Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Zum Üben verwenden wir zunächst die Methode, die Liste der Vielfachen aufzuschreiben. Schreibe die ersten $10$ Vielfachen der Zahlen $4$ und $5$ auf (ohne die Null). Bestimme anschließend das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von beiden.

Suche die erste Zahl, die in beiden Listen vorkommt.

Berechne das $\text{kgV}(3, 9)$ auf schnelle Weise. Achte genau auf die Beziehung zwischen den beiden Zahlen, bevor du mit dem Rechnen beginnst. Ist die eine ein Vielfaches der anderen? Begründe, ob du in diesem Fall viele Rechenschritte brauchst.

Im Regal eines Comicladens sollen „Manga“-Bände mit $12$ mm Dicke und „Graphic-Novel“-Bände mit $18$ mm Dicke gestapelt werden. Welche Höhe müssen beide Stapel mindestens erreichen, damit sie genau gleich hoch sind?

Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache der folgenden Zahlenpaare mithilfe der Primfaktorzerlegung:

1. a) $\text{kgV}(10, 15)$

1. b) $\text{kgV}(8, 12)$

1. c) $\text{kgV}(20, 30)$

Um das $\text{kgV}(6, 18)$ zu berechnen, zerlegt Lea beide Zahlen ($6 = 2 \cdot 3$ und $18 = 2 \cdot 3^2$) in Primfaktoren und wendet die allgemeine Regel an: gemeinsame und nicht gemeinsame Faktoren mit dem größten Exponenten. Markus dagegen behauptet, man müsse gar keine Zerlegung durchführen, da man auf den ersten Blick sehe, dass das Ergebnis $18$ ist.

1. a) Erkläre die theoretische Eigenschaft, die Markus nutzt, um die Antwort sofort ohne Rechnung zu geben.
2. b) Könnte Markus denselben gedanklichen Abkürzungstrick auch nutzen, um direkt das $\text{kgV}(6, 15)$ zu berechnen? Begründe, warum es im zweiten Fall sinnvoll ist, auf Leas Zerlegungsmethode zurückzugreifen.

Nele soll für eine Hausaufgabe das $\text{kgV}(12, 15)$ berechnen. In ihr Heft schreibt sie:

„Schritt 1: Ich zerlege in Primfaktoren: $12 = 2^2 \cdot 3$ und $15 = 3 \cdot 5$.

Schritt 2: Ich nehme die Faktoren mit dem kleineren Exponenten: Der einzige übereinstimmende Faktor ist die $3$.

Ergebnis: $\text{kgV}(12, 15) = 3$.“

1. a) Nenne die zwei Verständnisfehler, die Nele bei der Anwendung der Methode macht. Welchen mathematischen Begriff hat sie in ihrem Schritt 2 tatsächlich berechnet?
2. b) Korrigiere die Aufgabe in deinem Heft, indem du das richtige Ergebnis bestimmst, und begründe, warum die Zahl $3$ niemals ein Vielfaches von $12$ oder von $15$ sein könnte.

Um in einem Mathe-Videospiel ein Spezial-Level freizuschalten, musst du den Zugangscode finden. Der Code ist das kleinste gemeinsame Vielfache der folgenden drei Zahlen: $36$, $48$ und $60$.

Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und berechne den endgültigen Code.

Finde alle natürlichen Zahlen kleiner als $150$, die gemeinsame Vielfache von $4, 6$ und $9$ sind. Gehe dazu so vor:

1. a) Berechne zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}(4, 6, 9)$.
2. b) Schreibe die Reihe der Vielfachen dieses Wertes bis zur angegebenen Grenze auf.
3. c) Welches ist das größte Vielfache dieser drei Zahlen, das kleiner als $500$ ist?

Drei Glocken einer Kirche läuten in unterschiedlichen Abständen: Die erste läutet alle $6$ Minuten, die zweite alle $9$ Minuten und die dritte alle $12$ Minuten. Wenn alle drei um $10:00$ Uhr morgens gemeinsam geläutet haben, um wie viel Uhr läuten sie wieder gemeinsam?

Zwei Athleten trainieren auf einer Rundbahn. Lea braucht $60$ Sekunden für eine volle Runde und Adrian braucht $75$ Sekunden. Wenn sie gemeinsam an der Ziellinie starten, nach wie vielen Sekunden überqueren sie die Ziellinie wieder gleichzeitig? Wie viele Runden ist dann jeder gelaufen?

