Boxplots
Zwei Smartphones, Alpha und Beta, werben beide mit „durchschnittlich 20 Stunden Akkulaufzeit“. Alpha hält fast immer zwischen 18 und 22 Stunden durch. Beta hält mal 10 und mal 30 Stunden. Der Durchschnitt ist gleich, aber verlässlich sind die beiden Geräte nicht gleich. Ein Boxplot zeigt auf einen Blick, wie sich Daten verteilen: wo die Mitte liegt und wie weit die Werte streuen. Meist untersuchst du nicht alle Personen (die Grundgesamtheit), sondern befragst nur einen Teil davon, die Stichprobe. Vorher legst du eine Frage fest, zum Beispiel: „Wie lange sind Kinder meiner Klasse täglich am Handy?“ Die erhobenen Werte stellst du dann im Boxplot dar.
Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung
Den Median kennst du schon: Er teilt die geordneten Daten in zwei gleich große Hälften. Teilst du jede Hälfte noch einmal in der Mitte, entstehen vier gleich große Viertel. Die Grenzen dazwischen heißen Quartile.
Die Noten einer Gruppe von $9$ Schülerinnen und Schülern in einer Mathematikarbeit sind: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$. Bestimme den Minimalwert, das untere Quartil…
Die Noten einer Gruppe von $9$ Schülerinnen und Schülern in einer Mathematikarbeit sind: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.
Bestimme den Minimalwert, das untere Quartil ($Q_1$), den Median ($Me$), das obere Quartil ($Q_3$) und den Maximalwert, um einen Boxplot zu zeichnen.
Die Preise (in Euro) von $11$ Büchern in einem Regal sind: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$. Berechne die fünf Werte, die man zum Zeichnen des Boxplots…
Die Preise (in Euro) von $11$ Büchern in einem Regal sind: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.
Berechne die fünf Werte, die man zum Zeichnen des Boxplots braucht.
Die folgende Häufigkeitstabelle zeigt die Anzahl der Geschwister der Schülerinnen und Schüler einer Klasse: $0$ Geschwister: $6$ Schüler $1$ Geschwister: $10$ Schüler…
Die folgende Häufigkeitstabelle zeigt die Anzahl der Geschwister der Schülerinnen und Schüler einer Klasse:
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$0$ Geschwister: $6$ Schüler
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$1$ Geschwister: $10$ Schüler
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$2$ Geschwister: $8$ Schüler
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$3$ Geschwister: $4$ Schüler
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$4$ Geschwister: $2$ Schüler
Bestimme das Minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ und das Maximum, um den zugehörigen Boxplot zeichnen zu können.
Den Boxplot zeichnen
Aus den fünf Zahlen entsteht der Boxplot über einer Zahlengeraden. Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$, ein Strich darin markiert den Median. Die beiden Whisker („Schnurrhaare“) reichen bis zum Minimum und bis zum Maximum.
Der folgende Boxplot zeigt das Alter der Besucherinnen und Besucher eines Museums an einem Vormittag. Gib anhand des Diagramms das Mindestalter, das untere Quartil, den…
Der folgende Boxplot zeigt das Alter der Besucherinnen und Besucher eines Museums an einem Vormittag.
Gib anhand des Diagramms das Mindestalter, das untere Quartil, den Median, das obere Quartil und das Höchstalter der Besucher an.
Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung der Gewichte (in kg) der in einer Tierarztpraxis behandelten Hunde lautet: Minimum = $5$, $Q_1 = 12$, Median = $18$, $Q_3 = 24$, Maximum…
Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung der Gewichte (in kg) der in einer Tierarztpraxis behandelten Hunde lautet: Minimum = $5$, $Q_1 = 12$, Median = $18$, $Q_3 = 24$, Maximum = $35$.
Berechne die Spannweite der Verteilung und den Interquartilsabstand (IQA).
In einem Boxplot, der die Zeit (in Minuten) darstellt, die Schülerinnen und Schüler zur Schule brauchen, ist das untere Quartil $15$ und das obere Quartil $30$. Wie viel…
In einem Boxplot, der die Zeit (in Minuten) darstellt, die Schülerinnen und Schüler zur Schule brauchen, ist das untere Quartil $15$ und das obere Quartil $30$.
Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler brauchen genau zwischen $15$ und $30$ Minuten zur Schule?
Boxplots lesen und deuten
Aus einem Boxplot kannst du vieles ablesen, ohne die einzelnen Daten zu kennen.
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Ein Viertel der Daten liegt zwischen Minimum und $Q_1$, ein Viertel zwischen $Q_1$ und dem Median, und so weiter.
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Zwischen $Q_1$ und $Q_3$ liegen $50\,\%$ der Daten.
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Die Hälfte der Daten liegt unter dem Median, die andere Hälfte darüber.
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Ist die Box schmal, liegen die mittleren Daten dicht beieinander. Ist sie breit, sind sie stark gestreut.
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Sind die beiden Hälften der Box oder die beiden Whisker unterschiedlich lang, ist die Verteilung nicht symmetrisch. Ein langer rechter Teil bedeutet, dass einige Werte viel größer sind als die übrigen.
Dafür gibt es Fachwörter. Sind beide Seiten etwa gleich lang, nennt man die Verteilung symmetrisch. Ist der rechte Teil viel länger, ist die Verteilung rechtsschief: Die meisten Werte sind klein, wenige sind sehr groß. Ist der linke Teil länger, ist sie linksschief. In einem Histogramm (Säulendiagramm der Häufigkeiten) hat eine rechtsschiefe Verteilung links hohe Säulen und rechts einen langen, flachen Auslauf.
Gib an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort kurz: „In jedem Boxplot stimmt das arithmetische Mittel immer genau mit der senkrechten…
Gib an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort kurz:
„In jedem Boxplot stimmt das arithmetische Mittel immer genau mit der senkrechten Linie im Inneren der Box überein, die die Box teilt."
In einem Boxplot ist der linke Whisker (vom Minimum bis zu $Q_1$) sehr kurz, während der rechte Whisker (von $Q_3$ bis zum Maximum) extrem lang ist. Was bedeutet das für…
In einem Boxplot ist der linke Whisker (vom Minimum bis zu $Q_1$) sehr kurz, während der rechte Whisker (von $Q_3$ bis zum Maximum) extrem lang ist.
Was bedeutet das für die Streuung der Daten an den Rändern der Verteilung?
In einem Ingenieurbüro verdienen die $25\%$ der Beschäftigten mit dem höchsten Gehalt mehr als $3500$ € im Monat. Außerdem beträgt das niedrigste Gehalt im Unternehmen…
In einem Ingenieurbüro verdienen die $25\%$ der Beschäftigten mit dem höchsten Gehalt mehr als $3500$ € im Monat. Außerdem beträgt das niedrigste Gehalt im Unternehmen $1200$ € und $50\%$ der Belegschaft verdienen weniger als $2100$ €.
Gib an, welchen Kenngrößen des Boxplots (Minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Maximum) die Werte $3500$ €, $1200$ € und $2100$ € entsprechen.
Datensätze vergleichen
Boxplots lassen sich übereinander auf derselben Zahlengeraden zeichnen. So vergleichst du Lage (Median) und Streuung (Quartilsabstand, Spannweite) auf einen Blick.
Zurück zum Anfang: Alpha hat eine schmale Box und kurze Whisker. Die Laufzeit ist gut vorhersagbar. Beta hat eine breite Box und lange Whisker, bei gleichem Durchschnitt streut sie viel stärker.
Die folgende Grafik zeigt die Boxplots der Akkulaufzeit (in Stunden) zweier Smartphone-Marken, Alpha und Beta. a) Welche Marke hat den höheren Median bei der…
Die folgende Grafik zeigt die Boxplots der Akkulaufzeit (in Stunden) zweier Smartphone-Marken, Alpha und Beta.
- a) Welche Marke hat den höheren Median bei der Akkulaufzeit?
- b) Welche der beiden Marken weist im mittleren $50\%$ ihrer Daten die größere Streuung auf (größerer Interquartilsabstand)?
