Proporcionalidad directa

Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales, justificando tu respuesta en cada caso:

• El tiempo que funciona una llave de agua a caudal constante y los litros de agua que arroja.

• La edad de una persona y su altura en centímetros.

• El número de obreros que pintan una cerca y el tiempo que tardan en terminarla.

• Los kilogramos de naranjas comprados en la frutería y el precio total a pagar.

Las magnitudes $A$ y $B$ son directamente proporcionales. Sabiendo que cuando $A = 5$, el valor de $B = 15$:

• Calcula la constante de proporcionalidad directa $k = \frac{B}{A}$.

• Si $A = 2$, ¿cuánto vale $B$?

• Si $B = 24$, ¿cuánto vale $A$?

• Si $A = 12$, ¿cuánto vale $B$?

En la factura del agua de una localidad boliviana, el importe bimestral se compone de una cuota fija de servicio de 15 bolivianos más un término variable de $1,40\text{ \text{Bs}\ {}/m}^3$ de agua consumida.

Alba afirma: «El costo del agua es directamente proporcional al volumen consumido, porque cuanto más volumen gastas, más pagas en la factura».

Para el año próximo, el gobierno municipal aprueba dos modificaciones en las tarifas: la cuota fija sube un 10 %, mientras que el precio por metro cúbico baja un 5 %.

1. a) Aplica con rigor la definición algebraica de magnitudes directamente proporcionales (analizando el cociente entre el costo total y el volumen consumido) para rebatir o confirmar la afirmación de Alba. Utiliza un contraejemplo numérico comparando el costo medio por metro cúbico si se consumen $10\text{ m}^3$ frente a si se consumen $20\text{ m}^3$.
2. b) Una familia que consume habitualmente $30\text{ m}^3$ al bimestre prevé mantener exactamente ese consumo el año próximo. Demuestra formalmente por qué no es correcto calcular la variación porcentual de su factura sumando o restando los porcentajes de cambio de las tarifas ($+10\, % - 5\, % = +5\, %$), y determina el porcentaje de variación real que experimentará el costo total de su factura.

Para preparar una receta de bizcocho para 4 personas se necesitan 200 gramos de harina, 150 gramos de azúcar y 2 huevos. Calcula las cantidades exactas necesarias de cada uno de estos ingredientes si queremos preparar el bizcocho para 10 personas.

En una papelería, un paquete cerrado con 8 cuadernos idénticos cuesta 100,80 bolivianos. Utiliza el método de reducción a la unidad para calcular cuánto costaría comprar exactamente 5 de esos cuadernos.

Calcula el valor de la incógnita $x$ en la siguiente proporción para que las fracciones sean equivalentes:

$\frac{18}{x} = \frac{45}{20}$

En un mapa diseñado a escala 1:50.000, la distancia medida en línea recta entre dos pueblos es de 8 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos expresada en kilómetros?

En una casa de cambio del aeropuerto, nos informan que por 50 euros nos entregan 55 dólares americanos. ¿Cuántos dólares nos darán si decidimos cambiar 320 euros?

Un vehículo eléctrico consume energía de forma directamente proporcional a la distancia recorrida. En un circuito de pruebas, ha consumido 12,6 kWh tras recorrer 70 km. Debes calcular el consumo que registrará en tres trayectos distintos: trayecto A (45 km), trayecto B (110 km) y trayecto C (230 km).

Se plantean dos procedimientos:

• Método 1: Plantear tres reglas de tres directas independientes (una para cada trayecto).

• Método 2: Reducir a la unidad calculando la constante de proporcionalidad $k$ (consumo por kilómetro) y aplicar la función $y = k \cdot x$.

1. a) Compara ambos métodos y justifica cuál resulta más eficiente en esta situación.
2. b) Calcula el consumo exacto en cada uno de los tres trayectos empleando el método que has seleccionado.

