Término general de una sucesión

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.

Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).

Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.

Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética:

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica:

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).

Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Marcos quiere hallar el término general de la sucesión de fracciones:

En su examen escribe la siguiente justificación:

«El numerador avanza de 2 en 2 empezando en 3, luego es $2n+1$. El denominador son los cuadrados de $2, 3, 4, 5\ldots$, luego es $(n+1)^2$. Como los signos van alternando entre positivo y negativo, multiplico por $(-1)^n$. Por tanto, el término general es $a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{(n+1)^2}$».

1. a) Calcula los dos primeros términos ($a_1$ y $a_2$) con la fórmula de Marcos e identifica con precisión el error que ha cometido.
2. b) Explica cómo debe modificarse el exponente de la potencia de base $-1$ para corregir el signo y escribe la expresión correcta del término general.
3. c) Marcos afirma que el valor $-\frac{21}{121}$ pertenece a esta sucesión y que ocupa una posición par. Utiliza el término general corregido para razonar si su afirmación es verdadera o falsa.

Diseña la expresión algebraica del término general $a_n$ de una sucesión que cumpla simultáneamente estas cuatro condiciones:

1. El primer término ($n=1$) es negativo y el signo va alternando entre cada término y el siguiente.

2. Todos sus términos son fracciones cuyo valor absoluto es estrictamente menor que 1.

3. A medida que el índice $n$ crece, el valor absoluto de los términos se aproxima progresivamente a 1 (es decir, numerador y denominador se van acercando en valor absoluto).

4. El número $-\frac{5}{6}$ pertenece a la sucesión.

Una vez definida tu fórmula:

1. a) Escribe sus tres primeros términos ($a_1, a_2, a_3$) para comprobar que se verifican las condiciones 1, 2 y 3.
2. b) Plantea y resuelve la ecuación que permite averiguar qué posición $n$ ocupa el número $-\frac{5}{6}$, justificando por qué el resultado garantiza que dicho valor pertenece a la sucesión.

Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Un atleta aficionado prepara en La Paz los 10 km de la Maratón Ciudad de La Paz siguiendo un plan de entrenamiento de 16 semanas. En la primera semana ($n=1$) realiza una carrera larga de $4 \text{ km}$. El entrenador establece una progresión base lineal que añade $0,5 \text{ km}$ por semana (es decir: $4 \text{ km}$ en la semana 1, $4,5 \text{ km}$ en la semana 2, $5 \text{ km}$ en la semana 3, etc.). Sin embargo, para asimilar el esfuerzo muscular, introduce una regla de descarga periódica:

• Si la semana $n$ es impar, el atleta corre la distancia íntegra fijada por la progresión base.

• Si la semana $n$ es par, el atleta reduce en $1 \text{ km}$ la distancia que le correspondería según la progresión base.

1. a) Modela la distancia real $T_n$ (en kilómetros) de la carrera larga de la semana $n$ mediante una única fórmula explícita unificada, utilizando una potencia de base $-1$ para alternar el ajuste entre semanas pares e impares.
2. b) Determina algebraicamente en qué semana superará por primera vez los $9 \text{ km}$ en su carrera larga.
3. c) ¿Cuántos kilómetros le corresponderá correr en la semana $n=16$, última semana de carga antes de la prueba?

Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.

Se considera la sucesión cuyos primeros términos son:

1. a) Analiza la pauta que siguen los términos situados en posiciones impares ($n=1, 3, 5, \ldots$) y la que siguen los situados en posiciones pares ($n=2, 4, 6, \ldots$). Escribe la ley que determina cada grupo de términos en función del índice global $n$.
2. b) Para expresar la sucesión en una única fórmula cerrada sin recurrir a una función definida a trozos, se utilizan «interruptores algebraicos» construidos con potencias de base $-1$. Justifica qué valores toman las expresiones $\frac{1 - (-1)^n}{2}$ y $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ según la paridad de $n$, y úsalas para deducir una fórmula unificada y simplificada del término general $a_n$.
3. c) Investiga algebraicamente si el número 100 forma parte de esta sucesión. Plantea las ecuaciones correspondientes y razona cuántas veces y en qué posición o posiciones exactas aparece dicho valor.

