Vielfache, Teiler und Teilbarkeitsregeln

Eine Heuschrecke trainiert für einen Wettkampf. Bei jedem Sprung kommt sie genau $6$ Dezimeter weiter.

Schreibe die insgesamt zurückgelegte Strecke nach $1, 2, 3, 4, 5$ und $10$ Sprüngen auf. Wie heißen diese Zahlen in Bezug auf die $6$?

Die Gleichung $15 \cdot 4 = 60$ ist wahr. Vervollständige damit die folgenden Sätze mit den Wörtern Vielfaches oder Teiler:

1. a) Die Zahl $60$ ist ____ von $15$.
2. b) Die Zahl $4$ ist ____ von $60$.
3. c) Die Zahl $60$ ist ____ von $4$.
4. d) Die Zahl $15$ ist ____ von $60$.

Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und gib jeweils ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an:

1. a) Wenn eine Zahl ein Teiler von $10$ ist, dann ist sie auch ein Teiler aller Vielfachen von $10$ (wie $20, 30, 40...$).
2. b) Die Menge der Teiler einer Zahl ist unendlich.
3. c) Wenn eine Zahl $a$ ein Vielfaches von $b$ ist, dann ist $b$ ein Teiler von $a$.
4. d) Jede natürliche Zahl ist mindestens durch sich selbst und durch 1 teilbar.

Bestimme durch die nötigen Divisionen, welche der folgenden Zahlen Teiler von $24$ sind:

Merke: Eine Zahl ist Teiler einer anderen, wenn beim Dividieren der Rest $0$ ist.

Ein Tierheim hat eine Spende von $48$ Dosen Katzenfutter erhalten. Die Dosen sollen in kleinen Kartons gelagert werden, sodass in allen Kartons gleich viele Dosen sind und keine übrig bleibt.

1. a) Schreibe alle Teiler von $48$ auf.
2. b) Der Verantwortliche möchte, dass in jedem Karton mehr als $5$, aber weniger als $15$ Dosen sind. Welche Verpackungsmöglichkeiten gibt es? Gib jeweils die Anzahl der Dosen pro Karton und die Anzahl der benötigten Kartons an.

Eine Grafikdesignerin ordnet eine Galerie aus $30$ gleichen quadratischen Icons für eine Webseite an. Sie möchte sie zu einem vollständigen Rechteck anordnen (ohne dass Icons übrig bleiben).

1. a) Finde alle möglichen Anordnungen der Icons (zum Beispiel: $1$ Reihe mit $30$).
2. b) Welchen mathematischen Zusammenhang haben die Seitenlängen dieser Rechtecke mit der Zahl $30$?
3. c) Wenn die kürzere Seite des Rechtecks laut Design mindestens $3$ Icons haben muss, wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch?

Ein Bibliothekar muss Bücher in Regale einsortieren, in die in jedes Fach genau $3$ Bücher passen. Um schnell zu wissen, ob er die Regale füllen kann, ohne dass Bücher übrig bleiben, nutzt er die Teilbarkeitsregel für $3$.

Berechne die Quersumme der folgenden Zahlen und gib an, welche durch $3$ teilbar sind:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Vervollständige die folgende Tabelle in deinem Heft, indem du in jedes Feld JA oder NEIN einträgst. Wende dazu die Teilbarkeitsregeln an, die du gelernt hast:

Um das digitale Zahlenschloss des Spinds in der Turnhalle zu öffnen, muss Sarah einen vierstelligen Code der Form $5\text{.}2A4$ eingeben, wobei $A$ eine unbekannte Ziffer ist (von $0$ bis $9$). Sarah erinnert sich an zwei Bedingungen, die ihr Code erfüllt:

• Die Zahl ist durch $3$ teilbar.

• Die Zahl ist nicht durch $9$ teilbar.

