Aufgaben: Muster und Regelmäßigkeiten

Betrachte die folgenden Zahlenfolgen und schreibe jeweils die zwei nächsten Glieder auf. Erkläre die zugrunde liegende Regel:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

Bei einer Bastelarbeit werden Dreiecke in einer Kette aus Streichhölzern gelegt, wie die Abbildung zeigt.

• Wie viele Streichhölzer braucht man für Figur 4?

• Und für Figur 5?

Die Folge $a_n$ hat die explizite Darstellung $a_n = 4n - 1$. Berechne die Glieder $a_1$, $a_5$ und $a_{20}$.

Eine Folge beginnt bei $7$ und jedes Glied entsteht, indem man $6$ zum vorherigen addiert. Schreibe die ersten fünf Glieder auf und berechne das Glied an der Stelle $10$.

Betrachte die Folge von Figuren aus Punkten im Bild.

• Wie viele Punkte hat Figur 4? Und Figur 5?

• Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Nummer der Figur und der Anzahl der Punkte?

Die Fibonacci-Folge beginnt so: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; jedes Glied entsteht, indem man die beiden vorherigen addiert. Schreibe die nächsten vier Glieder auf.

Martina beginnt das Schuljahr mit $10\ \text{€}$ in ihrer Spardose und legt von da an jede Woche $3\ \text{€}$ zurück.

• Schreibe die Folge des angesparten Geldes am Ende jeder der ersten fünf Wochen auf.

• Wie viel Geld hat sie am Ende der Woche $12$?

Betrachte die Folge $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Schreibe die nächsten drei Glieder auf.

• Welches ist das Glied an der Stelle $25$? Ist es positiv oder negativ?

Lea beobachtet ein Muster aus Türmen, die aus quadratischen Bausteinen gebaut sind: Turm 1 hat 5 Bausteine, Turm 2 hat 8 Bausteine und Turm 3 hat 11 Bausteine. Als sie bemerkt, dass in jedem Schritt 3 Bausteine hinzukommen, behauptet sie: „Da in jeder Stufe 3 Bausteine addiert werden und der erste Turm 5 hat, lautet die explizite Darstellung der Gesamtzahl der Bausteine von Turm $n$ so: $a_n = 3 \cdot n + 5$.“

1. a) Berechne die Werte, die Leas Formel für $n = 1$, $n = 2$ und $n = 3$ liefert, und vergleiche sie mit den tatsächlichen Bausteinen jedes Turms.
2. b) Finde den Denkfehler, den Lea beim Verknüpfen des festen Teils des Musters mit dem in jedem Schritt wachsenden Teil macht.
3. c) Leite den richtigen Term der expliziten Darstellung $a_n$ aus der Struktur der Figur her (indem du erkennst, wie viele Bausteine fest sind und wie viele je nach Schrittnummer hinzukommen), und überprüfe, dass er mit den drei bekannten Fällen übereinstimmt.

Ein Grundprinzip beim Untersuchen von Regelmäßigkeiten ist, dass wenige Anfangsglieder nicht eindeutig eine Folge festlegen.

1. a) Schreibe die ersten vier Glieder der Folge auf, deren explizite Darstellung $a_n = 2^n$ lautet.
2. b) Entwirf die explizite Darstellung oder die Bildungsvorschrift einer anderen Folge $b_n$, die genau die beiden folgenden Bedingungen erfüllt: Sie stimmt mit $a_n$ in den ersten drei Werten überein ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ und $b_3 = 8$), ihr viertes Glied ist aber echt verschieden ($b_4 \neq 16$).
3. c) Begründe anhand dieses Beispiels, warum die Überprüfung, dass eine Formel für $n = 1$, $n = 2$ und $n = 3$ funktioniert, kein mathematischer Beweis dafür ist, dass sie für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt.

Ein Bauunternehmen stapelt Bausteine zu Treppen, wie die Abbildung zeigt.

• Zähle die Bausteine der Figuren 1, 2 und 3 und berechne, wie viele Bausteine Figur 4 hat.

• Wie viele Bausteine hat Figur 10?

• Schreibe einen allgemeinen Term für die Anzahl der Bausteine von Figur $n$ auf. (Tipp: Ergänze jede Treppe mit ihrer gespiegelten Treppe zu einem Rechteck.)

Betrachte die Folge $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Bestimme ihre explizite Darstellung $a_n$.

• Prüfe, ob $157$ ein Glied der Folge ist, und gib gegebenenfalls an, an welcher Stelle es steht.

