Volumenmessung

Betrachte die Stufenleiter der Volumeneinheiten in der Abbildung.

a) Mit welcher Zahl wird multipliziert, wenn man eine Stufe nach unten geht? Und durch welche wird geteilt, wenn man eine Stufe nach oben geht?

b) Gib mithilfe der Stufenleiter $2,4\ \text{m}^3$ in Kubikdezimetern und in Kubikzentimetern an.

Rechne in die angegebenen Einheiten um:

a) $3\ \text{m}^3$ in Kubikdezimeter.

b) $4\,500\ \text{dm}^3$ in Kubikmeter.

c) $0,75\ \text{dm}^3$ in Kubikzentimeter.

Beim Umrechnen von $2,5\ \text{m}^3$ in Kubikzentimeter schreibt Mihai in sein Heft: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.

a) Erkläre den Fehler, den er gemacht hat.

b) Führe die Umrechnung richtig durch.

c) Wie viele Liter sind $2,5\ \text{m}^3$?

In welcher Einheit würdest du das Volumen jedes dieser Gegenstände angeben? Wähle zwischen $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ und $\text{hm}^3$ und begründe deine Wahl:

a) Ein Zuckerwürfel.

b) Ein Rucksack.

c) Das Wasser einer Talsperre.

d) Ein Hallenbad.

Von den drei vorgeschlagenen Werten für jedes Volumen ist nur einer sinnvoll. Wähle ihn aus und begründe deine Antwort:

a) Eine Limonadendose: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ oder $3,3\ \text{dm}^3$.

b) Eine Waschmaschine: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ oder $2,5\ \text{m}^3$.

c) Ein Glas Wasser: $25$ ml, $250$ ml oder $2,5$ l.

Gib in Kubikdezimetern an: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.

Gib in mehrnamiger Schreibweise an: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.

Gib in Kubikmetern an und berechne: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Gib das Ergebnis auch in Hektolitern an.

Ergänze in deinem Heft:

a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$

b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ Liter

c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ Liter

Ein Wasserbehälter hat ein Volumen von $2,5\ \text{m}^3$. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Wie viele Kanister mit $5$ Litern könnten gefüllt werden?

Bei einem Unwetter sind $45$ Liter pro Quadratmeter gefallen.

a) Wie vielen Millimetern Wasserhöhe entspricht dieser Regen?

b) Wie viele Liter sind auf einen Garten von $60\ \text{m}^2$ gefallen?

c) Wie viele Kubikmeter sind das?

Ein Behälter enthält $1,2\ \text{m}^3$ Wasser. Wie viele Flaschen mit $750$ ml können damit gefüllt werden?

Eine Bewässerungsgenossenschaft verbraucht in einer Woche $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ Wasser.

a) Gib diese Menge in Litern an.

b) Wenn sich der Verbrauch gleichmäßig auf die $7$ Tage der Woche verteilt, wie viele Liter werden pro Tag verbraucht?

c) Gib den täglichen Verbrauch in Kubikmetern an.

Im Naturwissenschaftsraum gibt es ein quaderförmiges Aquarium mit den Innenmaßen $60\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Höhe.

a) Schätze schnell, bevor du genau rechnest: Wenn du bedenkst, dass $1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}$, glaubst du, dass man zum Füllen mehr als $100$ Wasserflaschen mit $1,5\text{ Liter}$ oder weniger als $100$ braucht? Schreibe deine begründete Vorhersage auf.

b) Rechne die drei Abmessungen im Kopf in Dezimeter um und berechne das genaue Volumen des Aquariums in Kubikdezimetern und sein Fassungsvermögen in Litern.

c) Berechne, wie viele Flaschen mit $1,5\text{ Liter}$ genau nötig sind, um es vollständig zu füllen, und vergleiche diesen Wert mit deiner anfänglichen Schätzung. War deine Intuition richtig?

