) $90^\circ$ c) $120^\circ$ d) $180^\circ$ e)…
Ordne die folgenden Winkel den Arten spitzer, rechter, stumpfer, gestreckter oder überstumpfer Winkel zu:
- a) $35^\circ$
- b) $90^\circ$
- c) $120^\circ$
- d) $180^\circ$
- e) $270^\circ$
Winkel messen und zeichnen
Zum Messen und Zeichnen benutzt du das Geodreieck. Es hat zwei Skalen, eine von links nach rechts und eine von rechts nach links. Du liest immer die Skala ab, bei der der Schenkel auf der $0$ beginnt.
Zum Messen gehst du umgekehrt vor: Geodreieck an den Scheitel legen, einen Schenkel auf die $0$ legen und am anderen Schenkel ablesen. Kontrolliere mit deiner Schätzung, ob du die richtige Skala erwischt hast.
Zeichne mit dem Geodreieck die folgenden Winkel und beschreibe dein Vorgehen kurz. a) $40^\circ$ b) $125^\circ$
Zeichne mit dem Geodreieck die folgenden Winkel und beschreibe dein Vorgehen kurz.
- a) $40^\circ$
- b) $125^\circ$
Kreis und Zirkel
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben. Dieser Abstand heißt Radius $r$. Eine Strecke durch $M$ zwischen zwei Punkten des Kreises heißt Durchmesser $d$.
Es gilt $d = 2 \cdot r$. Bei $r = 3\,\text{cm}$ ist also $d = 6\,\text{cm}$.
Mit dem Zirkel zeichnest du einen Kreis: Stelle den Abstand zwischen Spitze und Mine auf den Radius ein (am Lineal), steche die Spitze in den Mittelpunkt und drehe.
Zeichnest du zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$, schneiden sie sich oft in zwei Punkten. Beide Schnittpunkte haben von $M_1$ den Abstand $r_1$ und von $M_2$ den Abstand $r_2$. Bei gleichen Radien liegen sie gleich weit von $M_1$ und $M_2$ entfernt, und ihre Verbindungsstrecke steht senkrecht auf $\overline{M_1M_2}$ und halbiert sie.
Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis mit dem Radius $3\,\text{cm}$. Zeichne einen Durchmesser ein. a) Wie lang ist der Durchmesser? b) Zeichne einen zweiten Kreis mit…
Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis mit dem Radius $3\,\text{cm}$. Zeichne einen Durchmesser ein.
- a) Wie lang ist der Durchmesser?
- b) Zeichne einen zweiten Kreis mit demselben Mittelpunkt und dem Durchmesser $10\,\text{cm}$.
Zeichne zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$ und dem Abstand $M_1M_2 = 5\,\text{cm}$. Beide haben den Radius $3\,\text{cm}$. a) Markiere die beiden…
Zeichne zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$ und dem Abstand $M_1M_2 = 5\,\text{cm}$. Beide haben den Radius $3\,\text{cm}$.
- a) Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreise.
- b) Zeichne die Verbindungsstrecke der beiden Schnittpunkte und beschreibe ihre Lage zur Strecke $M_1M_2$.
Winkel berechnen
Du kannst Winkel auch berechnen, ohne zu messen. Drei Regeln helfen dir.
Nebenwinkel: Zwei Geraden schneiden sich. Zwei Winkel, die nebeneinander liegen, ergeben zusammen einen gestreckten Winkel: $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Scheitelwinkel: Winkel, die sich gegenüberliegen, sind gleich groß: $\alpha = \gamma$.
Hier gilt $\alpha = \gamma$, $\beta = \delta$ und $\alpha + \beta = 180^\circ$. Das kannst du nachmessen!
Winkelsumme im Dreieck: In jedem Dreieck ergeben die drei Innenwinkel zusammen $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Winkel an der Grundseite gleich groß. Liegen die Punkte $A$ und $B$ auf einem Kreis um $M$, so ist $\overline{MA} = \overline{MB} = r$, das Dreieck $AMB$ also gleichschenklig.
Winkelhalbierende: Eine Gerade durch den Scheitel, die einen Winkel in zwei gleich große Teile teilt, heißt Winkelhalbierende. Mit dem Geodreieck misst du den Winkel und trägst die Hälfte ab. Mit dem Zirkel geht es so: Schlage um den Scheitel einen Kreisbogen, der beide Schenkel schneidet. Schlage um die beiden Schnittpunkte Bögen mit gleichem Radius. Der Schnittpunkt dieser Bögen liegt auf der Winkelhalbierenden.
