Aufgaben: Volumenmessung

Rechne in die angegebenen Einheiten um:

a) $3\ \text{m}^3$ in Kubikdezimeter.

b) $4\,500\ \text{dm}^3$ in Kubikmeter.

c) $0,75\ \text{dm}^3$ in Kubikzentimeter.

Gib in Kubikdezimetern an: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.

Gib in mehrnamiger Schreibweise an: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.

Ergänze in deinem Heft:

a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$

b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ Liter

c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ Liter

In welcher Einheit würdest du das Volumen jedes dieser Gegenstände angeben? Wähle zwischen $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ und $\text{hm}^3$ und begründe deine Wahl:

a) Ein Zuckerwürfel.

b) Ein Rucksack.

c) Das Wasser einer Talsperre.

d) Ein Hallenbad.

Von den drei vorgeschlagenen Werten für jedes Volumen ist nur einer sinnvoll. Wähle ihn aus und begründe deine Antwort:

a) Eine Limonadendose: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ oder $3,3\ \text{dm}^3$.

b) Eine Waschmaschine: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ oder $2,5\ \text{m}^3$.

c) Ein Glas Wasser: $25$ ml, $250$ ml oder $2,5$ l.

Betrachte die Stufenleiter der Volumeneinheiten in der Abbildung.

a) Mit welcher Zahl wird multipliziert, wenn man eine Stufe nach unten geht? Und durch welche wird geteilt, wenn man eine Stufe nach oben geht?

b) Gib mithilfe der Stufenleiter $2,4\ \text{m}^3$ in Kubikdezimetern und in Kubikzentimetern an.

Ein Wasserbehälter hat ein Volumen von $2,5\ \text{m}^3$. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Wie viele Kanister mit $5$ Litern könnten gefüllt werden?

Mia muss $3,4\text{ m}^3$ in Liter umrechnen, um zu wissen, wie viel Wasser ein aufblasbares Kinderplanschbecken braucht. In ihr Heft hat sie das folgende Vorgehen geschrieben:

„Da $1\text{ dm}^3$ gleich $1\text{ Liter}$ ist, rechne ich zuerst in Kubikdezimeter um: $3,4\text{ m}^3 = 340\text{ dm}^3$, weil man von Metern zu Dezimetern eine Stufe nach unten geht und man in der Tabelle für jede Dimension der Ebene eine Null anhängt oder das Komma um eine Stelle verschiebt, also zwei Nullen. Also passen $340\text{ Liter}$ hinein.“

a) Finde den Fehler, den Mia bei der Umrechnung der Volumeneinheiten gemacht hat.

b) Erkläre anhand der Vorstellung eines Würfels mit der Kantenlänge $1\text{ m}$, der aus kleinen Würfeln von $1\text{ dm}$ besteht, warum man beim Abstieg um eine Volumenstufe mit $1\,000$ und nicht mit $10$ oder $100$ multipliziert.

c) Korrigiere Mias Rechnungen und bestimme das tatsächliche Fassungsvermögen des Beckens in Litern.

Im Naturwissenschaftsraum gibt es ein quaderförmiges Aquarium mit den Innenmaßen $60\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Höhe.

a) Schätze schnell, bevor du genau rechnest: Wenn du bedenkst, dass $1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}$, glaubst du, dass man zum Füllen mehr als $100$ Wasserflaschen mit $1,5\text{ Liter}$ oder weniger als $100$ braucht? Schreibe deine begründete Vorhersage auf.

b) Rechne die drei Abmessungen im Kopf in Dezimeter um und berechne das genaue Volumen des Aquariums in Kubikdezimetern und sein Fassungsvermögen in Litern.

c) Berechne, wie viele Flaschen mit $1,5\text{ Liter}$ genau nötig sind, um es vollständig zu füllen, und vergleiche diesen Wert mit deiner anfänglichen Schätzung. War deine Intuition richtig?

Gib in Kubikmetern an und berechne: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Gib das Ergebnis auch in Hektolitern an.

Bei einem Unwetter sind $45$ Liter pro Quadratmeter gefallen.

a) Wie vielen Millimetern Wasserhöhe entspricht dieser Regen?

b) Wie viele Liter sind auf einen Garten von $60\ \text{m}^2$ gefallen?

c) Wie viele Kubikmeter sind das?