Eine Basketballmannschaft hat in ihren letzten $15$ Spielen die folgenden Punkte erzielt: $65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$. Bestimme die…
Eine Basketballmannschaft hat in ihren letzten $15$ Spielen die folgenden Punkte erzielt:
$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.
Bestimme die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und berechne den Interquartilsabstand.
Die folgende Grafik zeigt die Laufzeiten (in Millisekunden) von drei verschiedenen Algorithmen bei der Verarbeitung derselben Datenmenge. Du musst einen Algorithmus für…
Die folgende Grafik zeigt die Laufzeiten (in Millisekunden) von drei verschiedenen Algorithmen bei der Verarbeitung derselben Datenmenge.
Du musst einen Algorithmus für ein kritisches Echtzeitsystem auswählen, bei dem die Laufzeit auf keinen Fall $60$ ms überschreiten darf. Gleichzeitig soll die allgemeine Leistung (Median) so schnell wie möglich sein. Welchen Algorithmus würdest du wählen und warum? Begründe deine Antwort, indem du die beiden anderen ausschließt.
Ausreißer
Manchmal liegt ein Wert sehr weit weg von allen anderen, ein Ausreißer. Dann wird der Whisker nicht bis zu ihm gezogen, sondern der Wert als einzelner Punkt eingetragen.
Markus untersucht die Wartezeit (in Minuten) an einer Bushaltestelle im Stadtverkehr und hat nach dem Ordnen der erhobenen Daten die folgende Fünf-Zahlen-Zusammenfassung…
Markus untersucht die Wartezeit (in Minuten) an einer Bushaltestelle im Stadtverkehr und hat nach dem Ordnen der erhobenen Daten die folgende Fünf-Zahlen-Zusammenfassung erhalten: Minimum = $2$, $Q_1 = 5$, Median = $8$, $Q_3 = 11$ und Maximum = $22$.
Beim Formulieren seiner Schlussfolgerungen behauptet Markus: „Da der Interquartilsabstand $IQR = 11 - 5 = 6$ beträgt, ist jede Zeit über $Q_3 + IQR = 11 + 6 = 17$ Minuten ein Ausreißer. Also ist die Zeit von $22$ Minuten ein Ausreißer, weil sie $17$ Minuten überschreitet."
- a) Erkenne und erkläre mit eigenen Worten den Denkfehler, den Markus in der Formel für die Grenze der Ausreißer macht.
- b) Wende das richtige Kriterium des Boxplots an, um die Grenze zu berechnen, ab der ein Wert als Ausreißer gilt, und begründe, ob der Wert von $22$ Minuten weiterhin ein Ausreißer ist oder ob Markus mit seiner Schlussfolgerung nur zufällig recht hatte.
In einer Studie zur Anzahl der Pulsschläge pro Minute einer Gruppe von Sportlerinnen und Sportlern in Ruhe ergab sich die folgende Zusammenfassung: $Q_1 = 48$,…
In einer Studie zur Anzahl der Pulsschläge pro Minute einer Gruppe von Sportlerinnen und Sportlern in Ruhe ergab sich die folgende Zusammenfassung: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.
Einer der Sportler hatte $75$ Pulsschläge pro Minute. Entscheide mithilfe des mathematischen Kriteriums des Interquartilsabstands $IQR$ (ein Wert ist ein Ausreißer, wenn er größer als $Q_3 + 1,5 \cdot IQR$ ist), ob dieser Wert im Boxplot als Ausreißer dargestellt werden muss.
Gegeben ist der folgende geordnete Datensatz zur Reaktionszeit (in Millisekunden) bei einem Experiment: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$. Bestimme den kleinsten…
Gegeben ist der folgende geordnete Datensatz zur Reaktionszeit (in Millisekunden) bei einem Experiment: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.
Bestimme den kleinsten Wert, den die Unbekannte $x$ haben muss, damit sie im Boxplot als oberer Ausreißer gilt. (Denke daran, dass für diese Rechnung $N=8$ gilt.)