Terme aufstellen, einsetzen und umformen · Mathematik Gymnasium 6

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Er kann aus Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variablen bestehen. Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, meist ein Buchstabe wie $x$, $n$ oder $a$.

Beispiel: Ein Heft kostet $0{,}80\,€$. Dann kosten $n$ Hefte $0{,}80 \cdot n$ Euro. Für jede Anzahl $n$ gilt derselbe Term.

Schreibweise: Das Malzeichen zwischen Zahl und Variable darf man weglassen. Statt $3 \cdot x$ schreibt man $3x$. Die Zahl steht vorn: $3x$, nicht $x3$.

Beim Aufstellen von Termen helfen Signalwörter:

Text	Term
eine Zahl $x$ um $7$ vergrößern	$x + 7$
eine Zahl $x$ um $7$ verkleinern	$x - 7$
das Dreifache von $x$	$3x$
die Hälfte von $x$	$x : 2$
$x$ um $7$ vergrößern, dann verdreifachen	$(x + 7) \cdot 3$

Achte auf die Reihenfolge der Rechnung: Soll zuerst addiert und dann multipliziert werden, brauchst du eine Klammer.

Üben★☆☆

Stelle einen Term auf. a) Ein Heft kostet $0{,}80\,€$. Was kosten $n$ Hefte? b) Eine Zahl wird um $7$ vergrößert und dann verdreifacht. c) Der Umfang eines Quadrats mit…

Stelle einen Term auf.

a) Ein Heft kostet $0{,}80\,€$. Was kosten $n$ Hefte?

b) Eine Zahl wird um $7$ vergrößert und dann verdreifacht.

c) Der Umfang eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$.

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Einsetzen und Wertetabelle

Wenn du für die Variable eine Zahl einsetzt, rechnest du den Term wie eine gewöhnliche Aufgabe aus. Dabei gilt: Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich.

Mehrere Einsetzungen schreibt man übersichtlich in eine Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$2$	$5$
$3x + 5$	$5$	$8$	$11$	$20$

Manchmal ist der Wert gegeben und die Variable gesucht. Beispiel: Für welches $x$ ist $2x + 4 = 26$? Überlege rückwärts: $26 - 4 = 22$, und $22 : 2 = 11$. Also $x = 11$. Mache zur Kontrolle die Probe: $2 \cdot 11 + 4 = 26$. ✓

Zurück zum Taxi: Der Preis bei $x$ Kilometern ist $4 + 2x$ (in Euro). Kostet die Fahrt $26\,€$, ist man $11$ km gefahren.

Üben★☆☆

Berechne den Wert des Terms $3x + 5$ für a) $x = 2$ b) $x = 10$ c) $x = 0$

Berechne den Wert des Terms $3x + 5$ für

a) $x = 2$

b) $x = 10$

c) $x = 0$

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Üben★★☆

Ein Taxiunternehmen in Düsseldorf verlangt eine Grundgebühr von $4\,€$ und $2\,€$ pro gefahrenem Kilometer. a) Stelle einen Term für den Preis bei $x$ Kilometern auf. b)…

Ein Taxiunternehmen in Düsseldorf verlangt eine Grundgebühr von $4\,€$ und $2\,€$ pro gefahrenem Kilometer.

a) Stelle einen Term für den Preis bei $x$ Kilometern auf.

b) Berechne den Preis für $3$ km, $8$ km und $12{,}5$ km.

c) Wie viele Kilometer ist man gefahren, wenn die Fahrt $26\,€$ kostet?

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Üben★★☆

Ein Rechteck hat die Länge $a$ und die Breite $3\,\text{cm}$. a) Stelle Terme für den Umfang und den Flächeninhalt auf. b) Berechne beide Werte für $a = 7\,\text{cm}$…

Ein Rechteck hat die Länge $a$ und die Breite $3\,\text{cm}$.

a) Stelle Terme für den Umfang und den Flächeninhalt auf.

b) Berechne beide Werte für $a = 7\,\text{cm}$ und $a = 12{,}5\,\text{cm}$.

c) Für welches $a$ ist der Umfang genau $30\,\text{cm}$?