Ein Behälter enthält $1,2\ \text{m}^3$ Wasser. Wie viele Flaschen mit $750$ ml können damit gefüllt werden?

Ein Aufstellpool ist $3\ \text{m}$ lang, $2\ \text{m}$ breit und $0,75\ \text{m}$ tief.

a) Wie viele Liter Wasser passen in den Pool?

b) Wenn er mit einem Schlauch gefüllt wird, der $15$ Liter pro Minute abgibt, wie viele Stunden dauert es, bis er voll ist?

Ein leerer Tank wiegt $12$ kg und gefüllt mit Diesel wiegt er $522$ kg. Wenn die Dichte von Diesel $0,85\ \text{kg/dm}^3$ beträgt, wie viele Liter Diesel enthält der Tank?

Um das Volumen eines Steins zu messen, tauchen wir ihn wie in der Abbildung gezeigt in ein zylinderförmiges Glas mit Wasser. Der Innendurchmesser des Glases beträgt $8$ cm und der Wasserstand steigt von $5$ cm auf $8$ cm.

a) Wie stark ist der Wasserstand gestiegen?

b) Berechne das Volumen des Steins in Kubikzentimetern (setze $\pi \approx 3,14$).

Eine Badewanne ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt. Marie steigt hinein und es laufen $35$ Liter Wasser über.

a) Wie groß ist das Volumen des eingetauchten Teils von Maries Körper in Kubikdezimetern?

b) Wenn Marie $32$ kg wiegt, wie groß ist die mittlere Dichte ihres Körpers in $\text{kg/dm}^3$? Vergleiche sie mit der Dichte von Wasser ($1\ \text{kg/dm}^3$) und erkläre, warum sie schwimmen kann.

Ein Korkblock hat ein Volumen von $25\ \text{dm}^3$ und eine Dichte von $0,24\ \text{kg/dm}^3$.

a) Wie groß ist seine Masse?

b) Schwimmt er im Wasser? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Dichten.

c) Welches Volumen an Kork wäre nötig, um eine Masse von $30$ kg zu erhalten?

Eine Saftgenossenschaft entwirft eine Kartonverpackung in Form eines Quaders. Um die Handelsvorschriften einzuhalten, muss die Verpackung genau $1\text{ Liter}$ Saft enthalten und zusätzlich oben einen flüssigkeitsfreien Raum von $50\text{ cm}^3$ haben, damit nichts beim Öffnen überschwappt.

a) Wie groß muss das gesamte Innenvolumen der Verpackung in Kubikzentimetern ($\text{cm}^3$) sein?

b) Wenn die Grundfläche der Verpackung aus ergonomischen Gründen ein Rechteck von $7\text{ cm}$ Breite und $10\text{ cm}$ Länge sein soll, wie hoch muss die Packung genau sein?

c) Wenn die Abfüllmaschine keine Packungen akzeptiert, die höher als $12\text{ cm}$ sind, schlage neue ganzzahlige Innenmaße für Länge, Breite und Höhe (in Zentimetern) vor, die das erforderliche Gesamtvolumen genau beibehalten.

Um den Bewässerungsbehälter des Schulgartens zu füllen, wurde Wasser aus drei verschiedenen Quellen gesammelt: Ein Fass liefert $0,45\text{ m}^3$, ein weiterer Behälter enthält $280\text{ dm}^3$ und ein Regenwassersammler liefert $70\,000\text{ cm}^3$. Wir wollen wissen, wie viele Gießkannen mit $8\text{ Liter}$ mit dem gesamten gesammelten Volumen gefüllt werden können. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Wege vor:

• Claras Weg: Zuerst jede der drei Mengen in Kubikdezimeter (Liter) umrechnen, addieren und die Summe durch $8$ teilen.

• Davids Weg: Alle Mengen als Dezimalzahlen in Kubikmetern angeben, addieren, die Endsumme in Kubikzentimeter umrechnen und durch $8\,000\text{ cm}^3$ teilen.

a) Führe die Rechnungen Schritt für Schritt nach beiden Methoden durch und überprüfe, dass man auf dasselbe Ergebnis kommt.

b) Welche der beiden Methoden hältst du für effizienter und sicherer, um sich nicht beim Verschieben von Kommas oder Anhängen von Nullen zu verrechnen? Begründe deine Wahl anhand der Beziehungen zwischen den Einheiten des metrischen Systems und den Hohlmaßen.