Lina organisiert eine Party und möchte Hotdogs kaufen. Die Würstchen gibt es in Packungen zu je $6$ Stück und die Brötchen in Beuteln zu je $8$ Stück. Wie viele Hotdogs kann sie mindestens zubereiten, sodass weder ein Würstchen noch ein Brötchen übrig bleibt? Wie viele Packungen von jedem Produkt muss sie kaufen?

Zwei Lichter einer Konzertbühne blinken in unterschiedlichem Rhythmus. Das orangefarbene Licht leuchtet alle $12$ Sekunden auf, das weiße Licht alle $15$ Sekunden. Wenn beide Lichter zu Beginn eines Liedes gleichzeitig aufgeleuchtet haben:

1. a) Nach wie vielen Sekunden leuchten sie zum ersten Mal wieder gleichzeitig auf?

1. b) Wie oft haben sie in den ersten $3$ Minuten des Liedes gleichzeitig geleuchtet?

Die Abbildung zeigt die ersten Aufleuchtzeitpunkte jedes Lichts.

Ein Sportgeschäft erhält eine Lieferung Fußbälle in Kartons zu je $15$ Stück und Basketbälle in Kartons zu je $20$ Stück. Das Geschäft möchte für eine Aktion von beiden Sorten gleich viele Bälle haben:

1. a) Wie viele Bälle jeder Sorte muss es mindestens haben?
2. b) Wie viele Kartons Fußbälle und wie viele Kartons Basketbälle muss es kaufen, um diese Anzahl zu erreichen?

Drei Schulbusse fahren um $08:00$ Uhr morgens vom selben Busbahnhof ab. Der Bus der Linie A kommt alle $45$ Minuten am Bahnhof vorbei, der der Linie B alle $60$ Minuten und der der Linie C alle $90$ Minuten.

Um wie viel Uhr treffen die drei Busse zum ersten Mal wieder am Bahnhof zusammen?

Am Bahnhof Méndez Álvaro (Madrid) fahren um 07:00 Uhr morgens drei Züge gleichzeitig ab: ein Zug der Linie C-1 (Abfahrt alle $12$ Minuten), einer der Linie C-5 (alle $8$ Minuten) und einer der Linie C-10 (alle $20$ Minuten).

1. a) Modelliere die Situation, indem du berechnest, nach wie vielen Minuten die drei Züge wieder gleichzeitig von diesem Bahnhof abfahren.
2. b) Um wie viel Uhr genau morgens findet dieses nächste Zusammentreffen statt?
3. c) Eine Durchsage auf den Anzeigetafeln des Bahnhofs behauptet, die drei Züge würden im Laufe desselben Vormittags, vor 13:00 Uhr, noch viermal zusammentreffen. Überprüfe rechnerisch, ob die Information der Anzeigetafeln wahr oder falsch ist.

Drei Musiker einer Jazzband üben ein rhythmisches Muster. Der Schlagzeuger schlägt das Becken alle $8$ Schläge, der Bassist spielt alle $12$ Schläge einen tiefen Ton und der Pianist spielt alle $15$ Schläge einen Akkord.

1. a) Wenn sie den Takt gleichzeitig beginnen, bei welchem Schlag erklingen alle drei Instrumente wieder gleichzeitig?
2. b) Wenn der Pianist alle $18$ Schläge statt alle $15$ Schläge spielen würde, würde es dann länger oder kürzer dauern, bis sie zusammentreffen? Begründe deine Antwort mit Rechnungen.

Der Leuchtturm einer Insel sendet alle $12$ Sekunden ein weißes Licht aus, ein benachbarter Leuchtturm alle $16$ Sekunden ein rotes Licht. Ein dritter Leuchtturm sendet alle $20$ Sekunden ein grünes Licht aus. Um $22:00$ Uhr wurden alle drei Lichter gleichzeitig gesehen.

1. a) Nach wie vielen Minuten und Sekunden treffen die drei Lichter jeweils wieder zusammen?
2. b) Wie oft treffen die drei Lichter von $22:00$ Uhr bis $23:00$ Uhr insgesamt zusammen? (Beachte, dass das erste Zusammentreffen um $22:00$ Uhr stattfindet.)

Wir wollen den Boden eines Tonstudios, der die Form eines perfekten Quadrats hat, mit rechteckigen Schallschutzplatten auslegen, die $18$ cm breit und $24$ cm lang sind.

