Die Menge der ganzen Zahlen

Im Alltag verwenden wir ganze Zahlen, um gegensätzliche Situationen auszudrücken. Ordne jeder der folgenden Situationen eine ganze Zahl (positiv oder negativ) zu:

1. a) Das Thermometer draußen zeigt $4$ Grad unter null an.
2. b) Du hast $15$ € Schulden bei einem Freund.
3. c) Ein Taucher befindet sich in $20$ Metern Tiefe.
4. d) Ein Flugzeug fliegt in $8.500$ Metern Höhe.
5. e) Du hast in einem Level deines Lieblingsvideospiels $50$ Punkte gewonnen.
6. f) Das Parkhaus des Einkaufszentrums liegt im dritten Untergeschoss.

Ordne die Zahlen der folgenden Liste zu: Gib an, welche zur Menge der natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$) gehören und welche ganze Zahlen ($\mathbb{Z}$), aber keine natürlichen Zahlen sind:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Ein Archäologe findet in einer Ausgrabungsstätte eine Münze. Bei seinen Nachforschungen stellt er fest, dass sie im Jahr $45$ v. Chr. geprägt wurde. Wenn der Archäologe im Jahr $2024$ n. Chr. lebt, beantworte Folgendes:

1. a) Welche ganze Zahl würdest du jedem Datum zuordnen?

1. b) Was ist die Gegenzahl des Prägejahres der Münze?

1. c) Stelle in einem Zeitstrahl, den du in dein Heft zeichnest, das Prägejahr der Münze und das Jahr, in dem der Archäologe lebt, ungefähr dar. Markiere das Jahr $0$ und gib an, welche Seite den Jahren v. Chr. und welche den Jahren n. Chr. entspricht.

Ein Temperatursensor in einem Kryotechnik-Labor zeigt zu Beginn $12\,^{\circ}\text{C}$ an (sieh dir die Skala an). Aufgrund eines Experiments sinkt die Temperatur um $18\,^{\circ}\text{C}$, steigt dann um $5\,^{\circ}\text{C}$ und fällt schließlich wieder um $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Stelle jede der Temperaturänderungen mit ganzen Zahlen dar.

1. b) Welche Endtemperatur zeigt der Sensor an?

1. c) Liegt die Endtemperatur über oder unter $0\,^{\circ}\text{C}$?

Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Berechne die folgenden Beträge:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Die Gegenzahl einer ganzen Zahl ist die Zahl mit demselben Betrag, aber mit anderem Vorzeichen. Schreibe die Gegenzahl der folgenden Zahlen auf:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Schreibe die ganzen Zahlen auf, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. Ihr Betrag ist größer als $2$ und kleiner als $6$.

2. Sie ist eine negative Zahl.

3. Wenn man ihre Gegenzahl addiert, ist das Ergebnis $0$.

Stelle die gefundenen Zahlen an einem Zahlenstrahl dar.

Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und gib jeweils ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an:

1. a) Wenn $a$ und $b$ zwei negative ganze Zahlen sind und $|a| < |b|$, dann gilt $a > b$.
2. b) Der Betrag einer ganzen Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.
3. c) Der Abstand zwischen einer beliebigen ganzen Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer eine gerade Zahl.
4. d) Wenn wir zur Gegenzahl einer Zahl ihren Betrag addieren, ist das Ergebnis immer null.

Vergleiche die folgenden Paare ganzer Zahlen mit den Zeichen „größer als“ ($>$) oder „kleiner als“ ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

Ordne die folgenden ganzen Zahlen von der kleinsten zur größten und verwende dabei das Zeichen $<$ zwischen ihnen:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

In einem Skigebiet wurden an vier Tagen die folgenden Tiefsttemperaturen gemessen. Ordne sie von der kleinsten zur größten und verwende dabei das Zeichen $<$:

• Montag: $-6$ $^\circ C$

• Dienstag: $+2$ $^\circ C$

• Mittwoch: $-9$ $^\circ C$

• Donnerstag: $0$ $^\circ C$

Im Physiklabor werden die Gefriertemperaturen verschiedener Flüssigkeiten untersucht. Die Ergebnisse sind:

• Flüssigkeit P: $-8$ °C

• Flüssigkeit Q: $-15$ °C

• Flüssigkeit R: $-3$ °C

• Flüssigkeit S: $-12$ °C

Ordne die Flüssigkeiten von der niedrigsten zur höchsten Temperatur mit dem Zeichen $<$ und erkläre, welche von ihnen den größten Betrag hat.

Ordne die folgenden mathematischen Ausdrücke der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten, nachdem du zuvor ihren Wert berechnet hast. Dabei bezeichnet $op(a)$ die Gegenzahl von $a$, also $op(a) = -a$:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Bestimme die Koordinaten $(x|y)$ der Punkte $P$ und $Q$ im folgenden Gitter. Denke daran: Die erste Zahl gehört zur horizontalen Achse (x-Achse), die zweite zur vertikalen Achse (y-Achse).

In einem Strategiespiel bewegt sich ein Piratenschiff auf einer Karte mit Koordinaten. Seine Startposition ist der Punkt $P(-3|2)$.

1. a) Wenn sich das Schiff $5$ Einheiten nach rechts bewegt, wie lautet dann seine neue x-Koordinate ($x$)?

1. b) Wenn es von dieser neuen Position aus $4$ Einheiten nach unten fährt, wie lautet dann seine y-Koordinate ($y$)?

1. c) Zeichne in dein Heft den Startpunkt und den Endpunkt (den des Schiffes nach den beiden Bewegungen) in ein Koordinatensystem.

Im folgenden Koordinatensystem startet ein Roboter im Punkt $P(-2|3)$. Er führt drei aufeinanderfolgende Bewegungen aus:

1. Er bewegt sich $5$ Einheiten nach rechts.

2. Er bewegt sich $7$ Einheiten nach unten.

3. Er bewegt sich $4$ Einheiten nach links.

In welchem Quadranten endet der Roboter? Mache das in deinem Heft. Gib die Endkoordinaten des Punktes an und berechne den Betrag der Summe seiner neuen x-Koordinate ($x$) und seiner neuen y-Koordinate ($y$).