Eine Bewässerungsgenossenschaft verbraucht in einer Woche $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ Wasser.

a) Gib diese Menge in Litern an.

b) Wenn sich der Verbrauch gleichmäßig auf die $7$ Tage der Woche verteilt, wie viele Liter werden pro Tag verbraucht?

c) Gib den täglichen Verbrauch in Kubikmetern an.

Ein Betonblock von $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ hat eine Dichte von $2\,400\ \text{kg/m}^3$.

a) Berechne sein Volumen und seine Masse.

b) Ein Kran kann bis zu $1,5$ Tonnen heben. Kann er den Block bewegen?

c) Könnte er zwei Blöcke gleichzeitig bewegen? Begründe deine Antwort.

Der Legende nach fand Archimedes heraus, wie man prüft, ob die Krone des Königs aus reinem Gold war, indem er das verdrängte Wasser beim Eintauchen maß. In der Abbildung wird eine Krone von $750$ g in einen Messzylinder mit Wasser getaucht.

a) Wie groß ist das Volumen der Krone?

b) Berechne ihre Dichte in $\text{g/cm}^3$.

c) Die Dichte von Gold ist $19,3\ \text{g/cm}^3$ und die von Silber $10,5\ \text{g/cm}^3$. Könnte die Krone aus massivem Gold sein? Begründe deine Antwort.

Ein Stausee hat ein Fassungsvermögen von $0,45\ \text{km}^3$. Nach einem Dürrejahr ist er zu $62\%$ seiner Kapazität gefüllt.

a) Wie viele Kubikhektometer Wasser enthält er?

b) Wie viele Liter sind das? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

c) Wie viele Kubikhektometer fehlen, um ihn ganz zu füllen?

Beim Umrechnen von $2,5\ \text{m}^3$ in Kubikzentimeter schreibt Mihai in sein Heft: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.

a) Erkläre den Fehler, den er gemacht hat.

b) Führe die Umrechnung richtig durch.

c) Wie viele Liter sind $2,5\ \text{m}^3$?

Eine Garage mit $45\ \text{m}^2$ Fläche wurde überflutet und das Wasser steht $0,6\ \text{m}$ hoch. Das Wasser wird mit einer Pumpe abgepumpt, die $45$ Liter pro Minute fördert.

a) Wie viele Liter Wasser stehen in der Garage?

b) Wie lange braucht die Pumpe, um sie zu leeren? Gib das Ergebnis in Stunden an.

Begründe, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind:

a) $1\ \text{dm}^3$ entspricht $1$ Liter.

b) $1\ \text{m}^3$ entspricht $100$ Litern.

c) $1\ \text{cm}^3$ Wasser hat eine Masse von $1$ Gramm.

d) Um von $\text{m}^3$ in $\text{cm}^3$ umzurechnen, multipliziert man mit $1\,000$.

Ein Eisblock von $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ hat eine Dichte von $0,92\ \text{kg/dm}^3$.

a) Berechne sein Volumen in Kubikdezimetern.

b) Wie groß ist seine Masse?

c) Beim Schmelzen hat das entstehende Wasser eine Dichte von $1\ \text{kg/dm}^3$. Welches Volumen nimmt es ein? Nimmt es mehr oder weniger Platz ein als das Eis? Woran liegt das deiner Meinung nach?

