Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Im Sportunterricht möchte der Lehrer die $13$ Schüler für eine Übung in perfekten Reihen und Spalten aufstellen (zum Beispiel $2$ Reihen mit je $6$ Personen).

1. a) Warum geht das mit $13$ Schülern nur als eine einzige Reihe mit $13$ Schülern und auf keine andere Weise?
2. b) Was für eine Zahl ist $13$ im Hinblick auf ihre Teiler?

Ordne die folgenden Zahlen in die Tabelle ein, je nachdem, ob sie Primzahlen sind (sie haben nur zwei Teiler: die $1$ und sich selbst) oder zusammengesetzt sind (sie haben mehr als zwei Teiler):

$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$

Die Zahl $12$ lässt sich auf mehrere Arten als Rechteck darstellen (zum Beispiel $2 \times 6$ oder $3 \times 4$). Eine Primzahl dagegen kann nur eine einzige Reihe bilden.

Betrachte die Zeichnung und zerlege die Gesamtzahl der Punkte, die das Rechteck bilden, in Primfaktoren:

Auf einer Sammelkartenmesse wurden die Stände von $10$ bis $25$ nummeriert. Die Veranstalter möchten die Stände, deren Nummer eine Primzahl ist, mit einem orangefarbenen Schild kennzeichnen. Schreibe die Liste aller Standnummern auf, die ein orangefarbenes Schild bekommen sollen.

Das Sieb des Eratosthenes funktioniert wie ein Filter, der nur Primzahlen durchlässt. Wenn wir die Zahlen von $1$ bis $10$ in den Filter geben, erkläre, warum die Zahl $1$ nicht als Primzahl gilt und warum die Zahl $9$ im Filter für zusammengesetzte Zahlen hängen bleibt.

Sophie möchte herausfinden, ob die Zahl $91$ eine Primzahl ist. Zur Überprüfung wendet sie die gängigsten Teilbarkeitsregeln an: Sie stellt fest, dass die Zahl nicht gerade ist (also nicht durch $2$ teilbar), dass ihre Quersumme $9 + 1 = 10$ beträgt, die Zahl also kein Vielfaches von $3$ ist (also nicht durch $3$ teilbar), und dass sie weder auf $0$ noch auf $5$ endet (also nicht durch $5$ teilbar). Daraus schließt Sophie in ihrem Heft: „Da 91 weder durch 2 noch durch 3 noch durch 5 teilbar ist, ist 91 eine Primzahl.“

1. a) Finde und erkläre den Denkfehler, den Sophie bei der Regel zur Überprüfung, ob eine Zahl eine Primzahl ist, gemacht hat.
2. b) Gib an, welche Überprüfung Sophie vor ihrer Antwort noch hätte durchführen müssen, und begründe, warum sie unverzichtbar war.
3. c) Korrigiere die Aufgabe: Bestimme, ob die Zahl $91$ eine Primzahl oder zusammengesetzt ist, und gib, falls sie zusammengesetzt ist, ihre Primfaktorzerlegung an.

Du möchtest überprüfen, ob die Zahl $173$ eine Primzahl oder zusammengesetzt ist, ohne unnötige Divisionen durchzuführen.

1. a) Schätze den Wert von $\sqrt{173}$ ab, indem du angibst, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen er liegt (Tipp: Denke an die Quadratzahlen, die $173$ am nächsten liegen).
2. b) Schreibe anhand deiner Abschätzung die vollständige, geordnete Liste der Primzahlen auf, bei denen die Teilbarkeit unbedingt geprüft werden muss. Wie viele Divisionen musst du höchstens durchführen?
3. c) Führe die notwendigen Divisionen durch und bestimme, ob $173$ eine Primzahl oder zusammengesetzt ist. Begründe, warum du das Verfahren abbrechen kannst, ohne größere Primzahlen zu testen.

