Vorteilhaftes Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen
Auf dem Weg zur Pause stehst du am Schulkiosk. Du kaufst eine Brezel für $0{,}90\,€$, dein Freund Ben kauft auch eine, und Lena nimmt noch zwei dazu. Wie rechnest du die vier Brezeln schnell im Kopf aus? Am Ende der Seite weißt du, warum das mit einem Rechengesetz ganz leicht geht.
Reihenfolge ändern: Kommutativ- und Assoziativgesetz
Beim Addieren und Multiplizieren darfst du die Reihenfolge ändern und beliebig Klammern setzen. Das spart oft Rechenaufwand: Du suchst „schöne Paare“, die zusammen eine runde Zahl ergeben.
Der Grund: Beim Addieren zählst du nur zusammen, es ist egal, in welcher Reihenfolge. Beim Multiplizieren gilt dasselbe, denn ein Rechteck mit $a \cdot b$ Kästchen kannst du auch drehen.
Berechne vorteilhaft im Kopf. a) $2{,}5 + 3{,}7 + 7{,}5$ b) $4 \cdot 2{,}5 \cdot 5$ c) $0{,}25 \cdot 8$
Berechne vorteilhaft im Kopf.
- a) $2{,}5 + 3{,}7 + 7{,}5$
- b) $4 \cdot 2{,}5 \cdot 5$
- c) $0{,}25 \cdot 8$
Berechne vorteilhaft mit dem Kommutativ- und Assoziativgesetz. a) $\frac{1}{4} + \frac{2}{5} + \frac{3}{4}$ b) $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4$
Berechne vorteilhaft mit dem Kommutativ- und Assoziativgesetz.
- a) $\frac{1}{4} + \frac{2}{5} + \frac{3}{4}$
- b) $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4$
Ausklammern und Ausmultiplizieren: das Distributivgesetz
Zwei Gruppen kaufen Brezeln für $0{,}90\,€$: eine Gruppe 18 Stück, die andere 12 Stück. Du kannst jede Gruppe einzeln berechnen und addieren: $18 \cdot 0{,}90\,€ + 12 \cdot 0{,}90\,€$. Oder du zählst erst alle Brezeln: $(18 + 12) \cdot 0{,}90\,€ = 30 \cdot 0{,}90\,€ = 27\,€$. Beide Wege liefern dasselbe, denn es sind insgesamt 30 Brezeln.
Ausklammern bei gleichem Faktor
Das klappt auch mit Brüchen: $\frac{3}{7} \cdot 5 + \frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{3}{7} \cdot (5 + 2) = \frac{3}{7} \cdot 7 = 3$.
Ausmultiplizieren bei „fast runden“ Zahlen
So geht auch $9{,}8 \cdot 5 = (10 - 0{,}2) \cdot 5 = 50 - 1 = 49$.
Berechne mit dem Distributivgesetz. a) $6 \cdot 3{,}5 + 6 \cdot 1{,}5$ b) $4 \cdot 2{,}9$ (Tipp: Nutze $4 \cdot (3 - 0{,}1)$.)
Berechne mit dem Distributivgesetz.
- a) $6 \cdot 3{,}5 + 6 \cdot 1{,}5$
- b) $4 \cdot 2{,}9$ (Tipp: Nutze $4 \cdot (3 - 0{,}1)$.)
Berechne vorteilhaft und gib an, welches Rechengesetz du benutzt. a) $\frac{3}{7} \cdot 5 + \frac{3}{7} \cdot 2$ b) $1{,}6 + 2{,}8 + 3{,}4 + 0{,}2$ c)…
Berechne vorteilhaft und gib an, welches Rechengesetz du benutzt.
- a) $\frac{3}{7} \cdot 5 + \frac{3}{7} \cdot 2$
- b) $1{,}6 + 2{,}8 + 3{,}4 + 0{,}2$
- c) $12{,}5 \cdot 4 \cdot 2$
Ein Schulkiosk verkauft Brezeln zu $0{,}90\,€$. Am Montag werden $18$ Stück verkauft, am Dienstag $12$ Stück. a) Berechne den Umsatz beider Tage getrennt und addiere. b)…
Ein Schulkiosk verkauft Brezeln zu $0{,}90\,€$. Am Montag werden $18$ Stück verkauft, am Dienstag $12$ Stück.