Zeichne ein Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB} = 6\,\text{cm}$, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 70^\circ$. a) Beschreibe deine Konstruktion in Schritten. b) Miss den…
Zeichne ein Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB} = 6\,\text{cm}$, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 70^\circ$.
- a) Beschreibe deine Konstruktion in Schritten.
- b) Miss den Winkel $\gamma$ und überprüfe ihn durch Rechnung.
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt $S$. Einer der vier Winkel misst $65^\circ$. a) Bestimme die drei anderen Winkel und begründe. b) Eine dritte Gerade durch $S$…
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt $S$. Einer der vier Winkel misst $65^\circ$.
- a) Bestimme die drei anderen Winkel und begründe.
- b) Eine dritte Gerade durch $S$ halbiert den $65^\circ$-Winkel. Welche Winkel schließt sie mit den beiden ursprünglichen Geraden ein?
- c) Zeichne die Situation genau mit dem Geodreieck und überprüfe deine Rechnung durch Messen.
Ein Kreis um $M$ hat den Radius $4\,\text{cm}$. Die Punkte $A$ und $B$ liegen auf dem Kreis, und der Winkel $\angle AMB$ beträgt $60^\circ$. a) Begründe, dass das…
Ein Kreis um $M$ hat den Radius $4\,\text{cm}$. Die Punkte $A$ und $B$ liegen auf dem Kreis, und der Winkel $\angle AMB$ beträgt $60^\circ$.
- a) Begründe, dass das Dreieck $AMB$ gleichschenklig ist, und berechne die beiden anderen Winkel.
- b) Wie lang ist die Strecke $\overline{AB}$? Begründe deine Antwort und überprüfe sie durch Zeichnen.
- c) Wie viele solcher Punkte $B$ könnte man bei festem $A$ auf dem Kreis wählen? Begründe.
Uhr und Kreisdiagramm
Zwei Anwendungen, in denen ein Vollwinkel von $360^\circ$ aufgeteilt wird.
Die Uhr: Das Zifferblatt hat 12 Stunden. Zwischen zwei Stundenmarken liegen $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Der Minutenzeiger dreht sich in 60 Minuten um $360^\circ$, in 1 Minute also um $6^\circ$. Der Stundenzeiger dreht sich in 1 Stunde um $30^\circ$, in 30 Minuten um $15^\circ$.
Das Kreisdiagramm: Jede Kategorie bekommt einen Kreisausschnitt. Der Winkel am Mittelpunkt heißt Mittelpunktswinkel. Er ist der gleiche Anteil von $360^\circ$ wie der Anteil der Daten: Bei $50\,\%$ ist es der halbe Kreis, $180^\circ$. Bei $25\,\%$ ein Viertel, $90^\circ$. Allgemein: Mittelpunktswinkel $= 360^\circ \cdot \text{Anteil}$.
Eine Messung kann vom richtigen Wert abweichen. Die Abweichung gibst du als Gradunterschied an. Beispiel: Gemessen $120^\circ$, richtig $126^\circ$. Die Abweichung ist $126^\circ - 120^\circ = 6^\circ$.
Zurück zum Anfang: Um 4 Uhr steht der Minutenzeiger bei der 12 und der Stundenzeiger bei der 4. Dazwischen liegen $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Schätze zunächst und berechne dann. a) Eine Uhr zeigt $4$ Uhr. Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den Zeigern? b) Eine Uhr zeigt $2{:}30$ Uhr. Wie groß ist der…
Schätze zunächst und berechne dann.
- a) Eine Uhr zeigt $4$ Uhr. Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den Zeigern?
- b) Eine Uhr zeigt $2{:}30$ Uhr. Wie groß ist der Winkel zwischen den Zeigern?
- c) Wie viel Grad dreht sich der Minutenzeiger in $10$ Minuten?
Ein Kreisdiagramm soll die Daten $25\,\%$ Fahrrad, $35\,\%$ Bus, $30\,\%$ zu Fuß und $10\,\%$ Auto darstellen. a) Berechne die Mittelpunktswinkel. b) Beschreibe, wie du…
Ein Kreisdiagramm soll die Daten $25\,\%$ Fahrrad, $35\,\%$ Bus, $30\,\%$ zu Fuß und $10\,\%$ Auto darstellen.
- a) Berechne die Mittelpunktswinkel.
- b) Beschreibe, wie du das Diagramm mit Zirkel und Geodreieck zeichnest (Radius $4\,\text{cm}$).
- c) Julia misst für „Bus“ den Winkel $120^\circ$. Wie groß ist ihr prozentualer Fehler gegenüber dem richtigen Wert? Runde sinnvoll.