Ordne die folgenden Zahlen als Primzahlen oder zusammengesetzte Zahlen ein und begründe deine Antwort mit den Teilbarkeitsregeln. Gib bei den zusammengesetzten Zahlen mindestens einen Teiler an, der von $1$ und von der Zahl selbst verschieden ist:

$47, 51, 67, 87, 91, 101$

Im Mathematikunterricht sagt der Lehrer, dass man, um zu wissen, ob eine Zahl kleiner als $100$ eine Primzahl ist, nur prüfen muss, dass sie nicht durch $2, 3, 5$ und $7$ teilbar ist.

Begründe, warum man nicht prüfen muss, ob sie durch $11$ oder durch andere größere Primzahlen teilbar ist. Wende diese Idee an, um zu prüfen, ob die Zahl $97$ eine Primzahl ist.

Zwei Mitschüler, Hugo und Valerie, streiten darüber, wie man am schnellsten und sichersten herausfindet, ob die Zahl $221$ eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist:

• Hugos Methode: Er schlägt vor, alle ungeraden Zahlen von $3$ bis $110$ (ungefähr die Hälfte von $221$) nacheinander zu prüfen.

• Valeries Methode: Sie berechnet im Kopf, dass $\sqrt{221} \approx 14{,}8$ gilt, und behauptet, man müsse nur versuchen, $221$ durch die Primzahlen zu teilen, die kleiner oder gleich $14$ sind (also: $2, 3, 5, 7, 11$ und $13$).

1. a) Vergleiche beide Methoden: Wie viele Divisionen müsste Hugo durchführen, wie viele braucht Valerie? Erkläre, warum Valerie zusammengesetzte Zahlen wie die $9$ zu Recht auslässt.
2. b) Erkläre die mathematische Grundlage von Valeries Methode: Warum ist es unmöglich, dass $221$ einen Teiler größer als $14$ hat, wenn man keinen Teiler kleiner als $14$ findet?
3. c) Wende Valeries Methode an, um die Zahl $221$ als Primzahl oder zusammengesetzte Zahl einzuordnen.

Um zu prüfen, ob die Zahl $601$ eine Primzahl ist, behauptet ein Schüler, er müsse sie nur durch die Primzahlen teilen, die kleiner als $25$ sind.

1. a) Begründe, warum der Schüler die Zahl $25$ als Grenze gewählt hat.
2. b) Führe die nötigen Divisionen nach seiner Überlegung durch und bestimme, ob $601$ eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist.
3. c) Welches ist die größte Primzahl, die du ausprobieren müsstest, um zu wissen, ob $1009$ eine Primzahl ist?

Betrachte den folgenden „Teilungsturm“ (Primfaktorzerlegung) und bestimme die fehlenden Zahlen in den leeren Feldern so, dass er stimmt:

Zerlege die Zahl $40$ mithilfe der Methode mit dem senkrechten Strich in Primfaktoren und gib das Ergebnis als Produkt von Potenzen an.

Finde in jedem Fall heraus, um welche Zahl es sich handelt, indem du die Potenzen berechnest und die Faktoren multiplizierst:

1. a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
2. b) $2 \cdot 3^3 = $
3. c) $3^2 \cdot 11 = $

Führe die Primfaktorzerlegung der folgenden Zahlen mit dem Verfahren des senkrechten Strichs durch. Gib das Endergebnis, wenn möglich, mit Potenzen an:

1. a) $180$
2. b) $252$
3. c) $450$

Vervollständige die leeren Felder in diesem Faktorbaum der Zahl $120$. Denke daran, dass jeder Ast bei einer Primzahl enden muss, damit die Zerlegung vollständig ist. Schreibe danach das Endergebnis mit Potenzen auf.

Um Zahlen zu zerlegen, die auf Null enden, kann man manchmal gedankliche „Abkürzungen“ nutzen. Zum Beispiel wissen wir, dass $10 = 2 \cdot 5$ gilt, also liefert jede Endnull einen Faktor $2$ und einen Faktor $5$.