Wie lang muss die Seite des Raumes mindestens sein, damit wir die Platten verlegen können, ohne eine zuschneiden zu müssen? Wie viele Platten brauchen wir insgesamt, um den ganzen Boden zu bedecken?

Finde eine Zahl zwischen $300$ und $400$, die gleichzeitig ein Vielfaches von $12$, $15$ und $18$ ist. Erkläre die Schritte, mit denen du sie mithilfe des kleinsten gemeinsamen Vielfachen gefunden hast.

An einer Haltestelle treffen sich um 08:00 Uhr morgens zwei Buslinien. Die Ringlinie A fährt alle $14$ Minuten, die Überlandlinie B alle $21$ Minuten.

1. a) Schätze ab und grenze das Intervall ein, bevor du das genaue Ergebnis berechnest: Ist es möglich, dass sie schon vor Ablauf von $21$ Minuten wieder zusammentreffen? Und nach mehr als $294$ Minuten ($14 \cdot 21$)? Begründe, warum das $\text{kgV}$ zweier Zahlen nie kleiner als die größere von beiden und nie größer als ihr Produkt sein kann.
2. b) Berechne das $\text{kgV}(14, 21)$ mithilfe der Primfaktorzerlegung und überprüfe, ob deine Abschätzung richtig war.
3. c) Um wie viel Uhr genau treffen sie sich an der Haltestelle zum ersten Mal wieder?

Ein Sammler von Actionfiguren hat weniger als $1.000$ Figuren. Er weiß: Wenn er sie in Kartons zu je $18$ verpackt, bleibt keine übrig. Verpackt er sie in Kartons zu je $20$, bleibt ebenfalls keine übrig, und wenn er sie zu je $24$ in $24$ gruppiert, geht die Zählung ebenfalls genau auf.

1. a) Wie viele Figuren hat er mindestens?
2. b) Wenn er weiß, dass die Gesamtzahl der Figuren zwischen $700$ und $800$ liegt, wie viele Figuren hat er dann genau?

Wir wollen einen massiven Würfel aus Spielzeugsteinen bauen, die $15$ cm lang, $10$ cm breit und $6$ cm hoch sind.

1. a) Wie lang muss die Kantenlänge des kleinsten Würfels sein, den wir bauen können, ohne einen Stein zu zerschneiden?
2. b) Wie viele Spielzeugsteine brauchen wir insgesamt, um diesen Würfel zu bauen?

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen $24$ und $b$ ist gleich $120$. Das heißt, $\text{kgV}(24, b) = 120$.

1. a) Zerlege sowohl die Zahl $24$ als auch das Ergebnis $120$ in Primfaktoren.
2. b) Folgere, welcher Primfaktor zwingend in der Zerlegung von $b$ vorkommen muss, und erkläre, warum keine Zahl ohne diesen Primfaktor die Bedingung erfüllen könnte.
3. c) Finde die drei kleinsten Werte, die die Zahl $b$ annehmen kann, wenn $b > 1$ gilt. Überprüfe in jedem Fall, dass das $\text{kgV}(24, b)$ weiterhin genau $120$ ergibt.
4. d) Könnte $b = 120$ sein? Begründe, ob das möglich ist, anhand der Teilbarkeitsbeziehung zwischen $24$ und $120$.

Eine Keramikwerkstatt in Talavera de la Reina stellt rechteckige Fliesen mit der Breite $15\text{ cm}$ und der Länge $24\text{ cm}$ her. Sie sollen auf einer Wand ohne Zuschneiden und alle gleich ausgerichtet so angebracht werden, dass eine möglichst kleine quadratische Fläche entsteht.

1. a) Begründe genau, warum die Seitenlänge dieses Quadrats ein gemeinsames Vielfaches von $15$ und $24$ sein muss, und berechne, wie lang die Seite des kleinsten Quadrats ist, das sie legen können.
2. b) Wie viele rechteckige Fliesen werden insgesamt benötigt, um dieses erste Quadrat zu bedecken? Begründe deine Antwort, indem du die Maße des Quadrats mit denen der Fliese in Beziehung setzt.
3. c) Ein Kunde möchte ein größeres quadratisches Wandbild bestellen, aber die Werkstatt hat nur einen Karton mit $140$ Fliesen dieses Modells. Begründe, ob sie genug Fliesen haben, um die nächstgrößere mögliche Quadratgröße zu legen, ohne dass für das Wandbild eine Fliese fehlt oder übrig bleibt.