Volumen und Oberflächeninhalt von Quader und Würfel
Im Biologieraum einer Schule in Köln steht ein Aquarium. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Und wie viel Glas braucht man, um es zu bauen? Das sind zwei verschiedene Fragen: Die erste fragt nach dem Volumen, die zweite nach der Oberfläche. In dieser Seite lernst du, beide für Quader und Würfel zu berechnen. Am Ende beantworten wir die Aquariumfrage.
Das Volumen eines Quaders
Du kennst schon Einheitswürfel: Ein Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{cm}$ hat das Volumen $1\,\text{cm}^3$. Das Volumen sagt, wie viele solcher Würfel in einen Körper passen.
Beispiel: Ein Quader ist $4\,\text{cm}$ lang, $3\,\text{cm}$ breit und $2\,\text{cm}$ hoch. In die Bodenschicht passen $4 \cdot 3 = 12$ Würfel. Es gibt $2$ solche Schichten übereinander. Also passen $12 \cdot 2 = 24$ Würfel hinein.
Warum? Die Grundfläche $a \cdot b$ sagt, wie viele Einheitswürfel in eine Schicht passen. Die Höhe $c$ sagt, wie viele Schichten es sind.
Ein Quader hat die Kantenlängen $a = 5\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$ und $c = 3\,\text{cm}$. Berechne sein Volumen.
Ein Quader hat die Kantenlängen $a = 5\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$ und $c = 3\,\text{cm}$. Berechne sein Volumen.
Ein Aquarium in einer Schule in Köln ist $80\,\text{cm}$ lang, $40\,\text{cm}$ breit und $50\,\text{cm}$ hoch. a) Berechne das Volumen des Aquariums in Litern. b) Das…
Ein Aquarium in einer Schule in Köln ist $80\,\text{cm}$ lang, $40\,\text{cm}$ breit und $50\,\text{cm}$ hoch.
- a) Berechne das Volumen des Aquariums in Litern.
- b) Das Aquarium wird nur bis $10\,\text{cm}$ unter den oberen Rand gefüllt. Wie viele Liter Wasser sind im Aquarium?
Volumen und Rauminhalt in Litern
Aus der Unterstufe weißt du: $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}$ und $1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{ml}$. Bei Gefäßen wie Aquarien rechnest du deshalb oft in $\text{dm}^3$ und liest das Ergebnis in Litern ab.
Umrechnungszahl zwischen Volumeneinheiten: $1000$. Es gilt $1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3$.
Ein offener Quader (ohne Deckel) hat eine Grundfläche von $40\,\text{cm} \times 25\,\text{cm}$. Er wird mit Wasser gefüllt: Es sind $15$ Liter eingefüllt. a) Wie hoch…
Ein offener Quader (ohne Deckel) hat eine Grundfläche von $40\,\text{cm} \times 25\,\text{cm}$. Er wird mit Wasser gefüllt: Es sind $15$ Liter eingefüllt.
- a) Wie hoch steht das Wasser im Behälter?
- b) Nun wird ein massiver Würfel mit der Kantenlänge $10\,\text{cm}$ vollständig untergetaucht. Um wie viele Zentimeter steigt der Wasserspiegel, wenn nichts überläuft?
- c) Der Behälter ist $20\,\text{cm}$ hoch. Wie viele solcher Würfel passen höchstens hinein, ohne dass Wasser überläuft?
Der Oberflächeninhalt
Eine Geschenkschachtel besteht aus Pappe. Wie viel Pappe brauchst du? Dazu musst du alle Flächen zusammenzählen, die den Körper umschließen: die Oberfläche. Ihre Größe ist der Oberflächeninhalt $O$ und wird in $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ usw. angegeben.
Ein Quader hat $6$ Rechtecke als Seitenflächen. Je zwei gegenüberliegende sind gleich groß:
-
Boden und Deckel: $2 \cdot (a \cdot b)$
-
vorne und hinten: $2 \cdot (a \cdot c)$
-
links und rechts: $2 \cdot (b \cdot c)$
Ein Würfel hat die Kantenlänge $6\,\text{cm}$. a) Berechne das Volumen des Würfels. b) Berechne den Oberflächeninhalt des Würfels.
Ein Würfel hat die Kantenlänge $6\,\text{cm}$.
- a) Berechne das Volumen des Würfels.
- b) Berechne den Oberflächeninhalt des Würfels.
