Rechnen mit Dezimalzahlen

In einem Geschäft für Handyzubehör möchte Marc eine Hülle für $12,45$ € und eine Displayschutzfolie für $8,90$ € kaufen. Wenn Marc mit einem Schein über $50$ € bezahlt, wie viel Geld bekommt er an der Kasse zurück?

Übertrage und vervollständige die folgenden Gleichungen, indem du die fehlende Dezimalzahl einsetzt, sodass die Rechnung stimmt:

1. a) $15,45 + \dots = 20$
2. b) $7,2 - \dots = 4,55$
3. c) $\dots \cdot 3 = 12,9$

Sophie hat eine Holzleiste von $14,2\text{ m}$ und muss ein Stück von $3,75\text{ m}$ abschneiden, um ein Regal zu bauen. Um auszurechnen, wie viel Holz übrig bleibt, stellt sie die Subtraktion $14,2 - 3,75$ schriftlich untereinander auf und behauptet, das Ergebnis sei $11,55\text{ m}$. Sie begründet so: „In der Hundertstelspalte steht oben nichts, also schreibe ich direkt die $5$ nach unten; bei den Zehnteln ziehe ich die kleinere Ziffer von der größeren ab, $7 - 2 = 5$; und bei den Einern rechne ich $14 - 3 = 11$.“

1. a) Finde und erkläre die beiden Denkfehler, die Sophie in Bezug auf den Stellenwert der Ziffern und die Subtraktion gemacht hat.
2. b) Erkläre, warum es unbedingt nötig ist, beim Minuenden rechts im Dezimalteil Nullen anzuhängen, bevor man rechnet.
3. c) Schreibe die Subtraktion richtig untereinander und bestimme die genaue Länge der Leiste, die Sophie übrig bleibt.

Drei Freunde beschließen, gemeinsam zu vespern. Sie kaufen einen Kasten Limonade für $4,85$ €, eine Familienpackung Chips für $2,30$ € und eine Schachtel Gebäck für $5,45$ €. Wenn sie mit einem $20$-€-Schein bezahlen, wie viel Geld bleibt ihnen übrig, um beim Rausgehen Gummibärchen zu kaufen?

Du gehst in den Tante-Emma-Laden in deinem Viertel mit nur einem einzigen Schein über $15\text{ €}$ und legst die folgenden Artikel in den Korb:

• $1$ Päckchen Kaffee für $3,95\text{ €}$,

• $2$ Packungen Milch zu je $1,05\text{ €}$,

• $1$ Laib Handwerksbrot für $0,98\text{ €}$ und

• $3$ Packungen Kekse zu je $1,99\text{ €}$.

1. a) Bevor du irgendetwas schriftlich mit Dezimalzahlen rechnest, überschlage im Kopf, indem du den Preis jedes Artikels auf den nächsten ganzen Euro rundest. Begründe mit diesem Überschlag, ob dein Schein über $15\text{ €}$ zum Bezahlen des Einkaufs ausreicht.
2. b) Führe nun die exakten Rechnungen schriftlich Schritt für Schritt aus, um den Gesamtbetrag zu berechnen, den die Kasse anzeigt.
3. c) Überprüfe, ob dein anfänglicher Überschlag zutreffend war, berechne, wie viel Geld dir genau übrig bleibt oder fehlt, und überlege, in welchen Alltagssituationen es nützlich ist, vor dem Rechnen zu überschlagen.

Berechne diese Aufgaben im Kopf mithilfe der Stufenzahlen (1 gefolgt von Nullen). Denke daran, das Komma beim Multiplizieren bzw. Dividieren in die richtige Richtung zu verschieben:

1. a) $34,57 \cdot 10$
2. b) $0,23 \cdot 100$
3. c) $458,2 : 10$
4. d) $12,5 : 1000$

Marta war im Obstladen und hat $2,5$ kg Äpfel zu einem Preis von $1,80$ € pro Kilo gekauft. Zu Hause merkt sie, dass einer der Äpfel schlecht ist, und beschließt, ihn zurückzugeben. Wenn der Apfel $0,25$ kg wog, wie viel Geld muss Marta erstattet werden?

Eine Athletin trainiert auf einer Rundbahn. Jede Runde der Bahn ist $0,45$ km lang. Wenn sie heute insgesamt $12$ Runden gelaufen ist, wie viele Kilometer ist sie insgesamt gelaufen? Wenn ihr Ziel war, $6,3$ km zu laufen, wie viele Runden mehr hätte sie laufen müssen?

Im Angebot „Schulstart“ kostet ein Paket mit $5$ Heften $8,25$ €, beim Einzelkauf kostet jedes Heft $1,80$ €.