Zerlege die folgenden Zahlen mit diesem Trick, um Schritte beim senkrechten Strich zu sparen (du kannst jede Endnull auf einmal entfernen und rechts $2 \cdot 5$ notieren):

1. a) $1.200$
2. b) $4.500$
3. c) $18.000$

Im Matheraum hat jemand eine unvollständige Primfaktorzerlegung an der Tafel stehen lassen. Hilf, sie zu rekonstruieren, wenn du weißt, dass die ursprüngliche Zahl kleiner als $500$ ist.

Berechne den Wert der ursprünglichen Zahl $X$, des Zwischenquotienten $Y$ und des Primfaktors $P$, wenn du weißt, dass $P$ die kleinstmögliche Primzahl ist, für die $X$ ein Vielfaches von $3$ ist.

Der Sicherheitsbeauftragte eines Bürgerzentrums programmiert den dreistelligen Zahlencode $C$ für den Geräteraum. Damit man ihn sich durch mathematisches Überlegen leicht merken kann, wurde der Code mit folgenden Hinweisen entworfen:

1. Der Code $C$ ist das Produkt dreier aufeinanderfolgender Primzahlen: $C = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ (der Größe nach geordnet).

2. Die Summe dieser drei aufeinanderfolgenden Primzahlen beträgt genau $23$, also $p_1 + p_2 + p_3 = 23$.

3. Addiert man zur Codezahl $5$, so ist die neue Zahl ($C + 5$) gleichzeitig durch $2$, durch $3$ und durch $5$ teilbar, aber nicht durch $9$.

1. a) Suche systematisch unter den Primzahlen, um $p_1$, $p_2$ und $p_3$ zu finden. Berechne daraus den Zahlenwert des Codes $C$.
2. b) Überprüfe, dass der erhaltene Wert für $C$ den dritten Hinweis genau erfüllt, indem du die Zahl $C + 5$ mit Teilbarkeitsregeln untersuchst (ohne schriftliche Division).
3. c) Begründe anhand der Exponenten der Primfaktorzerlegung von $C$, wie viele Teiler der Code insgesamt hat. Ist er eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl?

Bestimme alle Teiler der Zahl $N$, wenn du weißt, dass ihre Primfaktorzerlegung $N = 2^2 \cdot 13$ lautet. Ist $N$ eine zusammengesetzte Zahl oder eine Primzahl? Begründe deine Antwort anhand der Definition dieser Zahlenarten.

Bestimme alle Teiler der folgenden Zahlen mithilfe ihrer Primfaktorzerlegung. Zeige, wie du die Faktoren kombinierst:

1. a) $28$
2. b) $42$

Nele hat eine Sammlung alter Münzen. Wenn sie sie in Gruppen zu je $6$ aufteilt, bleiben $3$ übrig. Wenn sie sie in Gruppen zu je $10$ aufteilt, bleiben ebenfalls $3$ übrig.

Sie hat mehr als $50$, aber weniger als $80$ Münzen. Wie viele Münzen hat Nele genau in ihrer Sammlung? (Tipp: Bringe die Aufgabe mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen in Verbindung.)

An einem Crosslauf der Schulsportwettbewerbe eines Bundeslandes nehmen $119$ Läuferinnen und Läufer der Altersklasse U14 teil. Die Organisation möchte die Teilnehmenden in gleich große Vorläufe einteilen, sodass in jedem Lauf gleich viele Läufer antreten, mehr als $1$ Läufer pro Lauf starten und es nicht nur einen einzigen Lauf mit allen Teilnehmenden gibt.

Der Hauptschiedsrichter behauptet, es sei unmöglich, gleich große Gruppen zu bilden, denn „die Zahl 119 ist nicht gerade und endet nicht auf 0 oder 5, also ist sie bestimmt eine Primzahl“.

1. a) Modelliere die Situation mithilfe der Teilbarkeit: Übersetze die Aussage des Schiedsrichters und den Bedarf der Organisation in eine Bedingung an die Teiler von $119$.
2. b) Wende die Methode zur Überprüfung von Primzahlen an (indem du $\sqrt{119}$ eingrenzt), um zu zeigen, ob der Schiedsrichter recht hat oder sich irrt.
3. c) Falls es möglich ist, die Läufe einzuteilen, gib alle verschiedenen Möglichkeiten an, die Athleten zu gruppieren, und nenne jeweils die Anzahl der Läufe und die Anzahl der Läufer pro Lauf.