• Gehört $200$ zur Folge? Begründe deine Antwort.

Die Abbildung zeigt, wie ein Quadrat aus $4 \times 4$ Punkten durch Anlegen von L-förmigen Schichten aufgebaut werden kann.

1. a) Schreibe die Summe auf, die die Figur anhand der Punktzahl jeder Schicht darstellt, und überprüfe das Ergebnis.
2. b) Formuliere eine Vermutung: Welche Summe ergeben die ersten $n$ ungeraden Zahlen?
3. c) Überprüfe deine Vermutung für $n = 6$.

Der Hörsaal einer Schule hat in der ersten Reihe $12$ Sitzplätze, und jede weitere Reihe hat $3$ Sitzplätze mehr als die vorherige.

• Gib die Anzahl der Sitzplätze der ersten vier Reihen an.

• Bestimme die explizite Darstellung $a_n$, die die Sitzplätze der Reihe $n$ angibt.

• Wenn der Hörsaal $15$ Reihen hat, wie viele Sitzplätze hat dann die letzte Reihe?

Eine Folge ist rekursiv so definiert: $a_1 = 2$ und $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Berechne die ersten fünf Folgenglieder.

• Vergleiche jedes Folgenglied mit den Potenzen von $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) und beschreibe das Muster, das du erkennst.

• Welchen Wert hat $a_{10}$ nach diesem Muster?

Betrachte die Folge $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Folgenglieder. Welchem Muster folgen diese Differenzen?

• Vergleiche die Folgenglieder mit den Quadratzahlen und bestimme die explizite Darstellung $a_n$.

• Berechne $a_{15}$.

Bei einem Padel-Turnier im Stadtteil spielt jedes Paar genau einmal gegen jedes andere Paar.

• Vervollständige eine Tabelle mit der Anzahl der Spiele des Turniers, wenn $2,\ 3,\ 4$ und $5$ Paare teilnehmen.

• Bestimme einen allgemeinen Term für die Anzahl der Spiele bei $n$ Paaren. (Tipp: Jedes Paar spielt gegen $n - 1$ Gegner, aber so wird jedes Spiel doppelt gezählt.)

• Wie viele Spiele werden gespielt, wenn $12$ Paare teilnehmen?

Ein Schüler behauptet, die explizite Darstellung der Folge $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ sei $a_n = 2n$. Gib an, ob die Behauptung wahr oder falsch ist, begründe deine Antwort und schreibe die richtige explizite Darstellung auf.

Auf einer Strandpromenade werden durchgehende Bänke aufgestellt, indem regelmäßige sechseckige Betonmodule in einer geraden Linie aneinandergesetzt werden. Wird nur ein einzelnes Sechsmodul aufgestellt, bleiben seine 6 Außenseiten zum Sitzen frei. Werden zwei Module hintereinander verbunden, teilen sie eine gemeinsame innere Seite (die unbenutzbar wird), sodass insgesamt 10 Seiten frei bleiben. Werden drei Module in einer Reihe verbunden, bleiben 14 Seiten zum Sitzen frei.

1. a) Schätze zunächst ohne Formeln, aber begründet: Wenn 25 Sechsecksmodule aneinandergesetzt werden, liegt die Gesamtzahl der freien Seiten dann näher bei 80, bei 100 oder bei 150? Erkläre, womit du die anderen Werte ausschließt.
2. b) Modelliere die Situation, indem du die explizite Darstellung $L_n$ herleitest, die die Anzahl der freien Seiten in Abhängigkeit von der Anzahl $n$ der verbundenen Module angibt. Trenne dabei algebraisch die Seiten, die die Endmodule beitragen, von denen, die jedes mittlere Modul beiträgt.
3. c) Berechne den genauen Wert von $L_{25}$, vergleiche ihn mit deiner Schätzung und beurteile, ob das Ergebnis bestätigt, dass deine anfängliche Überlegung richtig war.

Der städtische Verleih von Elektrofahrrädern erweitert seine Stationen entlang einer Allee. Die erste Station hat 14 Ladeplätze. Um dem erwarteten Anstieg der Nutzerzahlen in Richtung Stadtrand gerecht zu werden, sieht der Mobilitätsplan vor, dass jede neue Station 4 Ladeplätze mehr hat als die unmittelbar vorherige Station (die Station 2 hat also 18 Ladeplätze, die Station 3 hat 22 usw.).