El siguiente gráfico muestra la relación entre la distancia recorrida por un auto a velocidad constante y los litros de combustible consumidos.

A partir del gráfico, determina la constante de proporcionalidad que representa el consumo del vehículo (litros consumidos por cada 100 km). Después, calcula matemáticamente cuántos litros consumirá el auto en un viaje largo de 425 km.

Un grifo industrial arroja un caudal constante de agua. Se ha cronometrado que en 15 minutos vierte 45 litros exactos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar por completo una piscina vacía cuya capacidad es de 13,5 m³? Expresa el resultado final en horas y minutos. (Dato: 1 m³ equivale a 1000 litros).

En el plano de un arquitecto, dibujado a escala 1:150, el salón de una vivienda tiene forma rectangular y mide 4 cm de ancho por 6 cm de largo. Calcula primero el área del salón en el plano y después deduce cuál es su área real expresada en metros cuadrados.

Un sistema mecánico está compuesto por tres ruedas dentadas conectadas: A, B y C. Se sabe que el número de vueltas que dan mantiene una relación de proporcionalidad directa. Por cada 4 vueltas completas que da la rueda A, la rueda B da 3 vueltas. Además, por cada 5 vueltas de la rueda B, la rueda C da 2 vueltas. Si el motor hace que la rueda A gire 600 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la rueda C?

Un orfebre funde dos metales para crear una aleación especial. La proporción de plata y cobre en la aleación es de 9 a 2. Si para una pieza ha utilizado exactamente 45 gramos de cobre, ¿cuántos gramos de plata ha necesitado fundir? ¿Cuál es el peso total de la aleación creada?

A cierta hora de la mañana, los rayos del sol inciden con el mismo ángulo, creando sombras proporcionales a las alturas de los objetos. Un poste vertical de 3,2 metros de altura proyecta una sombra de 2,4 metros. En ese mismo instante, un edificio cercano proyecta una sombra que mide 18 metros. Aplicando la proporcionalidad directa, ¿cuál es la altura real del edificio?

Según datos técnicos sobre energía solar fotovoltaica en España, una instalación doméstica genera una cantidad de energía eléctrica directamente proporcional a las Horas de Sol Pico (HSP) registradas. Una vivienda con 6 paneles solares idénticos produce $13,5\text{ kWh}$ en un día despejado de primavera con 5 HSP.

1. a) Modela la situación mediante una función lineal $E(h)$ que exprese la energía producida $E$ (en kWh) en función de las horas de sol pico $h$. Indica la constante de proporcionalidad con sus unidades e interpreta su significado práctico.
2. b) En una jornada de julio se alcanzan 7,2 HSP. Si el consumo eléctrico previsto de la vivienda para ese día es de $18\text{ kWh}$, utiliza tu modelo para determinar si la producción cubrirá la demanda y calcula el excedente o déficit energético resultante.
3. c) Si la familia decide ampliar la instalación añadiendo 2 paneles más de idénticas características, ¿cuál será la nueva constante de proporcionalidad de la función? Justifica tu respuesta sin necesidad de realizar una nueva toma de medidas de campo.

Una empresa fabrica maquetas de autos deportivos a escala 1:24. El maletero de la maqueta tiene un volumen interior de 15 cm³. Calcula el volumen real del maletero del auto expresado en litros. Además, si la maqueta pesa 1,2 kg y está fabricada exactamente con los mismos materiales y densidades que el auto real, ¿cuál sería el peso del auto real expresado en toneladas?

La siguiente gráfica representa la distancia recorrida por dos trenes, A y B, en función del tiempo, viajando a velocidad constante desde la misma estación de origen.

Observando la gráfica, determina la velocidad constante de cada tren. Si ambos mantienen su ritmo, ¿a qué distancia exacta se encontrará el tren A de su origen en el momento en que el tren B haya recorrido 400 km?

