Näherungswerte und Runden

Betrachte die folgenden Dezimalzahlen und runde sie auf Zehntel:

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

Für ein Experiment im Naturwissenschaftsunterricht müssen wir genau $4,576$ Gramm Salz abmessen. Vervollständige die folgende Tabelle mit den beiden verlangten Näherungsverfahren:

Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und vervollständige sie, indem du die angegebenen Näherungen für die Dezimalzahl $n = 14,3728$ durchführst.

Ein 100-m-Läufer hat auf der Stoppuhr eine Zeit von $12,45$ Sekunden erzielt. Wir wollen diese Zeit mit nur einer Nachkommastelle angeben:

1. a) Runde auf Zehntel.
2. b) Wurde auf- oder abgerundet? Erkläre, warum du dir die Hundertstelstelle angesehen hast.

Auf dem Zahlenstrahl ist die Zeit des Läufers mit einem Punkt zwischen $12,4$ und $12,5$ markiert, und jeder kleine Strich steht für $0,01$ s.

Drei Läufer haben an einem 60-Meter-Lauf in der Schule teilgenommen. Die von der Stoppuhr gemessenen Zeiten waren:

• Lea: $8,429$ Sekunden.

• Markus: $8,421$ Sekunden.

• Adrian: $8,425$ Sekunden.

1. a) Wenn die Ergebnisse auf der Website der Schule auf Hundertstel gerundet veröffentlicht werden, welche Zeit erscheint für jeden?
2. b) Sieht es bei den gerundeten Ergebnissen so aus, als hätten alle gleich lang gebraucht? Stimmt das nach den ursprünglichen Zeiten?

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl, auf dem eine Dezimalzahl $x$ mit einer Lupe dargestellt ist.

Der orangefarbene Punkt stellt die Zahl $x = 3,774$ dar:

1. a) Zwischen welchen zwei Hundertsteln liegt die Zahl $x$?
2. b) Wenn du $x$ durch Runden auf Zehntel nähern solltest, welchen Wert würdest du wählen? Begründe deine Antwort, indem du die Lage des Punktes auf dem Zahlenstrahl im Verhältnis zum Mittelpunkt ($3,75$) betrachtest.

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl, auf dem zwei Näherungswerte der Zahl $X$ dargestellt sind.

Das Abschneiden auf Hundertstel ergibt $3,14$ und das Runden auf Hundertstel ergibt $3,15$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe jede:

• a) Die Tausendstelziffer von $X$ muss größer oder gleich $5$ sein.

• b) Die Zahl $X$ könnte $3,1449$ sein.

• c) Wenn wir $0,001$ zur Zahl $X$ addieren, ergibt das Abschneiden auf Hundertstel weiterhin $3,14$.

In einem Videospielladen kostet ein Poster $7,82$ €. Du hast nur Ein-Euro-Münzen dabei und willst ungefähr wissen, wie viele volle Euro es kostet:

Auf dem Zahlenstrahl der Abbildung sind die beiden langen Striche zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen (die mit „?“ markierten) und jeder kleine Strich ist ein Zehntel.

1. a) Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt der Preis?
2. b) Welcher der beiden Zahlen liegt er näher? Runde auf Einer.

Stell dir vor, du bezahlst einen Einkauf von $14,23$ € mit einem $20$-€-Schein. Der Kassierer hat keine kleinen Cent-Münzen und schlägt vor, den Preis auf den nächsten Zehntel-Euro zu runden (also auf ein Vielfaches von $10$ Cent, mit nur einer Nachkommastelle).

1. a) Wie lautet der neue, gerundete Preis?
2. b) Wie viel Geld bekommst du nach dem Runden zurück?

Wir wollen einen Schutzzaun um einen kleinen rechteckigen Garten aufstellen. Beim Messen mit einem digitalen Maßband erhalten wir für die Seiten $4,56$ Meter und $3,27$ Meter.

1. a) Berechne den Umfang des Gartens.
2. b) Der Gartenbesitzer kauft den Zaun in einem Baumarkt, der nur ganze Meter verkauft, und rundet immer auf (Näherung nach oben auf ganze Einheiten), damit sicher nichts fehlt. Wie viele Meter Zaun kauft er?

Der Leichtathletikverein einer Gemeinde im Münsterland will eine durchgehende weiße Linie rund um seine Trainingsbahn aufmalen. Die gesamte Länge, die gestrichen werden muss, beträgt genau $345\text{ m}$. Laut Herstellerangaben kann man mit $1\text{ Liter}$ Spezialfarbe $25\text{ m}$ Linie streichen. Im örtlichen Baumarkt wird die Farbe ausschließlich in verschlossenen Eimern zu $1\text{ Liter}$ verkauft (Bruchteile eines Eimers werden nicht verkauft).

1. a) Führe die Division mit zwei Nachkommastellen durch, um zu erfahren, wie viele Liter Farbe theoretisch genau benötigt werden.
2. b) Wenn du die übliche Rundungsregel auf ganze Einheiten auf dieses Ergebnis anwendest, wie viele Eimer würdest du kaufen? Könntest du mit dieser Menge die ganze Bahn streichen, oder würde Farbe fehlen? Überprüfe das, indem du berechnest, wie viele Meter du mit diesen Eimern streichen könntest.
3. c) Begründe, welche Art von bewusster Näherung bei dieser Materialeinkaufsaufgabe angewendet werden muss und wie viele Eimer schließlich gekauft werden müssen, damit die Arbeit vollständig erledigt werden kann.

Denke nach und löse dieses Rätsel über Dezimalzahlen:

„Ich bin eine Zahl mit drei Nachkommastellen. Wenn du mich auf Hundertstel abschneidest, bin ich $7,42$. Wenn du mich aber auf Hundertstel rundest, bin ich $7,43$.“

Schreibe drei verschiedene Zahlen auf, die diese Bedingungen erfüllen. Welches ist die kleinste mögliche Zahl? Und welches die größte?

Wir suchen eine geheimnisvolle Dezimalzahl $N$ mit drei Nachkommastellen. Um sie zu finden, haben wir vier Hinweise:

1. Ihr ganzzahliger Teil ist die Zahl $7$.

2. Wenn wir $N$ auf Zehntel abschneiden, erhalten wir $7,4$.

3. Wenn wir $N$ auf Hundertstel runden, erhalten wir $7,46$.

4. Ihre Tausendstelziffer ist eine ungerade Zahl größer als $3$.

1. a) Finde alle möglichen Dezimalzahlen, die diese vier Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
2. b) Nimm die kleinste der gefundenen Zahlen und schneide sie auf Hundertstel ab. Stimmt dieses Abschneiden mit dem Runden auf Hundertstel aus Hinweis 3 überein? Erkläre, warum diese Übereinstimmung zustande kommt oder nicht.

Finde eine Dezimalzahl, die gleichzeitig diese drei „Grenzbedingungen“ erfüllt:

• Sie ist größer als $7,45$ und kleiner als $7,46$.

• Wenn man sie auf Tausendstel rundet, ist das Ergebnis $7,458$.

• Die Summe ihrer vier Nachkommastellen ist gleich $25$.

Ist diese Zahl eindeutig oder gibt es mehrere Möglichkeiten? Begründe deine Antwort.