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) misst bei einem Herbststurm in einem Ort eine Niederschlagsmenge von $65\text{ l/m}^2$. Das Dach der städtischen Sporthalle ist flach und hat eine rechteckige Fläche von $40\text{ m}$ Länge und $25\text{ m}$ Breite. Das gesamte Wasser, das auf dieses Dach fällt, wird in eine unterirdische würfelförmige Zisterne mit der Kantenlänge $4\text{ m}$ geleitet, die vor Beginn des Regens bereits $12\,000\text{ Liter}$ Wasser enthielt.

a) Zeige begründet unter Verwendung der Umrechnung von Volumen- und Flächeneinheiten, warum eine Niederschlagsmenge von $1\text{ l/m}^2$ genau einer Wasserhöhe bzw. Wasserschicht von $1\text{ mm}$ Dicke entspricht.

b) Modelliere die Situation mathematisch und berechne das Volumen an Regenwasser in Kubikmetern, das während des Sturms auf das Dach fällt.

c) Bestimme, ob die Zisterne überläuft oder genug Fassungsvermögen hat, um das gesamte aufgefangene Wasser zu speichern. Begründe deine Antwort, indem du angibst, wie viele Liter bis zum Füllen fehlen oder wie viele Liter überlaufen.

Um das Volumen einer massiven, sehr unregelmäßig geformten Bronzeskulptur zu bestimmen, wird sie vollständig in einen bis zum Rand gefüllten Wasserbehälter getaucht und das gesamte überlaufende Wasser in einem würfelförmigen Hilfsbehälter mit $20\text{ cm}$ Innenkante aufgefangen.

a) Das aufgefangene Wasser füllt genau drei Viertel des Hilfsbehälters. Berechne das Volumen der Skulptur in Kubikdezimetern und gib es auch in Litern an.

b) Beim Wiegen des von der Skulptur verdrängten Wassers auf einer Waage zeigt das Gerät eine Masse von $6\text{ kg}$ an. Erkläre, warum diese Massenmessung bestätigt, dass die Berechnungen von Fassungsvermögen und Volumen aus der vorigen Teilaufgabe richtig sind.

c) Es ist geplant, eine Nachbildung der Skulptur im Maßstab $2:1$ herzustellen (d. h., jede ihrer linearen Abmessungen Länge, Breite und Höhe wird verdoppelt). Ein Mitarbeiter der Werkstatt behauptet: „Da sie doppelt so groß ist, verdrängt sie beim Eintauchen $12\text{ Liter}$ Wasser, das $12\text{ kg}$ wiegen wird.“ Begründe anhand der Berechnung des Volumens in drei Dimensionen, warum diese Behauptung falsch ist, und bestimme das tatsächliche Volumen (in $\text{dm}^3$) und die Masse des Wassers, das die Nachbildung verdrängt.

Themenchallenge. Geometrische Bestandsaufnahme und Nachhaltigkeit in deiner Vorratskammer.

1. Datenerhebung: Wähle zu Hause zwei alltägliche Verpackungen aus: einen Körper mit ebenen Flächen (wie einen Getränkekarton oder eine Müslipackung) und einen Rotationskörper (eine zylinderförmige Dose oder ein Glas). Miss mit einem Lineal ihre Abmessungen in Zentimetern und notiere den auf dem Etikett angegebenen Nettoinhalt (in $ml$ oder $cl$).

2. Berechnung und Umrechnungen: Modelliere beide in GeoGebra 3D oder trage ihre Daten in eine Tabellenkalkulation ein. Bestimme die Oberfläche ($cm^2$) und das theoretische Volumen ($cm^3$) jedes Körpers. Rechne dieses Volumen in Liter um ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$) und vergleiche es mit dem Wert auf dem Etikett. Begründe, ob es Abweichungen gibt, die auf die Materialdicke oder den Sicherheitsabstand zurückzuführen sind.

3. Begründeter Vorschlag: Berechne das Verhältnis $\text{Flächeninhalt}/\text{Volumen}$ für beide Verpackungen. Verfasse einen kurzen Bericht (eine Seite), in dem du vorschlägst, welche Form am effizientesten ist, um $0,5\text{ L}$ eines Produkts zu vertreiben, und dabei möglichst wenig Material verwendest und den ökologischen Fußabdruck minimierst.

Bewertet werden:

• Genauigkeit der tatsächlichen Messungen, algebraische Berechnung von Flächeninhalten und Volumen sowie die korrekte Umrechnung zwischen Hohlmaßen und Volumeneinheiten.

• Sorgfältiger Einsatz digitaler Werkzeuge (Tabellenkalkulation oder GeoGebra), um die dreidimensionalen Körper darzustellen und zu analysieren.

• Qualität des abschließenden Vorschlags und mathematische Begründung der Verpackungsoptimierung.