- a) Berechne den Umsatz beider Tage getrennt und addiere.
- b) Berechne den Umsatz mit einer Klammer und begründe, warum das Ergebnis gleich ist.
- c) Welches Rechengesetz wird hier benutzt?
Geschickt kombinieren
Oft brauchst du mehrere Gesetze nacheinander. Überlege immer zuerst: Gibt es schöne Paare? Gibt es einen gemeinsamen Faktor? Ist eine Zahl fast rund?
Berechne geschickt. a) $\frac{2}{3} \cdot 12 - \frac{2}{3} \cdot 3$ b) $9{,}8 \cdot 5$ c) $25 \cdot 0{,}36 \cdot 4$
Berechne geschickt.
- a) $\frac{2}{3} \cdot 12 - \frac{2}{3} \cdot 3$
- b) $9{,}8 \cdot 5$
- c) $25 \cdot 0{,}36 \cdot 4$
Berechne möglichst geschickt und gib jeden Rechenschritt an. a) $\frac{5}{8} \cdot 17 + \frac{5}{8} \cdot 23 - \frac{5}{8} \cdot 8$ b) $0{,}125 \cdot 56 \cdot 8$ c)…
Berechne möglichst geschickt und gib jeden Rechenschritt an.
- a) $\frac{5}{8} \cdot 17 + \frac{5}{8} \cdot 23 - \frac{5}{8} \cdot 8$
- b) $0{,}125 \cdot 56 \cdot 8$
- c) $7{,}3 \cdot 4{,}5 + 2{,}7 \cdot 4{,}5$
Lena rechnet: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{1}{4})$ und behauptet, das sei dasselbe wie $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4}$. a) Berechne beide Terme.…
Lena rechnet: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{1}{4})$ und behauptet, das sei dasselbe wie $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.
- a) Berechne beide Terme.
- b) Wer hat recht? Begründe mit dem passenden Rechengesetz.
- c) Korrigiere Lenas Term so, dass er zu $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{1}{4})$ passt.
Zeige, dass folgende Gleichungen stimmen, indem du jeweils geschickt umformst, nicht nur ausrechnest. a) $0{,}4 \cdot 37 + 0{,}6 \cdot 37 = 37$ b)…
Zeige, dass folgende Gleichungen stimmen, indem du jeweils geschickt umformst, nicht nur ausrechnest.
- a) $0{,}4 \cdot 37 + 0{,}6 \cdot 37 = 37$
- b) $\frac{3}{5} \cdot 25 + \frac{2}{5} \cdot 25 = 25$
- c) Finde selbst einen Term der Form $a \cdot b + c \cdot b$, dessen Wert $100$ ist, mit Dezimalzahlen oder Brüchen, und begründe.
Zurück zum Anfang: Vier Brezeln zu $0{,}90\,€$ kostet $4 \cdot 0{,}90\,€ = 4 \cdot (1 - 0{,}10)\,€ = 4\,€ - 0{,}40\,€ = 3{,}60\,€$. Das ist das Distributivgesetz mit einer fast runden Zahl.
Auf einen Blick
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Kommutativgesetz: Summanden und Faktoren dürfen vertauscht werden, $a + b = b + a$, $a \cdot b = b \cdot a$.
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Assoziativgesetz: Du darfst beliebig Klammern setzen, bei Plus und Mal.
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Suche „schöne Paare“: $2{,}5 + 7{,}5$, $4 \cdot 2{,}5$, $\frac{1}{4} + \frac{3}{4}$, $8 \cdot 0{,}125$.
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Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Gleiche Faktoren klammerst du aus.
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Fast runde Zahlen zerlegst du: $4 \cdot 2{,}9 = 4 \cdot (3 - 0{,}1)$.
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Bei Minus und Geteilt gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz nicht.