Eine natürliche Zahl $N$ hat folgende Besonderheit: Ihre Primfaktorzerlegung hat die Form $2^a \cdot 3^b$. Wir wissen: Multipliziert man $N$ mit $2$, steigt die Anzahl ihrer Teiler um $3$, und multipliziert man sie mit $3$, steigt die Anzahl ihrer Teiler um $4$.

Berechne die Exponenten $a$ und $b$ und bestimme die Zahl $N$.

Eine „vollkommene“ Zahl ist eine Zahl, die gleich der Summe all ihrer echten Teiler ist (alle Teiler außer ihr selbst). Zum Beispiel ist die $6$ vollkommen, weil ihre echten Teiler $1, 2$ und $3$ sind und $1 + 2 + 3 = 6$ gilt.

1. a) Überprüfe, ob die Zahl $28$ eine vollkommene Zahl ist.

1. b) Die nächste vollkommene Zahl ist größer als $400$ und kleiner als $500$. Sie ist ein Vielfaches von $16$ und von $31$. Finde sie mithilfe der Primfaktorzerlegung.

In der IT-Sicherheit verwendet man sehr große Primzahlen, um Schlüssel zu erzeugen. Angenommen, ein Sicherheitsschlüssel entsteht durch Multiplikation zweier verschiedener Primzahlen $p$ und $q$. Das Ergebnis ist $N = p \cdot q$.

Wir wissen, dass $N = 1591$ gilt und dass eine der Primzahlen nahe an der Quadratwurzel von $N$ liegt:

1. a) Bestimme die Werte von $p$ und $q$.
2. b) Wie viele Teiler hat die Zahl $N$ insgesamt? Begründe deine Antwort, ohne die Teiler aufzulisten.

Bestimme die kleinste Zahl, die genau $6$ Teiler hat, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur die ersten beiden Primzahlen vorkommen. Erkläre deine Überlegung, indem du die Exponenten der Zerlegung untersuchst.

Der Flächeninhalt eines rechteckigen Gartens beträgt $252$ $m^2$. Die Seitenlängen (in Metern) sind natürliche Zahlen, und die längere Seite ist ein Vielfaches von $3$ und von $7$, aber nicht von $2$. Bestimme mithilfe der Primfaktorzerlegung der Zahl $252$ alle möglichen Abmessungen des Gartens.

Gegeben sind die Zahlen $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ und $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.

Beantworte mit Begründung, ohne den Zahlenwert von $A$ oder $B$ zu berechnen:

1. a) Ist das Produkt $A \cdot B$ durch $55$ teilbar?
2. b) Ist das Produkt $A \cdot B$ ein Vielfaches von $54$?
3. c) Wie lautet die Primfaktorzerlegung der Zahl, die man erhält, wenn man $\text{ggT}(A, B)$ berechnet?

Wir suchen eine unbekannte natürliche Zahl $N$, die gleichzeitig drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihre Primfaktorzerlegung enthält nur die beiden kleinsten ungeraden Primzahlen.

2. Sie hat genau $6$ verschiedene positive Teiler.

3. Sie ist echt kleiner als $100$ ($N < 100$).

1. a) Leite algebraisch her, welche Formen die Primfaktorzerlegung jeder Zahl haben kann, die genau $6$ Teiler und nur zwei verschiedene Primfaktoren $p$ und $q$ hat. Denke daran: Wenn eine Zahl die Zerlegung $p^a \cdot q^b$ hat, beträgt ihre Teileranzahl $(a + 1) \cdot (b + 1)$.
2. b) Bestimme, welche beiden konkreten Primfaktoren $p$ und $q$ in unserer Aufgabe vorkommen.
3. c) Finde alle natürlichen Zahlen $N$, die alle gegebenen Bedingungen erfüllen. Überprüfe jede gefundene Lösung, indem du die geordnete Liste aller ihrer Teiler aufschreibst.