Wie viel sparen wir insgesamt, wenn wir $15$ Hefte im Angebot als Pakete kaufen statt einzeln?

Für ein Kochrezept müssen wir ein Paket Mehl von $1,5$ kg in $6$ genau gleich große Portionen für Muffins aufteilen. Wie viele Kilogramm Mehl wiegt jede Portion? Gib das Ergebnis auch in Gramm an.

Eine Gruppe von $4$ Freunden geht ins Kino. Die Eintrittskarten und das Popcorn kosten zusammen $45,80$ €. Wenn alle den gleichen Betrag bezahlen wollen, wie viel Geld muss jeder beisteuern? Einer von ihnen hat nur einen Schein über $10$ € und eine Münze über $2$ €. Reicht sein Geld aus?

Eine Filamentrolle für einen 3D-Drucker wiegt genau $1,25$ kg. Wenn für ein kleines Teil $0,015$ kg Kunststoff verbraucht werden, wie viele vollständige Teile kann man mit einer einzigen Rolle herstellen? Wie viel Filament bleibt am Ende übrig?

Ein Marathonläufer hat eine Etappe von $15,6$ km in anderthalb Stunden ($1,5$ Stunden) zurückgelegt.

1. a) Wie groß war seine Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h?
2. b) Wie viele Kilometer legt er bei gleichbleibender Geschwindigkeit in $2,25$ Stunden zurück?

Führe die folgenden gemischten Rechnungen aus und beachte dabei die Rechenreihenfolge (Klammern, Punkt- vor Strichrechnung):

1. a) $4,5 + 2,1 \cdot 3$
2. b) $(12,8 - 3,4) : 2$
3. c) $5 \cdot 0,25 + 1,75$

Berechne das Ergebnis der folgenden gemischten Aufgaben und beachte dabei die Rechenreihenfolge:

1. a) $12,5 + 3,8 \cdot (6,4 - 2,15)$

1. b) $(15,4 + 8,6) : 2,5 - 1,02 \cdot 4$

Eine Gemeinde möchte einen rechteckigen Park einzäunen, der $25,4$ Meter lang und $12,75$ Meter breit ist. Der Preis für den Zaun beträgt $15,20$ € pro laufendem Meter. Wenn das gesamte verfügbare Budget $1.200$ € beträgt, reicht das Geld, um den ganzen Park zu umzäunen? Begründe deine Antwort mit den nötigen Rechnungen.

Valentina will drei Videospieldateien auf ihre Konsole herunterladen. Die erste belegt $4,35$ GB, die zweite doppelt so viel wie die erste und die dritte $1,2$ GB weniger als die zweite. Wenn ihre Verbindung mit einer konstanten Geschwindigkeit von $0,05$ GB pro Sekunde lädt, wie viele Sekunden dauert es, bis alle drei Dateien heruntergeladen sind?

Ein Paketdienst verlangt eine feste Gebühr von $4,50$ € pro Sendung und zusätzlich $0,85$ € für jedes Kilogramm Paketgewicht. Wir wollen ein Paket mit $3,4$ kg versenden und lösen einen Rabattgutschein über $1,25$ € auf den Endpreis ein. Wie viel kostet der Versand? Schreibe den Term mit gemischten Rechenoperationen auf und berechne ihn.

Auf dem Kassenbon eines Obstladens ist ein Teil wegen eines Feuchtigkeitsflecks unleserlich geworden. Nur die folgenden Angaben sind deutlich lesbar:

• Äpfel: $3,5\text{ kg}$ zu einem unbekannten Preis pro Kilogramm.

• Bananen: $1,2\text{ kg}$ zu $1,85\text{ €/kg}$.

• An der Kasse gezahlt: ein Schein über $20\text{ €}$.

• Genau erhaltenes Rückgeld: $11,48\text{ €}$.

1. a) Verwende die Umkehroperationen: Berechne zuerst die Gesamtausgabe des Einkaufs und bestimme durch Abziehen des Betrags für die Bananen, wie viel die Äpfel insgesamt gekostet haben.
2. b) Stelle mithilfe der Gesamtkosten der Äpfel die nötige Division mit Dezimalzahlen auf und löse sie, um den genauen Preis für ein Kilogramm Äpfel zu bestimmen.
3. c) Rekonstruiere die gesamte Rechnung in Vorwärtsrichtung, um zu überprüfen, dass alle Rechnungen und das zurückgegebene Wechselgeld stimmen.

An einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes im Sauerland wurden an vier aufeinanderfolgenden Tagen die folgenden Niederschlagsdaten aufgezeichnet:

• Montag: Es wurden $16,5\text{ l/m}^2$ gemessen.

• Dienstag: Es regnete $4,2\text{ l/m}^2$ weniger als am Montag.

