Muster und Regelmäßigkeiten

Betrachte die folgenden Zahlenfolgen und schreibe jeweils die zwei nächsten Glieder auf. Erkläre die zugrunde liegende Regel:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

Die Fibonacci-Folge beginnt so: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; jedes Glied entsteht, indem man die beiden vorherigen addiert. Schreibe die nächsten vier Glieder auf.

Betrachte die Folge $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Schreibe die nächsten drei Glieder auf.

• Welches ist das Glied an der Stelle $25$? Ist es positiv oder negativ?

Bei einer Bastelarbeit werden Dreiecke in einer Kette aus Streichhölzern gelegt, wie die Abbildung zeigt.

• Wie viele Streichhölzer braucht man für Figur 4?

• Und für Figur 5?

Betrachte die Folge von Figuren aus Punkten im Bild.

• Wie viele Punkte hat Figur 4? Und Figur 5?

• Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Nummer der Figur und der Anzahl der Punkte?

Ein Bauunternehmen stapelt Bausteine zu Treppen, wie die Abbildung zeigt.

• Zähle die Bausteine der Figuren 1, 2 und 3 und berechne, wie viele Bausteine Figur 4 hat.

• Wie viele Bausteine hat Figur 10?

• Schreibe einen allgemeinen Term für die Anzahl der Bausteine von Figur $n$ auf. (Tipp: Ergänze jede Treppe mit ihrer gespiegelten Treppe zu einem Rechteck.)

Bei einem Padel-Turnier im Stadtteil spielt jedes Paar genau einmal gegen jedes andere Paar.

• Vervollständige eine Tabelle mit der Anzahl der Spiele des Turniers, wenn $2,\ 3,\ 4$ und $5$ Paare teilnehmen.

• Bestimme einen allgemeinen Term für die Anzahl der Spiele bei $n$ Paaren. (Tipp: Jedes Paar spielt gegen $n - 1$ Gegner, aber so wird jedes Spiel doppelt gezählt.)

• Wie viele Spiele werden gespielt, wenn $12$ Paare teilnehmen?

Die Folge $a_n$ hat die explizite Darstellung $a_n = 4n - 1$. Berechne die Glieder $a_1$, $a_5$ und $a_{20}$.

Betrachte die Folge $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Bestimme ihre explizite Darstellung $a_n$.

• Prüfe, ob $157$ ein Glied der Folge ist, und gib gegebenenfalls an, an welcher Stelle es steht.

• Gehört $200$ zur Folge? Begründe deine Antwort.

Betrachte die Folge $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Folgenglieder. Welchem Muster folgen diese Differenzen?

• Vergleiche die Folgenglieder mit den Quadratzahlen und bestimme die explizite Darstellung $a_n$.

• Berechne $a_{15}$.

Ein Schüler behauptet, die explizite Darstellung der Folge $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ sei $a_n = 2n$. Gib an, ob die Behauptung wahr oder falsch ist, begründe deine Antwort und schreibe die richtige explizite Darstellung auf.

Eine Folge beginnt bei $7$ und jedes Glied entsteht, indem man $6$ zum vorherigen addiert. Schreibe die ersten fünf Glieder auf und berechne das Glied an der Stelle $10$.

Eine Folge ist rekursiv so definiert: $a_1 = 2$ und $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Berechne die ersten fünf Folgenglieder.

• Vergleiche jedes Folgenglied mit den Potenzen von $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) und beschreibe das Muster, das du erkennst.

• Welchen Wert hat $a_{10}$ nach diesem Muster?

In seinem Buch Liber Abaci (1202) stellte Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, folgendes Problem: Ein neugeborenes Kaninchenpaar braucht einen Monat, um erwachsen zu werden; von da an bekommt es jeden Monat ein neues Jungenpaar, das seinerseits derselben Regel folgt. Kein Kaninchen stirbt.

• Gehe von einem einzigen neugeborenen Paar aus und vervollständige eine Tabelle mit der Anzahl der Paare am Ende jedes der ersten sechs Monate.

• Schreibe die Rekursionsvorschrift auf, der die Folge folgt.

• Wie viele Paare gibt es nach $10$ Monaten?

Zwei Mitschüler streiten über die explizite Darstellung der Folge, die so beginnt: $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana sagt, sie sei $a_n = 2^n$.

• Bruno sagt, sie könne $b_n = n^2 - n + 2$ sein.

• Überprüfe, dass beide Terme die ersten drei Folgenglieder liefern.

• Berechne das vierte Folgenglied nach jedem der beiden Terme. Stimmen sie überein?

• Ziehe Schlussfolgerungen: Bestimmen die ersten drei Folgenglieder einer Folge ihre explizite Darstellung eindeutig?

Die Dreieckszahlen sind $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (Punkte, die ein Dreieck bilden) und die Quadratzahlen sind $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Überprüfe anhand der ersten vier Fälle, dass jede Quadratzahl (ab der $4$) die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist.

• Schreibe diese Eigenschaft als algebraische Gleichung mit den expliziten Darstellungen $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ und $C_n = n^2$ auf und beweise sie.

• Veranschauliche mit einer Punktzeichnung, warum die Eigenschaft für $C_4 = 16$ gilt.

Die Collatz-Vermutung, 1937 aufgestellt und bis heute unbewiesen, geht von einer beliebigen natürlichen Zahl aus und wendet diese Regel an: Ist die Zahl gerade, wird sie durch $2$ geteilt; ist sie ungerade, wird sie mit $3$ multipliziert und $1$ addiert. Die Vermutung besagt, dass man immer bei $1$ ankommt.

• Wende die Regel ausgehend von $7$ an und schreibe die vollständige Folge bis zur $1$ auf.

• Tu dasselbe ausgehend von $11$.

• Überprüfe die Vermutung für drei selbst gewählte Zahlen, von denen eine größer als $50$ ist. Glaubst du, dass das Überprüfen vieler Fälle beweist, dass die Vermutung stimmt? Kommentiere deine Antwort.