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11 palillos y la Figura 3 por 16 palillos. Escribe el término general del número de palillos $P_n$ necesarios para construir la Figura $n$.

En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$. Sabiendo que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$, y $C_4 = 6$, determina el término general $C_n$. A partir de él, deduce cuántos equipos componen una red que tiene exactamente $1225$ conexiones directas.

Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.

Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.

Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.

Una sucesión viene definida de forma recurrente mediante $a_1 = 2$ y $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n}$ para todo $n \geq 1$. Dos estudiantes deben resolver dos tareas: calcular el término $a_3$ y averiguar si el valor $\frac{1}{152}$ pertenece a la sucesión.

• Lucía propone aplicar la recurrencia sucesivamente término a término hasta responder a ambas cuestiones.

• Sergio propone calcular los primeros cuatro términos, estudiar la sucesión auxiliar de sus inversos $b_n = \frac{1}{a_n}$ para encontrar una regla general, deducir la expresión explícita de $a_n$ en función de $n$ y trabajar a partir de ella.

1. a) Desarrolla el método de Sergio: halla $a_1, a_2, a_3, a_4$, escribe los valores correspondientes de $b_n$, deduce razonadamente la fórmula del término general explícito $a_n$ y comprueba que coincide con los valores hallados.
2. b) Compara ambos procedimientos para el cálculo exclusivo de $a_3$. ¿Cuál resulta más económico en tiempo y operaciones para ese caso particular? Justifica tu respuesta.
3. c) Utiliza el término general explícito para determinar con rigor matemático si el número $\frac{1}{152}$ pertenece a la sucesión. A continuación, razona por qué el método de recurrencia de Lucía resultaría ineficiente o inviable para responder con certeza a esta pregunta.

Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:

1. a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
2. b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.

El valor de mercado de un auto nuevo es de $168\,000$ bolivianos. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encuentra el término general $V_n$ que expresa el valor del auto al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determina su valor estimado al cabo de $5$ años.

Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?

Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura máxima alcanzada en el rebote inmediatamente anterior. Escribe el término general $h_n$ de la altura alcanzada tras el $n$-ésimo rebote. Utilizando logaritmos, determina después de cuántos rebotes la altura máxima será por primera vez inferior a $1$ metro.

Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados para formar 4 triángulos más pequeños, y se sombrea exclusivamente el central. Encuentra el término general $T_n$ que expresa el número de nuevos triángulos sombreados que se añaden en el paso $n$, y el término general $A_n$ para el área de uno solo de esos nuevos triángulos añadidos en el paso $n$.

Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y superiormente por $\frac{5}{2}$.

Se invierten $35\,000$ bolivianos en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses, la entidad deduce $350$ bolivianos fijos en concepto de comisiones de gestión. Escribe la ley de recurrencia para el capital $C_n$ acumulado al final del año $n$ (siendo $C_0 = 35\,000$), y calcula el capital en los tres primeros años ($C_1, C_2, C_3$).

Considera la sucesión definida por el término general $a_n = \frac{5n^2 - 3}{2n^2 + 7n}$.

1. a) Antes de efectuar ningún cálculo exacto, realiza una estimación razonada del valor al que se aproximarán los términos de la sucesión cuando la posición $n$ sea extremadamente grande (por ejemplo, para $n = 10\,000$). Justifica en qué términos de la fracción te fijas y por qué los demás apenas influyen en el resultado.
2. b) Comprueba tu estimación calculando el valor exacto (en forma de fracción irreducible) y la aproximación decimal con tres cifras decimales para $n = 1$, $n = 10$ y $n = 100$. ¿Respaldan estos valores numéricos tu predicción inicial?
3. c) Plantea la ecuación necesaria para averiguar si el número $2,5$ es exactamente un término de la sucesión. Resuélvela y argumenta por qué, pese a la estimación del apartado a, es imposible que $2,5$ forme parte de ella.