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Terme vereinfachen

Manche Terme kann man kürzer schreiben. Gleichartige Summanden darfst du zusammenfassen: Es sind die, die dieselbe Variable haben.

$4x + 3x = 7x$, denn vier $x$ und drei $x$ sind zusammen sieben $x$. Wie bei „4 Äpfel + 3 Äpfel = 7 Äpfel".

Bei Produkten kannst du Zahlen zuerst multiplizieren: $5 \cdot y \cdot 2 = 10y$ (Vertauschungsgesetz).

Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) kannst du am Rechteck sehen: Ein Rechteck mit Höhe $a$ und Breite $b + c$ hat den gleichen Flächeninhalt wie die beiden Teilrechtecke zusammen.

Nützlich ist das Gesetz auch zum vorteilhaften Rechnen: $7 \cdot 98 + 7 \cdot 2 = 7 \cdot (98 + 2) = 7 \cdot 100 = 700$. Hier klammerst du den gemeinsamen Faktor aus. Rückwärts: $12 \cdot 15 - 12 \cdot 5 = 12 \cdot (15 - 5) = 12 \cdot 10 = 120$. Das Gesetz gilt auch für die Differenz.

Üben★☆☆

Vereinfache die Terme. a) $4x + 3x$ b) $9a - 2a + a$ c) $5 \cdot y \cdot 2$

Vereinfache die Terme.

a) $4x + 3x$

b) $9a - 2a + a$

c) $5 \cdot y \cdot 2$

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Üben★★☆

Berechne vorteilhaft mit dem Distributivgesetz und gib bei a) und b) jeweils den Term mit Klammer an. a) $7 \cdot 98 + 7 \cdot 2$ b) $12 \cdot 15 - 12 \cdot 5$ c)…

Berechne vorteilhaft mit dem Distributivgesetz und gib bei a) und b) jeweils den Term mit Klammer an.

a) $7 \cdot 98 + 7 \cdot 2$

b) $12 \cdot 15 - 12 \cdot 5$

c) Vereinfache $6 \cdot (x + 4) - 3x$ und berechne den Wert für $x = 5$.

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Terme vergleichen und begründen

Zwei Terme heißen gleichwertig, wenn sie für jede eingesetzte Zahl denselben Wert haben. Vergleiche $2 \cdot (x + 3)$ und $2x + 6$:

$x$	$0$	$1$	$2$
$2 \cdot (x + 3)$	$6$	$8$	$10$
$2x + 6$	$6$	$8$	$10$
$2x + 3$	$3$	$5$	$7$

Der dritte Term weicht ab. Ein einziger Wert, bei dem zwei Terme verschieden sind, reicht aus, um zu zeigen, dass sie nicht gleichwertig sind (das ist ein Gegenbeispiel).

Umgekehrt beweist eine Tabelle nie, dass zwei Terme immer gleich sind: Man kann nur endlich viele Zahlen testen, und bei der nächsten könnte es anders sein. Den Beweis liefert ein Rechengesetz: $2 \cdot (x + 3) = 2x + 2 \cdot 3 = 2x + 6$ gilt wegen des Distributivgesetzes für jedes $x$.

Üben★★★

Die Terme $T_1 = 2 \cdot (x + 3)$ und $T_2 = 2x + 6$ sowie $T_3 = 2x + 3$ sind gegeben. a) Fülle eine Wertetabelle für $x = 0, 1, 2, 5, 10$ aus. b) Welche Terme sind für…

Die Terme $T_1 = 2 \cdot (x + 3)$ und $T_2 = 2x + 6$ sowie $T_3 = 2x + 3$ sind gegeben.

a) Fülle eine Wertetabelle für $x = 0, 1, 2, 5, 10$ aus.

b) Welche Terme sind für alle Werte gleich? Begründe mit einem Rechengesetz.

c) Begründe, warum man mit einer Wertetabelle allein nicht beweisen kann, dass zwei Terme immer gleich sind.