• Mittwoch: Der Regen entsprach dem $1,2$-Fachen der Menge vom Dienstag plus einem Gewitterbeitrag von $0,84\text{ l/m}^2$.

• Donnerstag: Gemessen wurde genau das arithmetische Mittel (der Durchschnitt) der Regenmengen der drei vorherigen Tage.

1. a) Modelliere die Situation, indem du die genaue Regenmenge jedes der vier Tage Schritt für Schritt aufschreibst und berechnest (zeige in jeder Rechnung deutlich die Stellung des Kommas).
2. b) Berechne den insgesamt über die vier Tage angesammelten Niederschlag.
3. c) Wenn jeder gemessene Liter pro Quadratmeter in diesem Einzugsgebiet direkt ein Wasservolumen von $10\,000\text{ m}^3$ in einen nahe gelegenen Stausee bringt, berechne mit der Regel zum Multiplizieren mit Potenzen von $10$, wie viele Kubikmeter Wasser in diesen vier Tagen insgesamt in den Stausee flossen.

Berechne das Ergebnis der folgenden gemischten Aufgabe. Halte dich strikt an die Rechenreihenfolge und rechne mit allen entstehenden Dezimalstellen:

Runde das Endergebnis auf Hundertstel und schneide es auf Zehntel ab.

In einem Technikgeschäft kostet ein Videospiel $59,95 €$. In der „Black Friday“-Woche gibt es einen Rabatt von einem Viertel des Preises. Ein Jugendlicher kauft es und gibt einen Geldschein über $50 €$. Berechne:

1. a) Den Endpreis des Videospiels nach dem Rabatt (runde bei Bedarf auf Cent).
2. b) Reicht sein Geld? Wenn es fehlt, gib an, wie viel. Wenn Geld übrig bleibt, gib das genaue Wechselgeld an.

Ein Landwirt hat einen Wassertank mit einem Fassungsvermögen von insgesamt $1\,250,5$ Litern. Wegen eines kleinen Risses verliert der Tank $0,75$ Liter pro Stunde. Gleichzeitig füllt eine Wasserpumpe $12,4$ Liter alle $15$ Minuten in den Tank. Wenn der Tank im Moment $840,25$ Liter enthält:

Wie viele Liter sind nach $4$ einhalb Stunden genau im Tank? Gib das Ergebnis mit zwei Nachkommastellen an.

Betrachte das Rechteck in der Abbildung mit der Grundseite $b = 12,45 \text{ cm}$ und der Höhe $h = 8,2 \text{ cm}$.

Berechne seinen Flächeninhalt und seinen Umfang. Stell dir dann vor, wir halbieren sowohl die Grundseite als auch die Höhe. Wie groß ist der neue Flächeninhalt? Ist der neue Flächeninhalt die Hälfte des ursprünglichen oder hat er sich anders verändert? Begründe deine Antwort mit den nötigen Rechnungen.

Drei Freunde wollen ein Abonnement für einen Streamingdienst abschließen, das $17,99 €$ im Monat kostet. Sie teilen die Kosten so auf: Jan zahlt die Hälfte, Lina zahlt ein Drittel vom Rest und Lea zahlt, was noch fehlt.

Berechne den genauen Betrag (mit allen Nachkommastellen), den jeder beisteuern muss. Wenn die Bank nur Zahlungen mit zwei Nachkommastellen erlaubt, wer sollte deiner Meinung nach die Rundung des übrigen Cents übernehmen, damit die Summe genau $17,99 €$ ergibt?

Ein Formel-1-Wagen hat $1 \text{ Minute}$ und $24,352 \text{ Sekunden}$ für eine Runde auf der Rennstrecke gebraucht. Sein größter Rivale hat für dieselbe Strecke $84,12 \text{ Sekunden}$ gebraucht:

1. a) Wer von beiden war schneller?
2. b) Berechne den Zeitunterschied zwischen beiden in Sekunden.
3. c) Wenn das erste Auto sein Tempo hält, wie lange braucht es für $15$ volle Runden? Gib das Ergebnis in Minuten und Sekunden an.

Wir kochen ein Rezept, das $0,250 \text{ kg}$ Mehl für $6$ Muffins benötigt. Wir wollen die ganze Klasse ($28$ Schüler) einladen und jeder soll $2$ Muffins essen:

1. a) Wie viel Mehl brauchen wir insgesamt? Gib das Ergebnis in Kilogramm an.
2. b) Wenn wir Mehlpackungen zu $0,75 \text{ kg}$ kaufen, wie viele Packungen müssen wir mindestens kaufen? Wie viel Mehl bleibt genau übrig?