Unos tenis que cuestan $\text{Bs}\ 420$ tienen una rebaja del $25\%$ y, sobre el precio ya rebajado, se aplica un cupón adicional del $10\%$ de descuento. Calcula el precio final que se paga por los tenis.

La cuota mensual de un gimnasio era de $\text{Bs}\ 280$. En enero subió un $10\%$ y en junio volvió a subir otro $10\%$ sobre la cuota vigente. Calcula la cuota actual y razona si las dos subidas equivalen a una única subida del $20\%$.

Durante la campaña del Black Friday, una tienda de tecnología anuncia que una computadora portátil que costaba 800 bolivianos sufrirá primero un incremento del 10 % debido a la escasez de componentes y, una semana después, se le aplicará un descuento del 10 % como oferta promocional. Lucas afirma: «Como primero sube un 10 % y luego baja un 10 %, el precio final volverá a ser exactamente 800 bolivianos, ya que $+10\, - 10\, = 0\,\%$». Identifica razonadamente el error conceptual en la afirmación de Lucas basándote en los índices de variación, calcula el precio final real de la portátil e indica si al cliente le beneficia o le perjudica esta secuencia de cambios respecto al precio inicial.

El precio de un teléfono celular sin IVA es de $\text{Bs}\ 2\,450$. Se le aplica primero el IVA del $21\%$ y, sobre el precio resultante, un descuento del $15\%$ por pago al contado.

• Calcula el precio final que se paga por el celular.

• ¿Qué porcentaje de aumento representa el precio final respecto al precio sin IVA?

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: «si el precio del alquiler de un piso sube un $5\%$ un año y al año siguiente baja un $5\%$, el alquiler vuelve a costar exactamente lo mismo que al principio». Compruébalo con un alquiler inicial de $\text{Bs}\ 5\,600$ y justifícalo también usando los índices de variación.

Una tienda de bicicletas aplica a un modelo una rebaja del $20\%$ y, después, le añade el IVA del $21\%$. El precio final en caja es de $\text{Bs}\ 3\,388$. ¿Cuál era el precio de la bicicleta antes de la rebaja, sin IVA?

Dos tiendas venden la misma consola a $\text{Bs}\ 2\,100$. La tienda A la rebaja un $30\%$ y ofrece un $10\%$ adicional sobre el precio rebajado si se paga con su tarjeta. La tienda B la rebaja directamente un $40\%$.

• Calcula el precio final en cada tienda.

• Calcula el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos encadenados de la tienda A y explica por qué no coincide con el $40\%$ de la tienda B.

Dos amigos, Alba y Bruno, deciden comprar un décimo de lotería que cuesta 140 bolivianos. Alba aporta 56 bolivianos y Bruno aporta 84 bolivianos. Si el décimo resulta premiado con 350.000 bolivianos, ¿cómo deben repartir el premio para que las cantidades recibidas sean directamente proporcionales a lo que aportó cada uno?

Tres socios deciden abrir un negocio de hostelería y aportan un capital inicial de 105.000 bolivianos, 175.000 bolivianos y 280.000 bolivianos respectivamente. Al cabo de un año, el negocio ha generado unos beneficios netos de 89.600 bolivianos. Si acuerdan repartir los beneficios de forma directamente proporcional al capital aportado por cada uno, ¿cuánto dinero le corresponde a cada socio?

Un abuelo decide repartir 176.400 bolivianos entre sus tres nietos de forma directamente proporcional a sus edades, que son 12, 15 y 18 años. Sin embargo, antes de hacer el reparto oficial, calcula cuánto le tocaría a cada uno y se da cuenta de que el nieto mediano recibiría una cantidad concreta. ¿Cuál es esa cantidad? Calcula también el dinero que reciben los otros dos nietos.

Una comunidad de regantes del valle cochabambino debe repartir un gasto común de mantenimiento de acequias de 15.600 bolivianos entre tres parcelas (A, B y C) de forma directamente proporcional a su superficie de riego. La parcela A cuenta con 4 hectáreas, la parcela B con 9 hectáreas y la parcela C con 13 hectáreas.