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Üben★★★

Leonie denkt sich eine Zahl $x$. Sie rechnet: Zahl verdoppeln, $8$ addieren, Ergebnis halbieren, dann die gedachte Zahl subtrahieren. a) Stelle einen Term für die…

Leonie denkt sich eine Zahl $x$. Sie rechnet: Zahl verdoppeln, $8$ addieren, Ergebnis halbieren, dann die gedachte Zahl subtrahieren.

a) Stelle einen Term für die Rechnung auf.

b) Berechne das Ergebnis für $x = 3$, $x = 10$ und $x = 25$.

c) Vereinfache den Term und erkläre, warum das Ergebnis immer gleich ist.

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Muster mit Termen beschreiben

Terme beschreiben auch Muster. Beispiel: Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt.

Das erste Quadrat braucht $4$ Hölzer. Jedes weitere Quadrat teilt sich eine Seite mit dem vorigen und braucht nur $3$ neue Hölzer. Für $n$ Quadrate gilt also: $4 + 3 \cdot (n - 1)$, zusammengefasst $3n + 1$.

Probe: $n = 3$ gibt $3 \cdot 3 + 1 = 10$. ✓

Auch mit Dezimalzahlen hilft das Distributivgesetz: $0{,}25 \cdot 7 + 0{,}25 \cdot 13 = 0{,}25 \cdot (7 + 13) = 0{,}25 \cdot 20 = 5$. Mit Brüchen genauso: $\frac{1}{2} \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.

Man kann das Muster auch anders sehen: ein Streichholz links plus $n$ Gruppen aus je $3$ Hölzern, also $1 + 3n$. Verschiedene Sichtweisen führen zu gleichwertigen Termen.

Üben★★★

Ein Streichholz-Muster besteht aus aneinandergereihten Quadraten. Ein Quadrat benötigt $4$ Streichhölzer, zwei aneinanderliegende Quadrate $7$, drei Quadrate in einer…

Ein Streichholz-Muster besteht aus aneinandergereihten Quadraten. Ein Quadrat benötigt $4$ Streichhölzer, zwei aneinanderliegende Quadrate $7$, drei Quadrate in einer Reihe $10$ Streichhölzer.

a) Wie viele Streichhölzer braucht man für $5$ Quadrate in einer Reihe?

b) Stelle einen Term für $n$ Quadrate auf und begründe ihn am Muster.

c) Kann man mit genau $100$ Streichhölzern eine solche Reihe legen, ohne dass Hölzer übrig bleiben? Begründe.

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Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Berechne den Wert des Terms $3x + 5$ für a) $x = 2$ b) $x = 10$ c) $x = 0$★☆☆ Stelle einen Term auf. a) Ein Heft kostet $0{,}80\,€$. Was kosten $n$ Hefte? b) Eine Zahl…★☆☆ Vereinfache die Terme. a) $4x + 3x$ b) $9a - 2a + a$ c) $5 \cdot y \cdot 2$

Auf einen Blick

Ein Term ist ein Rechenausdruck mit Zahlen und Variablen, z. B. $4 + 2x$.
Beim Aufstellen achtest du auf die Reihenfolge der Rechenschritte und setzt bei Bedarf Klammern.
Beim Einsetzen ersetzt du die Variable durch eine Zahl und rechnest: Klammer zuerst, Punkt vor Strich.
Vereinfachen: gleichartige Summanden zusammenfassen ($4x + 3x = 7x$), Klammern mit dem Distributivgesetz auflösen ($a \cdot (b + c) = ab + ac$).
Eine Wertetabelle kann Terme widerlegen, aber nicht beweisen; den Beweis liefern die Rechengesetze.