Ein Quader ist $8\,\text{cm}$ lang, $3\,\text{cm}$ breit und $2\,\text{cm}$ hoch. Berechne seinen Oberflächeninhalt.
Ein Quader ist $8\,\text{cm}$ lang, $3\,\text{cm}$ breit und $2\,\text{cm}$ hoch. Berechne seinen Oberflächeninhalt.
Eine Geschenkschachtel aus Pappe in Form eines Quaders (ohne Klebefalze) ist $30\,\text{cm}$ lang, $20\,\text{cm}$ breit und $10\,\text{cm}$ hoch. a) Wie viel…
Eine Geschenkschachtel aus Pappe in Form eines Quaders (ohne Klebefalze) ist $30\,\text{cm}$ lang, $20\,\text{cm}$ breit und $10\,\text{cm}$ hoch.
- a) Wie viel Quadratzentimeter Pappe werden für die gesamte Schachtel benötigt?
- b) Die Schachtel soll außen mit Geschenkpapier beklebt werden. Eine Rolle reicht für $0{,}5\,\text{m}^2$. Reicht eine Rolle für $8$ solche Schachteln? Begründe.
Ein Schwimmbecken in Dortmund ist $25\,\text{m}$ lang, $12\,\text{m}$ breit und $2\,\text{m}$ tief. Die Wände und der Boden sollen neu gefliest werden. Das Becken hat…
Ein Schwimmbecken in Dortmund ist $25\,\text{m}$ lang, $12\,\text{m}$ breit und $2\,\text{m}$ tief. Die Wände und der Boden sollen neu gefliest werden. Das Becken hat keine Abdeckung.
- a) Berechne die zu fliesende Fläche.
- b) Ein Quadratmeter Fliesen kostet verlegt $45\,€$. Berechne die Gesamtkosten.
Rückwärts rechnen und Vergrößern
Manchmal ist das Volumen gegeben und eine Kante gesucht. Dann gilt $V = G \cdot h$, also $h = V : G$.
Was passiert, wenn man vergrößert?
Verdoppelst du die Kante eines Würfels von $a$ auf $2a$, dann gilt:
-
Oberfläche: $O = 6 \cdot (2a)^2 = 6 \cdot 4a^2 = 4 \cdot (6a^2)$. Faktor 4.
-
Volumen: $V = (2a)^3 = 8a^3$. Faktor 8.
Bei gleichem Material ist das Gewicht proportional zum Volumen. Der doppelt so lange Würfel wiegt also 8-mal so viel.
Kantenlänge eines Würfels aus der Oberfläche
Ist die Oberfläche eines Würfels gegeben, gilt $O = 6 \cdot a^2$. Du teilst zuerst durch $6$ und suchst dann die Zahl, die mit sich selbst multipliziert $a^2$ ergibt (die Quadratwurzel). Wenn sie nicht glatt aufgeht, grenzt du sie durch Probieren ein.
Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6\,\text{cm}$ und das Volumen $468\,\text{cm}^3$. a) Berechne die Höhe des Quaders. b) Berechne den…
Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6\,\text{cm}$ und das Volumen $468\,\text{cm}^3$.
- a) Berechne die Höhe des Quaders.
- b) Berechne den Oberflächeninhalt.
- c) Ein Würfel soll denselben Oberflächeninhalt wie der Quader haben. Bestimme seine Kantenlänge und vergleiche die Volumina beider Körper.
Die Kantenlänge eines Würfels wird verdoppelt. a) Um welchen Faktor wächst der Oberflächeninhalt? Begründe mit einer allgemeinen Rechnung für die Kantenlänge $a$. b) Um…
Die Kantenlänge eines Würfels wird verdoppelt.
- a) Um welchen Faktor wächst der Oberflächeninhalt? Begründe mit einer allgemeinen Rechnung für die Kantenlänge $a$.
- b) Um welchen Faktor wächst das Volumen? Begründe ebenfalls.
- c) Ein Würfel mit $3\,\text{cm}$ Kantenlänge wird aus Holz gefertigt und wiegt $21{,}6\,\text{g}$. Wie schwer wäre ein Würfel aus demselben Holz mit $6\,\text{cm}$ Kantenlänge?
Zurück zum Anfang: Für das Aquarium aus dem Anfang rechnest du das Volumen mit $V = a \cdot b \cdot c$ und liest es in Litern ab. Das benötigte Glas ist ein Oberflächenproblem: Ohne Deckel zählst du fünf Flächen.