1. a) Schreibe die Quersumme der Zahl in Abhängigkeit von $A$ auf und bestimme alle Werte, die die Ziffer $A$ annehmen kann, damit die Zahl ein Vielfaches von $3$ ist.
2. b) Schließe von den gefundenen Werten mit Begründung diejenigen aus, für die die Zahl durch $9$ teilbar ist. Welche gültigen vierstelligen Zahlen bleiben übrig?
3. c) Überprüfe, ob eine der übrig gebliebenen gültigen Zahlen auch durch $4$ teilbar ist. Wende dazu die Regel der letzten beiden Ziffern an, ohne die vollständige Division durchzuführen.

Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen sind oder ein Vielfaches von $4$ bilden.

Betrachte die folgenden Jahreszahlen und gib an, welche „besondere Jahre“ wären, weil sie durch $4$ teilbar sind:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

In einer Mathematikarbeit der Klasse 7 soll Markus mehrere Zahlen mithilfe der Teilbarkeitsregeln einordnen und schreibt die folgenden drei Aussagen auf sein Antwortblatt:

1. „Die Zahl $253$ ist durch $3$ teilbar, weil ihre letzte Ziffer $3$ ist.“

2. „Die Zahl $410$ ist durch $4$ teilbar, weil sie auf $0$ endet, und da $10$ gerade ist, kann man zweimal durch $2$ teilen.“

3. „Die Zahl $837$ ist durch $9$ teilbar, weil ihre Quersumme $8 + 3 + 7 = 18$ ist und $18$ ein Vielfaches von $9$ ist.“

Deine Aufgabe:

1. a) Gib mit Begründung an, welche der drei Aussagen von Markus falsch sind. Erkläre, welchen Denkfehler er jeweils gemacht hat und welche Regel er laut deinem Heft hätte anwenden müssen.
2. b) Wende die passenden Regeln auf die Zahlen $253$ und $410$ an und gib an, ob sie durch $3$ bzw. durch $4$ teilbar sind oder nicht.

Ersetze den Buchstaben $A$ durch eine Ziffer, sodass die entstehende Zahl ein Vielfaches von $9$ ist. Denke daran, dass ihre Quersumme ein Vielfaches von $9$ sein muss.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

Wende die Teilbarkeitsregel für $11$ an, um zu bestimmen, welche der folgenden Zahlen Vielfache von $11$ sind. Gib bei den Zahlen, die es nicht sind, an, was du addieren müsstest, damit sie es werden:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

Bestimme in jeder der folgenden Zahlen den Wert der fehlenden Ziffer, die durch den Buchstaben $A$ dargestellt wird, sodass die angegebene Bedingung erfüllt ist:

1. a) $24A$ ist sowohl durch $4$ als auch durch $3$ teilbar.
2. b) $51A$ ist durch $11$ teilbar.
3. c) $A72$ ist durch $9$, aber nicht durch $10$ teilbar.

Ein Konditor hat ein Blech Kekse gebacken. Er weiß, dass es mehr als $70$, aber weniger als $85$ Kekse sind. Verteilt er sie auf Schachteln mit je $6$ Stück, bleibt kein Keks übrig. Verteilt er sie auf Schachteln mit je $9$ Stück, bleibt ebenfalls keiner übrig.

1. a) Wie viele Kekse hat er genau gebacken?
2. b) Begründe deine Antwort mithilfe der Teilbarkeitsregeln für $2$ und $3$ und erkläre, warum die Zahl durch $6$ teilbar ist.

Auf einer Videospielmesse liegt die Besucherzahl zwischen $700$ und $750$. Wenn wir wissen, dass diese Zahl gleichzeitig durch $3$, durch $11$ und durch $2$ teilbar ist, wie viele Personen haben dann genau die Messe besucht? Erkläre, wie du die anderen Möglichkeiten ausgeschlossen hast.

Bestimme den Wert der unbekannten Ziffern $A$ und $B$ in der Zahl $5A1B$, wenn gilt:

• Die Zahl ist gleichzeitig durch $2$ und durch $3$ teilbar.

• Die Zahl ist ein Vielfaches von $11$.

• Die Ziffer $A$ ist ein Teiler von $16$ und die Ziffer $B$ ist ein Vielfaches von $4$ (ungleich null).

Begründe Schritt für Schritt, wie du Möglichkeiten ausschließt, bis du die richtige Zahl gefunden hast.