Alex' Handytarif hat eine Grundgebühr von $22,50 €$ im Monat. Wenn er das enthaltene Datenvolumen überschreitet, kostet jedes zusätzliche GB $0,50 €$ und jede Minute eines Auslandsgesprächs $0,12 €$. Diesen Monat hat er $45$ Minuten Auslandsgespräche geführt und die Kosten der zusätzlichen GB betrugen genau ein Fünftel der Grundgebühr:

1. a) Wie viele zusätzliche GB hat er verbraucht?
2. b) Wie hoch ist der Gesamtbetrag der Rechnung vor Steuern?
3. c) Wenn auf den Gesamtbetrag $21\%$ Mehrwertsteuer aufgeschlagen werden (mit $0,21$ multiplizieren und zum Gesamtbetrag addieren), wie hoch ist dann der Endpreis der Rechnung? (Runde das Endergebnis auf Cent.)

Für eine Telekommunikationsinstallation in einer Schule steht eine Kabeltrommel mit Netzwerkkabel von $45\text{ m}$ Länge zur Verfügung. Es sollen gleich lange Stücke von $0,75\text{ m}$ abgeschnitten werden und jedes Stück wird zu einem Preis von $2,40\text{ €}$ berechnet. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Verfahren vor, um den Gesamterlös zu berechnen:

• Albas Verfahren: Sie rechnet direkt in Metern und Euro mit Dezimalzahlen. Zuerst dividiert sie $45 : 0,75$ und erweitert dabei Dividend und Divisor mit $100$ ($4500 : 75$), damit der Divisor ganzzahlig wird, und multipliziert danach den Quotienten mit $2,40$.

• Brunos Verfahren: Er wandelt zuvor alle Größen in ganze Zahlen um, indem er die Einheit wechselt: Er rechnet die $45\text{ m}$ in Zentimeter um ($4500\text{ cm}$), die $0,75\text{ m}$ in Zentimeter ($75\text{ cm}$) und den Stückpreis in Cent ($240\text{ Cent}$). Er löst die Rechnungen mit ganzen Zahlen und wandelt am Ende das Ergebnis in Euro um, indem er durch $100$ dividiert.

1. a) Führe beide Verfahren vollständig aus und überprüfe, dass man mit beiden genau auf denselben Gesamtbetrag kommt.
2. b) Begründe mathematisch, warum die Regel „beim Divisor die Kommas durch Multiplizieren mit Potenzen von $10$ entfernen“ im Kern dem Einheitenwechsel entspricht, den Bruno vornimmt.
3. c) Nimm nun an, die benötigten Stücke müssten $0,7\text{ m}$ lang sein. Bei der entsprechenden ganzzahligen Division $450 : 7$ erhält man den Quotienten $64$ und den Rest $2$. Erkläre begründet, welche Länge Kabel tatsächlich von der Trommel übrig bleibt ($2\text{ m}$, $0,2\text{ m}$ oder $0,02\text{ m}$) und worauf du beim Deuten des Rests einer Division mit Dezimalzahlen immer achten musst.

In der monatlichen Stromrechnung einer Wohnung in Deutschland sind die folgenden Posten aufgeführt:

• Fester Leistungspreis: Es werden $0,115\text{ €}$ pro Tag für jedes vertraglich vereinbarte Kilowatt ($\text{kW}$) berechnet. Die Wohnung hat $4,6\text{ kW}$ vereinbart und der Abrechnungszeitraum beträgt $30\text{ Tage}$.

• Energieverbrauchspreis: Es wird ein Preis von $0,148\text{ €}$ für jede verbrauchte Kilowattstunde ($\text{kWh}$) berechnet.

• Stromsteuer: Sie wird berechnet, indem man die Zwischensumme (Leistungspreis plus Verbrauchspreis) mit dem Dezimalfaktor $0,0511$ multipliziert.

1. a) Modelliere die Rechnung, indem du die genauen Kosten des festen Leistungspreises für die $30$ Tage berechnest und die Multiplikationen mit allen Nachkommastellen ausführst.
2. b) Wenn die Zwischensumme der Rechnung dieses Monats (vor Anwendung der Stromsteuer) genau $60,27\text{ €}$ betrug, stelle die nötigen Umkehroperationen auf und löse sie, um zu bestimmen, wie viele $\text{kWh}$ die Familie in diesem Zeitraum verbraucht hat.
3. c) Berechne den Betrag der Stromsteuer und runde das Endergebnis auf Cent (zwei Nachkommastellen). Begründe anschließend, warum die Stromanbieter die Preise pro Einheit mit drei oder mehr Nachkommastellen (Tausendstel Euro, etwa $0,148\text{ €}$) festlegen, anstatt sie von Anfang an auf Cent ($0,15\text{ €}$) zu runden.