1. a) Definiere mit einer rekursiven Formel die Anzahl $a_n$ der Ladeplätze der Station $n$. Gib dazu ausdrücklich das Anfangsglied $a_1$ und die Beziehung an, mit der man $a_n$ aus $a_{n-1}$ erhält.
2. b) Leite die explizite Darstellung $a_n$ her, mit der man direkt berechnen kann, wie viele Ladeplätze eine beliebige Station $n$ hat, ohne alle Zwischenstationen berechnen zu müssen.
3. c) Die Stadt erhält ein festes Budget für genau 70 Ladeplätze, um eine einzige Station der Allee auszustatten. Stelle die zugehörige Gleichung mit der expliziten Darstellung auf und löse sie, um zu prüfen, ob es eine Station gibt, die genau diese 70 Ladeplätze benötigt, oder ob Material übrig bleibt. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

In der Kantine eines Ferienlagers werden quadratische Tische in einer Reihe zusammengestellt, damit die Teilnehmer sitzen können, wie in der Abbildung gezeigt.

• Wie viele Personen können sitzen, wenn $4$ Tische zusammengestellt werden?

• Bestimme die explizite Darstellung, die die Anzahl der Plätze bei $n$ Tischen angibt.

• Zum Abschlussabend kommen $42$ Personen. Wie viele Tische müssen mindestens zusammengestellt werden, damit alle Platz haben?

Zwei Mitschüler streiten über die explizite Darstellung der Folge, die so beginnt: $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana sagt, sie sei $a_n = 2^n$.

• Bruno sagt, sie könne $b_n = n^2 - n + 2$ sein.

• Überprüfe, dass beide Terme die ersten drei Folgenglieder liefern.

• Berechne das vierte Folgenglied nach jedem der beiden Terme. Stimmen sie überein?

• Ziehe Schlussfolgerungen: Bestimmen die ersten drei Folgenglieder einer Folge ihre explizite Darstellung eindeutig?

Betrachte die Folge von Brüchen $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Bestimme ihre explizite Darstellung $a_n$.

• Berechne $a_{10}$ und $a_{100}$ auf drei Nachkommastellen.

• Die Folgenglieder werden immer größer, aber kann ein Folgenglied größer als $1$ werden? Begründe deine Antwort anhand des Terms der expliziten Darstellung.

Zenon von Elea (5. Jahrhundert v. Chr.) beschäftigte sich mit unendlichen Summen. Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $1$ vor, von dem die Hälfte schraffiert wird; danach die Hälfte des verbleibenden Teils; danach die Hälfte dessen, was noch übrig ist, und so weiter.

• Schreibe den Bruchteil des Quadrats auf, der nach jedem der ersten vier Schritte schraffiert ist.

• Bestimme die explizite Darstellung $s_n$ des schraffierten Bruchteils nach $n$ Schritten. (Tipp: Beachte, dass in jedem Schritt noch $\frac{1}{2^n}$ des Quadrats zu schraffieren bleibt.)

• Wenn der Vorgang unbegrenzt fortgesetzt würde, welchem Wert würde sich die schraffierte Fläche nähern?

In seinem Buch Liber Abaci (1202) stellte Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, folgendes Problem: Ein neugeborenes Kaninchenpaar braucht einen Monat, um erwachsen zu werden; von da an bekommt es jeden Monat ein neues Jungenpaar, das seinerseits derselben Regel folgt. Kein Kaninchen stirbt.

• Gehe von einem einzigen neugeborenen Paar aus und vervollständige eine Tabelle mit der Anzahl der Paare am Ende jedes der ersten sechs Monate.

• Schreibe die Rekursionsvorschrift auf, der die Folge folgt.

• Wie viele Paare gibt es nach $10$ Monaten?

Das Pascalsche Dreieck wird konstruiert, indem man am Rand Einsen setzt und jedes innere Feld mit der Summe der beiden darüberstehenden Zahlen füllt:

• Addiere die Zahlen jeder der fünf Zeilen und schreibe die Folge dieser Summen auf.

• Bestimme die explizite Darstellung dieser Folge.

• Wie groß ist die Summe der Zahlen in der Zeile $12$?

Die Dreieckszahlen sind $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (Punkte, die ein Dreieck bilden) und die Quadratzahlen sind $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Überprüfe anhand der ersten vier Fälle, dass jede Quadratzahl (ab der $4$) die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist.

• Schreibe diese Eigenschaft als algebraische Gleichung mit den expliziten Darstellungen $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ und $C_n = n^2$ auf und beweise sie.

• Veranschauliche mit einer Punktzeichnung, warum die Eigenschaft für $C_4 = 16$ gilt.