1. a) Antes de calcular las cantidades exactas, realiza una estimación razonada: ¿pagará la parcela C más de la mitad del total de la factura? ¿Aproximadamente qué fracción del total le corresponde asumir a la parcela B? Justifica tus estimaciones analizando la proporción de las hectáreas sobre el total.
2. b) Calcula la constante de reparto $k$ y determina el importe exacto en bolivianos que debe pagar cada una de las tres parcelas.
3. c) Compara los importes calculados con tu estimación previa y explica cómo este análisis previo permite detectar posibles fallos en la resolución de problemas de reparto proporcional.

Tres amigos deciden invertir sus ahorros en un fondo común para un proyecto. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del capital total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ del total y el tercero aporta el resto del dinero necesario. Al finalizar la inversión, obtienen unas ganancias netas de 58.800 bolivianos. Si el reparto debe ser directamente proporcional a la fracción del capital aportado, ¿cuánto dinero en bolivianos recibe cada uno de los amigos?

Tres centros de investigación universitarios reciben una partida presupuestaria extraordinaria de 240.000 bolivianos que se distribuye de manera directamente proporcional al número de investigadores contratados a tiempo completo en cada centro.

Por motivos de privacidad de datos, no se revela inicialmente la plantilla de cada centro, pero se conocen las siguientes condiciones del reparto:

• El Centro 2 cuenta exactamente con el doble de investigadores que el Centro 1.

• El Centro 3 recibe 40.000 bolivianos más que el Centro 2.

• Al Centro 1 le corresponden exactamente 40.000 bolivianos.

1. a) Utilizando las propiedades de la proporcionalidad directa, deduce la cantidad exacta de dinero asignada a cada uno de los tres centros.
2. b) Sabiendo que entre los tres centros suman un total de 60 investigadores, calcula el valor de la constante de proporcionalidad del reparto (especificando sus unidades) y reconstruye la plantilla exacta de investigadores que trabaja en cada uno de los centros. Explica el razonamiento que te permite deducir estos valores iniciales a partir de los datos finales.

Resuelve la siguiente ecuación basada en una proporción directa, encontrando el valor de $x$ que hace que las dos razones sean equivalentes:

$\frac{3x - 1}{4} = \frac{2x + 5}{3}$

En una competición deportiva local, se reparte un premio económico de forma directamente proporcional a los puntos obtenidos por los tres primeros clasificados en la final. Los puntos han sido $180$, $150$ y $120$, respectivamente. Si se sabe que el primer clasificado recibió $900$ bolivianos más que el tercer clasificado, ¿cuál fue la cantidad total de dinero repartida en los premios?

Para preparar una mezcla de cemento y arena de alta resistencia, la proporción técnica debe ser de 2 partes de cemento por cada 5 partes de arena. Un albañil necesita preparar 350 kg de mezcla en total. Calcula cuántos kilos de cemento y cuántos de arena debe utilizar inicialmente. Si por un error de cálculo echa 120 kg de cemento en la hormigonera, ¿cuánta arena en total deberá haber en la mezcla final para mantener la proporción correcta sin desperdiciar el cemento?

Las magnitudes $M$ y $N$ son directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad $k$. Demuestra matemáticamente que si el valor de la magnitud $M$ se incrementa en un $25\%$, el valor correspondiente de la magnitud $N$ también se incrementará exactamente en un $25\%$.

Las variables $X$ e $Y$ son directamente proporcionales. Se ha registrado en un experimento que cuando $X = m + 2$, el valor de la variable dependiente es $Y = 15$. Por otro lado, bajo las mismas condiciones, cuando $X = m - 2$, el valor es $Y = 9$. Plantea una proporción algebraica para calcular el valor numérico del parámetro $m$ y, a continuación, determina la constante de proporcionalidad $k = \frac{Y}{X}$.