Ein Aufstellpool ist $3\ \text{m}$ lang, $2\ \text{m}$ breit und $0,75\ \text{m}$ tief.

a) Wie viele Liter Wasser passen in den Pool?

b) Wenn er mit einem Schlauch gefüllt wird, der $15$ Liter pro Minute abgibt, wie viele Stunden dauert es, bis er voll ist?

Eine Garage mit $45\ \text{m}^2$ Fläche wurde überflutet und das Wasser steht $0,6\ \text{m}$ hoch. Das Wasser wird mit einer Pumpe abgepumpt, die $45$ Liter pro Minute fördert.

a) Wie viele Liter Wasser stehen in der Garage?

b) Wie lange braucht die Pumpe, um sie zu leeren? Gib das Ergebnis in Stunden an.

Begründe, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind:

a) $1\ \text{dm}^3$ entspricht $1$ Liter.

b) $1\ \text{m}^3$ entspricht $100$ Litern.

c) $1\ \text{cm}^3$ Wasser hat eine Masse von $1$ Gramm.

d) Um von $\text{m}^3$ in $\text{cm}^3$ umzurechnen, multipliziert man mit $1\,000$.

Ein leerer Tank wiegt $12$ kg und gefüllt mit Diesel wiegt er $522$ kg. Wenn die Dichte von Diesel $0,85\ \text{kg/dm}^3$ beträgt, wie viele Liter Diesel enthält der Tank?

Ein Korkblock hat ein Volumen von $25\ \text{dm}^3$ und eine Dichte von $0,24\ \text{kg/dm}^3$.

a) Wie groß ist seine Masse?

b) Schwimmt er im Wasser? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Dichten.

c) Welches Volumen an Kork wäre nötig, um eine Masse von $30$ kg zu erhalten?

Ein Betonblock von $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ hat eine Dichte von $2\,400\ \text{kg/m}^3$.

a) Berechne sein Volumen und seine Masse.

b) Ein Kran kann bis zu $1,5$ Tonnen heben. Kann er den Block bewegen?

c) Könnte er zwei Blöcke gleichzeitig bewegen? Begründe deine Antwort.

Ein Eisblock von $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ hat eine Dichte von $0,92\ \text{kg/dm}^3$.

a) Berechne sein Volumen in Kubikdezimetern.

b) Wie groß ist seine Masse?

c) Beim Schmelzen hat das entstehende Wasser eine Dichte von $1\ \text{kg/dm}^3$. Welches Volumen nimmt es ein? Nimmt es mehr oder weniger Platz ein als das Eis? Woran liegt das deiner Meinung nach?

Um das Volumen eines Steins zu messen, tauchen wir ihn wie in der Abbildung gezeigt in ein zylinderförmiges Glas mit Wasser. Der Innendurchmesser des Glases beträgt $8$ cm und der Wasserstand steigt von $5$ cm auf $8$ cm.

a) Wie stark ist der Wasserstand gestiegen?

b) Berechne das Volumen des Steins in Kubikzentimetern (setze $\pi \approx 3,14$).

Eine Badewanne ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt. Marie steigt hinein und es laufen $35$ Liter Wasser über.

a) Wie groß ist das Volumen des eingetauchten Teils von Maries Körper in Kubikdezimetern?

b) Wenn Marie $32$ kg wiegt, wie groß ist die mittlere Dichte ihres Körpers in $\text{kg/dm}^3$? Vergleiche sie mit der Dichte von Wasser ($1\ \text{kg/dm}^3$) und erkläre, warum sie schwimmen kann.

Der Legende nach fand Archimedes heraus, wie man prüft, ob die Krone des Königs aus reinem Gold war, indem er das verdrängte Wasser beim Eintauchen maß. In der Abbildung wird eine Krone von $750$ g in einen Messzylinder mit Wasser getaucht.

a) Wie groß ist das Volumen der Krone?

b) Berechne ihre Dichte in $\text{g/cm}^3$.

c) Die Dichte von Gold ist $19,3\ \text{g/cm}^3$ und die von Silber $10,5\ \text{g/cm}^3$. Könnte die Krone aus massivem Gold sein? Begründe deine Antwort.