Die Collatz-Vermutung, 1937 aufgestellt und bis heute unbewiesen, geht von einer beliebigen natürlichen Zahl aus und wendet diese Regel an: Ist die Zahl gerade, wird sie durch $2$ geteilt; ist sie ungerade, wird sie mit $3$ multipliziert und $1$ addiert. Die Vermutung besagt, dass man immer bei $1$ ankommt.

• Wende die Regel ausgehend von $7$ an und schreibe die vollständige Folge bis zur $1$ auf.

• Tu dasselbe ausgehend von $11$.

• Überprüfe die Vermutung für drei selbst gewählte Zahlen, von denen eine größer als $50$ ist. Glaubst du, dass das Überprüfen vieler Fälle beweist, dass die Vermutung stimmt? Kommentiere deine Antwort.

Für die dekorative Beleuchtung eines Auditoriums wird ein dreieckiges Glühbirnenfeld entworfen: Die erste Reihe hat 1 Glühbirne, die zweite Reihe hat 2 Glühbirnen, die dritte hat 3 Glühbirnen und so weiter bis zur Reihe $n$, die $n$ Glühbirnen enthält. Es soll die Gesamtzahl $T_n$ der Glühbirnen berechnet werden, aus denen eine dreieckige Anordnung mit $n$ Reihen besteht.

Zwei Techniker schlagen unterschiedliche Methoden vor:

• Marcos schlägt eine rekursive Beziehung vor: $T_1 = 1$ und $T_n = T_{n-1} + n$, wobei Reihe für Reihe aufsummiert wird.

• Elena schlägt eine geometrische Methode vor: Man verdoppelt die Figur gedanklich mit einem identischen, umgekehrten Dreieck, sodass beide zusammen ein Rechteck mit den Maßen $n \times (n+1)$ Glühbirnen bilden, und berechnet $T_n$ als die Hälfte der Gesamtzahl dieses Rechtecks.

1. a) Entwickle Elenas Vorschlag algebraisch, um den expliziten Term für $T_n$ in Abhängigkeit von $n$ zu erhalten.
2. b) Wende beide Methoden an, um zu berechnen, wie viele Glühbirnen für ein Feld mit $n = 60$ Reihen benötigt werden, und prüfe, ob beide zum selben Ergebnis führen.
3. c) Vergleiche die beiden Alternativen kritisch: Wenn die Stadt einen Posten von 1830 Glühbirnen hat und wissen möchte, wie viele Reihen das Feld genau haben wird, das damit gebaut werden kann, welche der beiden Methoden ist dann effizienter und direkter? Begründe außerdem, in welchem Szenario beim Entwerfen oder beim schrittweisen Programmieren Marcos' Ansatz praktischer wäre als der von Elena.

Ein Telekommunikationsunternehmen baut in einem Technologiepark ein Netz von Repeatern auf. Um die Verbindung bei möglichen Ausfällen abzusichern, muss jeder Repeater mit allen anderen über je einen eigenen direkten Glasfaserkanal verbunden sein.

• Bei 2 Repeatern wird 1 direkter Kanal benötigt.

• Bei 3 Repeatern werden 3 direkte Kanäle benötigt.

• Bei 4 Repeatern werden 6 direkte Kanäle benötigt.

• Bei 5 Repeatern werden 10 direkte Kanäle benötigt.

Ein Installateur betrachtet diese vier Werte und sagt: „Da das Muster für 2, 3, 4 und 5 Repeater funktioniert, vermute ich, dass die Formel für $n$ Repeater $C_n = \dfrac{n^2 - n}{2}$ lautet, aber ich kann nicht sicher sein, ob sie bei 30 Repeatern versagt."

1. a) Beweise algebraisch, dass die Vermutung für jede natürliche Zahl $n \ge 2$ stimmt: Überlege, wie viele Kanäle von jedem der $n$ Repeater ausgehen, und begründe klar, warum man das erhaltene Produkt unbedingt durch 2 teilen muss.
2. b) Erkläre anhand deines Beweises den Unterschied zwischen einer numerischen Überprüfung von Einzelfällen und einem strengen algebraischen Beweis eines Musters für alle $n$.
3. c) Wenn das zugewiesene technische Budget höchstens 136 Glasfaserkanäle finanzieren kann, stelle eine quadratische Gleichung auf und berechne die maximale Anzahl an Repeatern, die vollständig miteinander verbunden werden können, ohne die finanzielle Grenze zu überschreiten.